Cúspide (singularidade) - Cusp (singularity)
Em matemática , uma cúspide , às vezes chamada de espínodo em textos antigos, é um ponto em uma curva onde um ponto em movimento deve inverter a direção. Um exemplo típico é dado na figura. Uma cúspide é, portanto, um tipo de ponto singular de uma curva .
Para obter uma curva plana definida por um analítico , equação paramétrica
uma cúspide é um ponto em que ambos os derivados de f e g são iguais a zero, e o derivado direccional , na direcção da tangente , sinal (na direcção da tangente é a direcção da inclinação muda ). Cúspides são singularidades locais no sentido de que envolvem apenas um valor do parâmetro t , em contraste com pontos de autointerseção que envolvem mais de um valor. Em alguns contextos, a condição na derivada direcional pode ser omitida, embora, neste caso, a singularidade possa parecer um ponto regular.
Para uma curva definida por uma equação implícita
que é suave , cúspides são pontos onde os termos de menor grau da expansão de Taylor de F são uma potência de um polinômio linear ; entretanto, nem todos os pontos singulares que possuem essa propriedade são cúspides. A teoria das séries de Puiseux implica que, se F for uma função analítica (por exemplo, um polinômio ), uma mudança linear de coordenadas permite que a curva seja parametrizada , em uma vizinhança da cúspide, como
onde a é um número real , m é um inteiro par positivo e S ( t ) é uma série de potências de ordem k (grau do termo diferente de zero do grau mais baixo) maior que m . O número m é por vezes chamada a ordem ou a multiplicidade de cúspide, e é igual ao grau da parte diferente de zero de menor grau de F . Em alguns contextos, a definição de cúspide é restrita ao caso de cúspides de ordem dois - ou seja, o caso em que m = 2 .
As definições de curvas planas e curvas definidas implicitamente foram generalizadas por René Thom e Vladimir Arnold para curvas definidas por funções diferenciáveis : uma curva tem uma cúspide em um ponto se houver um difeomorfismo de uma vizinhança do ponto no espaço ambiente, que mapeia a curva em uma das cúspides definidas acima.
Classificação em geometria diferencial
Considere uma função suave de valor real de duas variáveis , digamos f ( x , y ) onde x e y são números reais . Portanto, f é uma função do plano à linha. O espaço de todas essas funções suaves é influenciado pelo grupo de difeomorfismos do plano e os difeomorfismos da linha, isto é, mudanças difeomórficas de coordenadas na fonte e no alvo . Esta ação divide todo o espaço funcional em classes de equivalência , ou seja, órbitas da ação do grupo .
Uma dessas famílias de classes de equivalência é denotada por A k ± , onde k é um número inteiro não negativo. Esta notação foi introduzida por VI Arnold . Diz-se que uma função f é do tipo A k ± se está na órbita de x 2 ± y k +1 , ou seja, existe uma mudança difeomórfica de coordenada na origem e no alvo que assume f em uma dessas formas. Diz-se que essas formas simples x 2 ± y k +1 fornecem formas normais para as singularidades k ± do tipo A. Observe que A 2 n + são iguais a A 2 n - uma vez que a mudança difeomórfica da coordenada ( x , y ) → ( x , - y ) na fonte leva x 2 + y 2 n +1 a x 2 - y 2 n +1 . Portanto, podemos eliminar o ± da notação A 2 n ± .
As cúspides são então dadas pelos conjuntos de nível zero dos representantes das classes de equivalência A 2 n , onde n ≥ 1 é um inteiro.
Exemplos
- Um limite comum é dado por x 2 - y 3 = 0, ou seja, o nível-zero-um conjunto de tipo A 2 -singularity. Deixe de f ( x , y ) ser uma função suave de x e y e assumir, por simplicidade, que f (0, 0) = 0. Em seguida, um tipo A 2 -singularity de f a (0, 0) pode ser caracterizado por :
- Tendo uma parte quadrática degenerada, ou seja, os termos quadráticos na série de Taylor de f formam um quadrado perfeito, digamos L ( x , y ) 2 , onde L ( x , y ) é linear em x e y , e
- L ( x , y ) não divide os termos cúbicos na série de Taylor de f ( x , y ).
- Uma cúspide ramfóide (vindo do grego que significa semelhante a um bico) denotou originalmente uma cúspide tal que ambos os ramos estão no mesmo lado da tangente, como para a curva da equação Como tal singularidade está na mesma classe diferencial que a cúspide de equação que é uma singularidade do tipo A 4 , o termo foi estendido a todas essas singularidades. Essas cúspides não são genéricas como cáusticas e frentes de onda . A cúspide ramfoide e a cúspide comum não são difeomórficas. Uma forma paramétrica é .
Para um tipo A 4 -singularity precisamos f ter uma parte quadrática degenerada (isso dá tipo A ≥2 ), que L não dividir os termos cúbicos (isso dá tipo A ≥3 ), uma outra condição divisibilidade (dando tipo A ≥4 ), e uma condição final de não divisibilidade (fornecendo exatamente o tipo A 4 ).
Para ver de onde vêm essas condições de divisibilidade extra, suponha que f tem uma parte quadrática degenerada L 2 e que L divide os termos cúbicos. Segue-se que a série de taylor de terceira ordem de f é dada por L 2 ± LQ onde Q é quadrático em x e y . Podemos completar o quadrado para mostrar que L 2 ± LQ = ( L ± ½ Q ) 2 - ¼ Q 4 . Podemos agora fazer uma mudança difeomórfica de variável (neste caso, simplesmente substituímos polinômios por partes linearmente independentes ) de modo que ( L ± ½ Q ) 2 - ¼ Q 4 → x 1 2 + P 1 onde P 1 é quártico (ordem quatro) em x 1 e y 1 . A condição de divisibilidade para o tipo A ≥4 é que x 1 divide P 1 . Se x 1 não divide P 1, então temos o tipo exatamente A 3 (o conjunto de nível zero aqui é um tacnode ). Se x 1 divide P 1 completa-se o quadrado em x 1 2 + P 1 e alterar as coordenadas de modo que temos x 2 2 + P 2 onde P 2 é quintic (ordem de cinco) em X 2 e Y 2 . Se x 2 não divide P 2, então temos exatamente o tipo A 4 , ou seja, o conjunto de nível zero será uma cúspide ramfoide.
Formulários
As cúspides aparecem naturalmente ao projetar em um plano uma curva suave no espaço euclidiano tridimensional . Em geral, essa projeção é uma curva cujas singularidades são pontos de autocruzamento e cúspides comuns. Os pontos de autocruzamento aparecem quando dois pontos diferentes das curvas têm a mesma projeção. As cúspides comuns aparecem quando a tangente à curva é paralela à direção da projeção (isto é, quando a tangente se projeta em um único ponto). Singularidades mais complicadas ocorrem quando vários fenômenos ocorrem simultaneamente. Por exemplo, cúspides ramfóides ocorrem para pontos de inflexão (e para pontos de ondulação ) para os quais a tangente é paralela à direção de projeção.
Em muitos casos, e normalmente na visão computacional e na computação gráfica , a curva projetada é a curva dos pontos críticos da restrição a um objeto espacial (liso) da projeção. Uma cúspide surge assim como uma singularidade do contorno da imagem do objeto (visão) ou de sua sombra (computação gráfica).
Cáusticas e frentes de onda são outros exemplos de curvas com cúspides visíveis no mundo real.
Veja também
Referências
- Bruce, JW; Giblin, Peter (1984). Curvas e singularidades . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-42999-3.
- Porteous, Ian (1994). Diferenciação geométrica . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39063-7.