Geometria de incidência - Incidence geometry

Em matemática , geometria de incidência é o estudo das estruturas de incidência . Uma estrutura geométrica como o plano euclidiano é um objeto complicado que envolve conceitos como comprimento, ângulos, continuidade, intermediação e incidência . Uma estrutura de incidência é o que é obtido quando todos os outros conceitos são removidos e tudo o que resta são os dados sobre quais pontos estão em quais linhas. Mesmo com essa limitação severa, teoremas podem ser provados e fatos interessantes emergem sobre essa estrutura. Esses resultados fundamentais permanecem válidos quando conceitos adicionais são adicionados para formar uma geometria mais rica. Às vezes acontece que os autores confundem a distinção entre um estudo e os objetos desse estudo, então não é surpreendente descobrir que alguns autores se referem às estruturas de incidência como geometrias de incidência.

As estruturas de incidência surgem naturalmente e têm sido estudadas em várias áreas da matemática. Consequentemente, existem diferentes terminologias para descrever esses objetos. Na teoria dos grafos, eles são chamados de hipergrafos e, na teoria de projetos combinatórios , são chamados de projetos de blocos . Além da diferença de terminologia, cada área aborda o assunto de forma diferente e se interessa por questões sobre esses objetos relevantes para aquela disciplina. Usando a linguagem geométrica, como é feito na geometria de incidência, molda os tópicos e exemplos que normalmente são apresentados. No entanto, é possível traduzir os resultados de uma disciplina para a terminologia de outra, mas isso geralmente leva a declarações estranhas e complicadas que não parecem ser conseqüências naturais dos tópicos. Nos exemplos selecionados para este artigo, usamos apenas aqueles com um sabor geométrico natural.

Um caso especial que gerou muito interesse lida com conjuntos finitos de pontos no plano euclidiano e o que pode ser dito sobre o número e os tipos de linhas (retas) que eles determinam. Alguns resultados dessa situação podem se estender a configurações mais gerais, uma vez que apenas as propriedades de incidência são consideradas.

Estruturas de incidência

Uma estrutura de incidência $(P, L, I)$ consiste em um conjunto $P$ cujos elementos são chamados de pontos , um conjunto disjunto $L$ cujos elementos são chamados de retas e uma relação de incidência $I$ entre eles, ou seja, um subconjunto de $P \times L$ cujos elementos são chamados de sinalizadores . Se $(A, l)$ é um sinalizador, dizemos que $A$ é incidente com $l$ ou que $l$ é incidente com $A$ (a terminologia é simétrica) e escrevemos $A I l$ . Intuitivamente, um ponto e uma linha estão nesta relação se e somente se o ponto estiver na linha. Dado um ponto $B$ e uma linha $m$ que não formam uma bandeira, ou seja, o ponto não está na linha, o par $(B, m)$ é chamado de anti-bandeira .

Distância em uma estrutura de incidência

Não existe um conceito natural de distância (uma métrica ) em uma estrutura de incidência. No entanto, existe uma métrica combinatória no gráfico de incidência correspondente (gráfico de Levi) , ou seja, o comprimento do caminho mais curto entre dois vértices neste gráfico bipartido . A distância entre dois objetos de uma estrutura de incidência - dois pontos, duas linhas ou um ponto e uma linha - pode ser definida como a distância entre os vértices correspondentes no gráfico de incidência da estrutura de incidência.

Outra forma de definir uma distância novamente usa uma noção teórica de gráfico em uma estrutura relacionada, desta vez o gráfico de colinearidade da estrutura de incidência. Os vértices do gráfico de colinearidade são os pontos da estrutura de incidência e dois pontos são unidos se houver uma linha incidente com ambos os pontos. A distância entre dois pontos da estrutura de incidência pode então ser definida como sua distância no gráfico de colinearidade.

Quando a distância é considerada em uma estrutura de incidência, é necessário mencionar como ela está sendo definida.

Espaços lineares parciais

As estruturas de incidência mais estudadas são aquelas que satisfazem algumas propriedades adicionais (axiomas), como planos projetivos , planos afins , polígonos generalizados , geometrias parciais e polígonos próximos . Estruturas de incidência muito gerais podem ser obtidas impondo condições "suaves", como:

Um espaço linear parcial é uma estrutura de incidência para a qual os seguintes axiomas são verdadeiros:

Cada par de pontos distintos determina no máximo uma linha.
Cada linha contém pelo menos dois pontos distintos.

Em um espaço linear parcial, também é verdade que cada par de linhas distintas se encontram em no máximo um ponto. Esta afirmação não precisa ser presumida, pois é prontamente provada a partir do axioma um acima.

Outras restrições são fornecidas pelas condições de regularidade:

RLk : Cada linha é incidente com o mesmo número de pontos. Se for finito, esse número é freqüentemente denotado por $k$ .

RPr : Cada ponto é incidente com o mesmo número de linhas. Se finito, esse número é freqüentemente denotado por $r$ .

O segundo axioma de um espaço linear parcial implica que $k > 1$ . Nenhuma das condições de regularidade implica a outra, portanto, deve-se assumir que $r > 1$ .

