Estimador de Hodges - Hodges' estimator

Em estatística , o estimador de Hodges (ou o estimador de Hodges-Le Cam ), denominado em homenagem a Joseph Hodges , é um famoso contra - exemplo de um estimador que é "supereficiente", ou seja, atinge menor variância assintótica do que estimadores eficientes regulares . A existência de tal contra-exemplo é a razão para a introdução da noção de estimadores regulares .

O estimador de Hodges melhora em um estimador regular em um único ponto. Em geral, qualquer estimador supereficiente pode superar um estimador regular no máximo em um conjunto de medida zero de Lebesgue .

Construção

Suponhamos que é um estimador "comum" para um parâmetro de θ : é consistente , e converge para uma distribuição assintótica G _θ (geralmente este é uma distribuição normal com média igual a zero e desvio que pode depender θ ) no √ n de Tarifas : ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ theta}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {n}} ({\ hat {\ theta}} _ {n} - \ theta) \ {\ xrightarrow {d}} \ L _ {\ theta} \.}$

Então, o estimador de Hodges é definido como ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ theta}} _ {n} ^ {H}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {n} ^ {H} = {\ begin {cases} {\ hat {\ theta}} _ {n}, & {\ text {if}} | {\ hat {\ theta}} _ {n} | \ geq n ^ {- 1/4}, {\ text {and}} \\ 0, & {\ text {if}} | {\ hat {\ theta}} _ {n} | <n ^ {- 1/4}. \ end {casos}}}$

Este estimador é igual a todos os lugares, exceto no pequeno intervalo [- n ^−1/4 , n ^−1/4 ] , onde é igual a zero. Não é difícil ver que este estimador é consistente para θ , e sua distribuição assintótica é ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ theta}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & n ^ {\ alpha} ({\ hat {\ theta}} _ {n} ^ {H} - \ theta) \ {\ xrightarrow {d}} \ 0, \ qquad { \ text {quando}} \ theta = 0, \\ & {\ sqrt {n}} ({\ hat {\ theta}} _ {n} ^ {H} - \ theta) \ {\ xrightarrow {d}} \ L _ {\ theta}, \ quad {\ text {quando}} \ theta \ neq 0, \ end {alinhado}}}$

para qualquer ct ∈ R . Assim, este estimador tem a mesma distribuição assintótica que para todo θ ≠ 0 , enquanto para θ = 0 a taxa de convergência torna-se arbitrariamente rápida. Este estimador é supereficiente , pois ultrapassa o comportamento assintótico do estimador eficiente em pelo menos um ponto θ = 0 . Em geral, a supereficiência só pode ser alcançada em um subconjunto da medida zero de Lebesgue do espaço de parâmetros Θ. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ theta}} _ {n}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ theta}} _ {n}}$

Exemplo

O erro quadrático médio (vezes n ) do estimador de Hodges. A curva azul corresponde a n = 5 , roxo para n = 50 e verde-oliva para n = 500 .

Suponha que x ₁ , ..., x _n seja uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída (IID) da distribuição normal N ( θ , 1) com média desconhecida, mas variância conhecida. Então o estimador comum para a média da população θ é a média aritmética de todas as observações: . O estimador de Hodges correspondente será , onde 1 {...} denota a função do indicador . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ theta}} _ {n} ^ {H} \; = \; {\ bar {x}} \ cdot \ mathbf {1} \ {| {\ bar {x}} | \, \ geq \, n ^ {- 1/4} \}}$

O erro médio quadrático (escalonado por n ) está relacionado com o estimador regulares x é constante e igual a um para todos os q « s. Ao mesmo tempo, o erro quadrático médio do estimador de Hodges se comporta erraticamente na vizinhança de zero e até mesmo se torna ilimitado quando n → ∞ . Isso demonstra que o estimador de Hodges não é regular , e suas propriedades assintóticas não são adequadamente descritas pelos limites da forma ( θ fixo, n → ∞ ). ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ theta}} _ {n} ^ {H}}$

Veja também

• Estimador de James – Stein

Notas

Referências