Distribuição assintótica - Asymptotic distribution

Em matemática e estatística , uma distribuição assintótica é uma distribuição de probabilidade que é, em certo sentido, a distribuição "limitante" de uma sequência de distribuições. Um dos principais usos da ideia de uma distribuição assintótica é fornecer aproximações para as funções de distribuição cumulativa de estimadores estatísticos .

Definição

Uma sequência de distribuições corresponde a uma sequência de variáveis ​​aleatórias Z _i para i = 1, 2, ..., I. No caso mais simples, uma distribuição assintótica existe se a distribuição de probabilidade de Z _i converge para uma distribuição de probabilidade (a distribuição assintótica) conforme i aumenta: veja convergência na distribuição . Um caso especial de distribuição assintótica é quando a sequência de variáveis ​​aleatórias é sempre zero ou Z _i = 0 conforme i se aproxima do infinito. Aqui, a distribuição assintótica é uma distribuição degenerada , correspondendo ao valor zero.

No entanto, o sentido mais usual em que a distribuição assintótica termo é usado surge quando as variáveis aleatórias Z _i são modificados por duas sequências de valores não aleatórios. Assim se

${\ displaystyle Y_ {i} = {\ frac {Z_ {i} -a_ {i}} {b_ {i}}}}$

converge em distribuição para uma distribuição não degenerada para duas sequências { a _i } e { b _i } então Z _i é dito ter essa distribuição como sua distribuição assintótica. Se a função de distribuição da distribuição assintótica for F , então, para n grande , as seguintes aproximações são válidas

${\ displaystyle P \ left ({\ frac {Z_ {n} -a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq x \ right) \ approx F (x),}$

${\ displaystyle P (Z_ {n} \ leq z) \ approx F \ left ({\ frac {z-a_ {n}} {b_ {n}}} \ right).}$

Se existe uma distribuição assintótica, não é necessariamente verdade que qualquer resultado da sequência de variáveis ​​aleatórias seja uma sequência convergente de números. É a sequência de distribuições de probabilidade que converge.

Teorema do limite central

Talvez a distribuição mais comum que surge como distribuição assintótica seja a distribuição normal . Em particular, o teorema do limite central fornece um exemplo em que a distribuição assintótica é a distribuição normal .

Teorema do limite central

Suponha que { X ₁ , X ₂ , ...} seja uma sequência de variáveis aleatórias iid com E [ X _i ] = µ e Var [ X _i ] = σ ² <∞. Seja S _n a média de { X ₁ , ..., X _n }. Então, conforme n se aproxima do infinito, as variáveis ​​aleatórias √ n ( S _n - µ) convergem na distribuição para um N normal (0, σ ² ):

O teorema do limite central fornece apenas uma distribuição assintótica. Como uma aproximação para um número finito de observações, ele fornece uma aproximação razoável apenas quando perto do pico da distribuição normal; requer um grande número de observações para se estender até as caudas.

Normalidade assintótica local

A normalidade assintótica local é uma generalização do teorema do limite central. É uma propriedade de uma sequência de modelos estatísticos , o que permite que essa sequência seja aproximada assintoticamente por um modelo de localização normal , após um reescalonamento do parâmetro. Um exemplo importante quando a normalidade assintótica local é mantida é no caso de amostragem independente e identicamente distribuída de um modelo paramétrico regular ; este é apenas o teorema do limite central.

Barndorff-Nielson & Cox fornecem uma definição direta de normalidade assintótica.

Veja também

• Análise assintótica
• Teoria assintótica (estatística)
• teorema de Moivre-Laplace
• Limitando a densidade de pontos discretos
• Método delta

Referências