Função do indicador - Indicator function
Em matemática , uma função indicadora ou uma função característica de um subconjunto A de um conjunto X é uma função definida de X para o conjunto de dois elementos , normalmente denotado como , e indica se um elemento em X pertence a A ; se um elemento em X pertence a A , e se não pertence a um . Ele também é indicado por enfatizar o fato de que esta função identifica o subconjunto A de X .
Em outros contextos, como ciência da computação , isso seria mais frequentemente descrito como uma função de predicado booleano (para testar a inclusão de conjunto).
A função de Dirichlet é um exemplo de função de indicador e é o indicador dos racionais .
Definição
A função indicadora de um subconjunto A de um conjunto X é uma função
definido como
O suporte de Iverson fornece a notação equivalente, ou ⧙ x ε Um ⧘ , para ser utilizado em vez de .
A função é, por vezes denotado , , K Um ou mesmo apenas .
Notação e terminologia
A notação também é usada para denotar a função característica na análise convexa , que é definida como se estivesse usando o recíproco da definição padrão da função do indicador.
Um conceito relacionado em estatística é o de uma variável dummy . (Isso não deve ser confundido com "variáveis fictícias", já que esse termo é geralmente usado em matemática, também chamado de variável limitada .)
O termo " função característica " tem um significado não relacionado na teoria de probabilidade clássica . Por esta razão, os probabilistas tradicionais usam o termo função indicadora para a função definida aqui quase exclusivamente, enquanto os matemáticos em outros campos são mais propensos a usar o termo função característica para descrever a função que indica a participação em um conjunto.
Na lógica difusa e na lógica moderna de muitos valores , os predicados são as funções características de uma distribuição de probabilidade . Ou seja, a valoração verdadeira / falsa estrita do predicado é substituída por uma quantidade interpretada como o grau de verdade.
Propriedades básicas
O indicador ou função característica de um subconjunto A de algum conjunto X mapeia elementos de X para o intervalo {0, 1}.
Este mapeamento é sobrejetivo apenas quando A é um não-vazia subconjunto apropriado de X . Se A ≡ X , então 1 A = 1. Por um argumento semelhante, se A ≡ ∅ então 1 A = 0.
A seguir, o ponto representa a multiplicação, 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0 etc. "+" e "-" representam adição e subtração. " " e " " são interseção e união, respectivamente.
Se e forem dois subconjuntos de , então
e a função indicadora do complemento de ie é:
- .
De modo mais geral, suponha que é uma coleção de subconjuntos de X . Para qualquer :
é claramente um produto de 0s e 1s. Este produto tem o valor 1 precisamente aqueles que não pertencem a nenhum dos conjuntos e é 0 caso contrário. Isso é
Expandindo o produto do lado esquerdo,
onde representa a cardinalidade de F . Esta é uma forma do princípio de inclusão-exclusão .
Como sugerido pelo exemplo anterior, a função de indicador é um dispositivo de notação útil em combinatória . A notação é usada em outros lugares também, por exemplo na teoria da probabilidade : se X é um espaço de probabilidade com medida de probabilidade e A é um conjunto mensurável , então se torna uma variável aleatória cujo valor esperado é igual à probabilidade de A :
- .
Essa identidade é usada em uma prova simples da desigualdade de Markov .
Em muitos casos, como na teoria da ordem , o inverso da função do indicador pode ser definido. Isso é comumente chamado de função de Möbius generalizada , como uma generalização do inverso da função do indicador na teoria dos números elementares , a função de Möbius . (Veja o parágrafo abaixo sobre o uso do inverso na teoria clássica da recursão.)
Média, variância e covariância
Dado um espaço de probabilidade com , a variável aleatória do indicador é definida por caso contrário
- Quer dizer
- (também chamada de "Ponte Fundamental").
Função característica na teoria da recursão, função de representação de Gödel e Kleene
Kurt Gödel descreveu a função de representação em seu artigo de 1934 "Sobre proposições indecidíveis de sistemas matemáticos formais":
- "Deve corresponder a cada classe ou relação R a que representa a função φ ( x 1 , ... x n ) = 0 se R ( x 1 , ... x n ) e φ ( x 1 , ... x n ) = 1 se ¬ R ( x 1 , ... x n ). "(O" ¬ "indica inversão lógica, ou seja," NÃO ")
Kleene (1952) oferece a mesma definição no contexto das funções recursivas primitivas, pois uma função φ de um predicado P assume valores 0 se o predicado for verdadeiro e 1 se o predicado for falso.
