Bifurcação de Hopf - Hopf bifurcation

Autovalores complexos de um mapa arbitrário (pontos). No caso da bifurcação de Hopf, dois autovalores complexos conjugados cruzam o eixo imaginário.

Na teoria matemática das bifurcações , uma bifurcação de Hopf é um ponto crítico onde a estabilidade de um sistema muda e surge uma solução periódica . Mais precisamente, é uma bifurcação local em que um ponto fixo de um sistema dinâmico perde estabilidade, à medida que um par de autovalores conjugados complexos - da linearização em torno do ponto fixo - cruza o eixo imaginário do plano complexo . Sob suposições razoavelmente genéricas sobre o sistema dinâmico, um ciclo limite de pequena amplitude se ramifica do ponto fixo.

Uma bifurcação Hopf também é conhecida como uma bifurcação Poincaré – Andronov – Hopf , em homenagem a Henri Poincaré , Aleksandr Andronov e Eberhard Hopf .

Visão geral

Bifurcações de Hopf supercríticas e subcríticas

Dinâmica da bifurcação de Hopf próxima . Trajetórias possíveis em vermelho, estruturas estáveis ​​em azul escuro e estruturas instáveis ​​em azul claro tracejado. Bifurcação de Hopf supercrítica: 1a) ponto fixo estável 1b) ponto fixo instável, ciclo limite estável 1c) dinâmica do espaço de fase. Bifurcação de Hopf subcrítica: 2a) ponto fixo estável, ciclo limite instável 2b) ponto fixo instável 2c) dinâmica do espaço de fase. determina a dinâmica angular e, portanto, a direção do enrolamento para as trajetórias.${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle \ omega}$

O ciclo limite é orbitalmente estável se uma quantidade específica chamada primeiro coeficiente de Lyapunov for negativa e a bifurcação for supercrítica. Caso contrário, é instável e a bifurcação é subcrítica.

A forma normal de uma bifurcação de Hopf é:

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}$onde z ,  b são complexos e λ é um parâmetro.

Escreva: O número α é chamado de primeiro coeficiente de Lyapunov . ${\ displaystyle b = \ alpha + i \ beta. \,}$

• Se α for negativo, então há um ciclo limite estável para λ  > 0:

${\ displaystyle z (t) = re ^ {i \ omega t} \,}$

Onde

${\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {and}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}$

A bifurcação é então chamada de supercrítica.

• Se α for positivo, então há um ciclo limite instável para λ  <0. A bifurcação é chamada de subcrítica.

Exemplo

A bifurcação de Hopf no sistema Selkov (ver artigo). Conforme os parâmetros mudam, um ciclo limite (em azul) aparece fora de um equilíbrio estável.

As bifurcações de Hopf ocorrem no modelo Lotka-Volterra de interação predador-presa (conhecido como paradoxo do enriquecimento ), o modelo Hodgkin-Huxley para o potencial da membrana nervosa, o modelo Selkov da glicólise , a reação Belousov-Zhabotinsky , o atrator Lorenz , o Brusselator e eletromagnetismo clássico .

O modelo Selkov é

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = - x + ay + x ^ {2} y, ~~ {\ frac {dy} {dt}} = b-ay-x ^ {2} y. }$

O retrato da fase ilustrando a bifurcação de Hopf no modelo Selkov é mostrado à direita.

Em sistemas de veículos ferroviários, a análise de bifurcação de Hopf é notavelmente importante. Convencionalmente, o movimento estável de um veículo ferroviário em baixas velocidades passa para instável em altas velocidades. Um dos objetivos da análise não linear desses sistemas é realizar uma investigação analítica da bifurcação, estabilidade lateral não linear e comportamento de caça de veículos ferroviários em uma via tangente, utilizando o método de Bogoliubov.

Definição de uma bifurcação de Hopf

O surgimento ou desaparecimento de uma órbita periódica por meio de uma mudança local nas propriedades de estabilidade de um ponto fixo é conhecido como bifurcação de Hopf. O teorema a seguir funciona para pontos fixos com um par de autovalores puramente imaginários conjugados diferente de zero . Ele informa as condições sob as quais esse fenômeno de bifurcação ocorre.

