Décimo primeiro problema de Hilbert - Hilbert's eleventh problem

Décimo problema de Hilbert é um dos David Hilbert 's lista de problemas matemáticos abertos colocados no Segundo Congresso Internacional de Matemáticos em Paris, em 1900. A prossecução da teoria das formas quadráticas , afirmou o problema da seguinte forma:

Nosso conhecimento atual da teoria dos campos numéricos quadráticos nos coloca em posição de atacar com sucesso a teoria das formas quadráticas com qualquer número de variáveis ​​e com quaisquer coeficientes numéricos algébricos. Isso leva em particular ao problema interessante: resolver uma dada equação quadrática com coeficientes numéricos algébricos em qualquer número de variáveis ​​por números inteiros ou fracionários pertencentes ao reino algébrico da racionalidade determinada pelos coeficientes.

Conforme afirmado por Kaplansky, "O 11º problema é simplesmente este: classificar formas quadráticas em campos de números algébricos ." Isso é exatamente o que Minkowski fez para a forma quadrática com coeficientes fracionários. Uma forma quadrática (não equação quadrática) é qualquer polinômio em que cada termo tem variáveis ​​que aparecem exatamente duas vezes. A forma geral de tal equação é ax ² + bxy + cy ² . (Todos os coeficientes devem ser números inteiros.)

Diz-se que uma dada forma quadrática representa um número natural se a substituição das variáveis ​​por números específicos der o número. Gauss e os que o seguiram descobriram que, se mudarmos as variáveis ​​de certas maneiras, a nova forma quadrática representaria os mesmos números naturais que a antiga, mas de uma forma diferente e mais facilmente interpretada. Ele usou essa teoria de formas quadráticas equivalentes para provar os resultados da teoria dos números. Lagrange, por exemplo, mostrou que qualquer número natural pode ser expresso como a soma de quatro quadrados. Gauss provou isso usando sua teoria das relações de equivalência , mostrando que o quadrático representa todos os números naturais. Como mencionado anteriormente, Minkowski criou e provou uma teoria semelhante para formas quadráticas que tinham frações como coeficientes. O décimo primeiro problema de Hilbert pede uma teoria semelhante. Ou seja, um modo de classificação para que possamos dizer se uma forma é equivalente a outra, mas no caso em que os coeficientes podem ser números algébricos . Helmut Hasse s' conseguido isso em uma prova usando seu princípio local-global eo fato de que a teoria é relativamente simples para p -adic sistemas em outubro de 1920. Ele publicou seu trabalho em 1923 e 1924. Veja princípio Hasse , Hasse-Minkowski teorema . O princípio local-global diz que um resultado geral sobre um número racional ou mesmo todos os números racionais pode freqüentemente ser estabelecido verificando se o resultado é verdadeiro para cada um dos sistemas numéricos p -ádicos. ${\ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$

Há também um trabalho mais recente sobre o décimo primeiro problema de Hilbert, estudando quando um inteiro pode ser representado por uma forma quadrática. Um exemplo é o trabalho de Cogdell, Piatetski-Shapiro e Sarnak .

Veja também

• Os problemas de Hilbert

Notas

Referências

• Yandell, Benjamin H. The Honors Class: Hilbert's Problems and their Solvers. Natik: K Peters. Impressão.