Superfície hiperelíptica - Hyperelliptic surface

Em matemática , uma superfície hiperelíptica , ou superfície bi-elíptica , é uma superfície cujo morfismo Albanês é uma fibração elíptica . Qualquer superfície pode ser escrita como o quociente de um produto de duas curvas elípticas por um grupo abeliano finito . As superfícies hiperelípticas formam uma das classes de superfícies de dimensão 0 de Kodaira na classificação de Enriques-Kodaira .

Invariantes

A dimensão Kodaira é 0.

Diamante Hodge:

1
1 1
0 2 0
1 1
1

Classificação

Qualquer superfície hiperelíptica é um quociente ( E × F ) / G , onde E = C / Λ e F são curvas elípticas, e G é um subgrupo de F ( atuando em F por translação). Existem sete famílias de superfícies hiperelípticas como na tabela a seguir.

ordem de K Λ G Ação de G sobre E
2 Algum Z / 2 Z e → - e
2 Algum Z / 2 Z ⊕ Z / 2 Z e → - e , e → e + c , - c = c
3 Z ⊕ Z ω Z / 3 Z e → ω e
3 Z ⊕ Z ω Z / 3 Z ⊕ Z / 3 Z e → ω e , e → e + c , ω c = c
4 Z ⊕ Z i; Z / 4 Z e → i e
4 Z ⊕ Z i Z / 4 Z ⊕ Z / 2 Z e → i e , e → e + c , i c = c
6 Z ⊕ Z ω Z / 6 Z e → −ω e

Aqui, ω é uma raiz cúbica primitiva de 1 ei é uma quarta raiz primitiva de 1.

Superfícies quase hiperelípticas

Uma superfície quase-hiperelíptica é uma superfície cujo divisor canônico é numericamente equivalente a zero, o mapeamento de Albanese é mapeado para uma curva elíptica e todas as suas fibras são racionais com uma cúspide . Eles só existem nas características 2 ou 3. Seu segundo número de Betti é 2, o segundo número de Chern desaparece e a característica holomórfica de Euler desaparece. Eles foram classificados por ( Bombieri & Mumford 1976 ), que encontraram seis casos na característica 3 (neste caso 6 K = 0) e oito na característica 2 (neste caso 6 K ou 4 K desaparece). Qualquer superfície quase-hiperelíptica é um quociente ( E × F ) / G , onde E é uma curva racional com uma cúspide, F é uma curva elíptica e G é um esquema de subgrupo finito de F (atuando em F por translações).

Referências

  • Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, ISBN   978-3-540-00832-3 , MR   2030225 - o livro de referência padrão para superfícies compactas complexas
  • Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surface , London Mathematical Society Student Texts, 34 (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-49510-3 , MR   1406314 , ISBN   978-0-521-49842-5
  • Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "Enriques 'classificação de superfícies em char. P. III." (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197-232, doi : 10.1007 / BF01390138 , ISSN   0020-9910 , MR   0491720
  • Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), "Enriques 'classificação de superfícies em char. P. II", Análise complexa e geometria algébrica , Tóquio: Iwanami Shoten, pp. 23-42, MR   0491719