Teorema (consulte a seção 11.2 de). Seja o Jacobiano de um sistema dinâmico paramétrico contínuo avaliado em um ponto estacionário . Suponha que todos os autovalores de tenham parte real negativa, exceto um par puramente imaginário conjugado diferente de zero . Uma bifurcação de Hopf surge quando esses dois valores próprios cruzam o eixo imaginário devido a uma variação dos parâmetros do sistema. ${\ displaystyle J_ {0}}$${\ displaystyle Z_ {e}}$${\ displaystyle J_ {0}}$${\ displaystyle \ pm i \ beta}$

Critério de Routh-Hurwitz

O critério de Routh-Hurwitz (seção I.13 de) fornece as condições necessárias para que ocorra uma bifurcação de Hopf. Vejamos como se pode usar concretamente essa ideia.

Sturm series

Seja uma série de Sturm associada a um polinômio característico . Eles podem ser escritos na forma: ${\ displaystyle p_ {0}, ~ p_ {1}, ~ \ dots ~, ~ p_ {k}}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle p_ {i} (\ mu) = c_ {i, 0} \ mu ^ {ki} + c_ {i, 1} \ mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} \ mu ^ { ki-4} + \ cdots}$

Os coeficientes para in correspondem aos chamados determinantes de Hurwitz . Sua definição está relacionada à matriz de Hurwitz associada . ${\ displaystyle c_ {i, 0}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ {1, ~ \ dots ~, ~ k \}}$

Proposições

Proposição 1 . Se todos os determinantes de Hurwitz são positivos, talvez à parte o Jacobiano associado não tenha autovalores puros imaginários. ${\ displaystyle c_ {i, 0}}$${\ displaystyle c_ {k, 0}}$

Proposição 2 . Se todos os determinantes Hurwitz (para todos no são positivos, e , em seguida, todos os valores próprios da Jacobiana associada ter partes reais negativas, exceto um par conjugado puramente imaginário. ${\ displaystyle c_ {i, 0}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ {0, ~ \ dots ~, ~ k-2 \}}$${\ displaystyle c_ {k-1,0} = 0}$${\ displaystyle c_ {k-2,1} <0}$

As condições que estamos procurando para que ocorra uma bifurcação de Hopf (ver teorema acima) para um sistema dinâmico contínuo paramétrico são dadas por esta última proposição.

Exemplo

Considere o oscilador Van der Pol clássico escrito com equações diferenciais ordinárias:

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dfrac {dx} {dt}} = \ mu (1-y ^ {2}) xy, \\ {\ dfrac {dy} {dt }} = x. \ end {array}} \ right.}$

A matriz Jacobiana associada a este sistema segue:

${\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} - \ mu (-1 + y ^ {2}) & - 2 \ mu yx-1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

O polinômio característico (in ) da linearização em (0,0) é igual a: ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle P (\ lambda) = \ lambda ^ {2} - \ mu \ lambda +1.}$

Os coeficientes são: A série Sturm associada é: ${\ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = - \ mu, a_ {2} = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} p_ {0} (\ lambda) = a_ {0} \ lambda ^ {2} -a_ {2} \\ p_ {1} (\ lambda) = a_ {1 } \ lambda \ end {array}}}$

Os polinômios de Sturm podem ser escritos como (aqui ): ${\ displaystyle i = 0,1}$

${\ displaystyle p_ {i} (\ mu) = c_ {i, 0} \ mu ^ {ki} + c_ {i, 1} \ mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} \ mu ^ { ki-4} + \ cdots}$

A proposição 2 acima diz que se deve ter:

${\ displaystyle c_ {0,0} = 1> 0, c_ {1,0} = - \ mu = 0, c_ {0,1} = - 1 <0.}$

Como 1> 0 e −1 <0 são óbvios, pode-se concluir que uma bifurcação de Hopf pode ocorrer para o oscilador Van der Pol se . ${\ displaystyle \ mu = 0}$

Veja também

• Sistemas de reação-difusão

Referências

Leitura adicional

• Guckenheimer, J .; Myers, M .; Sturmfels, B. (1997). "Computing Hopf Bifurcations I". SIAM Journal on Numerical Analysis . 34 (1): 1–21. CiteSeerX  10.1.1.52.1609 . doi : 10.1137 / S0036142993253461 .
• Hale, J .; Koçak, H. (1991). Dinâmica e bifurcações . Textos em Matemática Aplicada. 3 . Berlim: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
• Hassard, Brian D .; Kazarinoff, Nicholas D .; Wan, Yieh-Hei (1981). Teoria e aplicações da bifurcação de Hopf . Nova York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23158-2.
• Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elements of Applied Bifurcation Theory (Terceira ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21906-6.
• Strogatz, Steven H. (1994). Dinâmica não linear e caos . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.

links externos

• A Bifurcação Hopf
• Página de bifurcação de Andronov-Hopf na Scholarpedia