Por exemplo, como o produto das funções características φ 1 * φ 2 * ... * φ n = 0 sempre que qualquer uma das funções for igual a 0, ela desempenha o papel de OR lógico: IF φ 1 = 0 OR φ 2 = 0 OR ... OR φ n = 0 ENTÃO seu produto é 0. O que parece ao leitor moderno como a inversão lógica da função de representação, ou seja, a função de representação é 0 quando a função R é "verdadeira" ou satisfeita ", desempenha um papel útil na definição de Kleene das funções lógicas OR, AND e IMPLY (p. 228), os operadores mu limitados- (p. 228) e ilimitados- (p. 279 ff) (Kleene (1952)) e a função CASE (p. . 229).
Função característica na teoria dos conjuntos difusos
Na matemática clássica, as funções características de conjuntos assumem apenas os valores 1 (membros) ou 0 (não membros). Na teoria dos conjuntos fuzzy , funções características são generalizadas para assumir valor no intervalo de unidade real [0, 1], ou mais geralmente, em alguma álgebra ou estrutura (geralmente requerido para ser pelo menos um poset ou rede ). Essas funções características generalizadas são mais comumente chamadas de funções de pertinência , e os "conjuntos" correspondentes são chamados de conjuntos fuzzy . Os conjuntos difusos modelam a mudança gradual no grau de associação visto em muitos predicados do mundo real como "alto", "quente", etc.
Derivados da função do indicador
Uma função de indicador particular é a função de etapa de Heaviside . A função escalonada de Heaviside H ( x ) é a função indicadora da meia-linha positiva unidimensional, ou seja, o domínio [0, ∞) . A derivada distributiva da função de degrau de Heaviside é igual à função delta de Dirac , ou seja,
com a seguinte propriedade:
A derivada da função de passo de Heaviside pode ser vista como a derivada normal interna no limite do domínio dado pela meia-linha positiva. Em dimensões superiores, o derivado naturalmente generaliza para o derivado interior normal, enquanto a função de passo Heaviside naturalmente generaliza para a função de indicador de algum domínio D . A superfície de D vai ser indicada por S . Prosseguindo, pode-se deduzir que a derivada normal interna do indicador dá origem a uma 'função delta de superfície', que pode ser indicada por δ S ( x ) :
onde n é o exterior normais da superfície S . Esta 'função delta de superfície' tem a seguinte propriedade:
Ao definir a função f igual a um, segue-se que o derivado interior normal o indicador integra ao valor numérico da área de superfície S .
Veja também
- Medida de dirac
- Laplaciano do indicador
- Delta de Dirac
- Extensão (lógica de predicado)
- Variáveis livres e variáveis associadas
- Função de etapa de Heaviside
- Braquete iverson
- Delta de Kronecker , uma função que pode ser vista como um indicador para a relação de identidade
- Colchetes Macaulay
- Multiset
- Função de membro
- Função simples
- Variável fictícia (estatísticas)
- Classificação estatística
- Função de perda zero-um
Notas
Referências
Fontes
- Folland, GB (1999). Análise real: técnicas modernas e suas aplicações (segunda edição). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
- Cormen, Thomas H .; Leiserson, Charles E .; Rivest, Ronald L .; Stein, Clifford (2001). "Seção 5.2: Variáveis aleatórias de indicadores". Introdução aos algoritmos (segunda edição). MIT Press e McGraw-Hill. pp. 94 -99. ISBN 978-0-262-03293-3.
- Davis, Martin , ed. (1965). O Indecidível . New York, NY: Raven Press Books.
- Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introdução à Metamatemática (sexta reimpressão, com correções ed.). Holanda: Wolters-Noordhoff Publishing e North Holland Publishing Company.
- Boolos, George ; Burgess, John P .; Jeffrey, Richard C. (2002). Computabilidade e lógica . Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
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