Um espaço linear parcial finito satisfazendo ambas as condições de regularidade com $k, r > 1$ é chamado de configuração tática . Alguns autores se referem a eles simplesmente como configurações ou configurações projetivas . Se uma configuração tático tem $n$ pontos e $de m$ linhas e, em seguida, por contagem dupla as bandeiras, a relação $nr = MK$ é estabelecida. Uma notação comum refere-se a $(n r, m k)$ - configurações . No caso especial em que $n = m$ (e, portanto, $r = k$ ), a notação $(n k, n k)$ é frequentemente escrita simplesmente como $(n k)$ .

O espaço linear não trivial mais simples

Um espaço linear é um espaço linear parcial tal que:

Cada par de pontos distintos determina exatamente uma linha.

Alguns autores adicionam um axioma de "não degenerescência" (ou "não trivialidade") à definição de um espaço linear (parcial), como:

Existem pelo menos duas linhas distintas.

Isso é usado para descartar alguns exemplos muito pequenos (principalmente quando os conjuntos $P$ ou $L$ têm menos de dois elementos) que normalmente seriam exceções às declarações gerais feitas sobre as estruturas de incidência. Uma alternativa para adicionar o axioma é referir-se às estruturas de incidência que não satisfazem o axioma como sendo triviais e aquelas que o fazem como não triviais .

Cada espaço linear não trivial contém pelo menos três pontos e três linhas, então o espaço linear não trivial mais simples que pode existir é um triângulo.

Um espaço linear com pelo menos três pontos em cada linha é um desenho Sylvester-Gallai .

Exemplos geométricos fundamentais

Alguns dos conceitos básicos e terminologia surgem de exemplos geométricos, particularmente planos projetivos e planos afins .

Planos projetivos

Um plano projetivo é um espaço linear no qual:

Cada par de linhas distintas se encontram em exatamente um ponto,

e que satisfaça a condição de não degenerescência:

Existem quatro pontos, nenhum dos quais é colinear .

Existe uma bijeção entre $P$ e $L$ em um plano projetivo. Se $P$ é um conjunto finito, o plano projetivo é referido como um plano projetivo finito . A ordem de um plano projetivo finito é $n = k - 1$ , ou seja, um a menos que o número de pontos de uma linha. Todos os planos projetivos conhecidos têm ordens que são as potências principais . Um plano projetivo de ordem $n$ é uma configuração $((n 2 + n + 1) n + 1)$ .

O menor plano projetivo tem ordem dois e é conhecido como plano de Fano .

Plano projetivo de ordem 2
do plano Fano

Avião Fano

Esta famosa geometria de incidência foi desenvolvida pelo matemático italiano Gino Fano . Em seu trabalho de comprovar a independência do conjunto de axiomas para o n- espaço projetivo que desenvolveu, ele produziu um espaço tridimensional finito com 15 pontos, 35 linhas e 15 planos, em que cada linha tinha apenas três pontos. Os planos neste espaço consistiam em sete pontos e sete linhas e agora são conhecidos como planos Fano .

O plano Fano não pode ser representado no plano euclidiano usando apenas pontos e segmentos de linha reta (ou seja, não é realizável). Isso é uma consequência do teorema de Sylvester-Gallai , segundo o qual toda geometria de incidência realizável deve incluir uma linha comum , uma linha contendo apenas dois pontos. O avião Fano não tem essa linha (ou seja, é uma configuração Sylvester-Gallai ), por isso não é realizável.

Um quadrângulo completo consiste em quatro pontos, nenhum dos quais é colinear. No plano de Fano, os três pontos que não estão em um quadrilátero completo são os pontos diagonais desse quadrilátero e são colineares. Isso contradiz o axioma de Fano , freqüentemente usado como um axioma para o plano euclidiano, que afirma que os três pontos diagonais de um quadrilátero completo nunca são colineares.

Aviões afins

Um plano afim é um espaço linear que satisfaz:

Para qualquer ponto $A$ e linha $l$ não incidente com ele (um anti-bandeira ), há exatamente uma linha $m$ incidente com $A$ (isto é, $A I m$ ), que não atende $l$ (conhecido como axioma de Playfair ),

e satisfazendo a condição de não degenerescência:

Existe um triângulo, ou seja, três pontos não colineares.

As linhas $l$ e $m$ na declaração do axioma de Playfair são consideradas paralelas . Cada plano afim pode ser estendido exclusivamente a um plano projetivo. A ordem de um plano afim finito é $k$ , o número de pontos em uma linha. Um plano afim de ordem $n$ é uma configuração $((n 2) n + 1, (n 2 + n) n)$ .

Plano afim de ordem 3
(configuração Hesse)

Configuração Hesse

O plano afim de ordem três é uma configuração $(9 4, 12 3)$ . Quando embutido em algum espaço ambiente, é chamado de configuração Hesse . Não é realizável no plano euclidiano, mas é realizável no plano projetivo complexo como os nove pontos de inflexão de uma curva elíptica com as 12 linhas incidentes com as triplas delas.

As 12 linhas podem ser divididas em quatro classes de três linhas cada, onde, em cada classe, as linhas são mutuamente disjuntas. Essas classes são chamadas de classes paralelas de linhas. Adicionar quatro novos pontos, cada um sendo adicionado a todas as linhas de uma única classe paralela (de modo que todas essas linhas agora se cruzam), e uma nova linha contendo apenas esses quatro novos pontos produz o plano projetivo de ordem três, a $(13 4)$ configuração. Inversamente, começar com o plano projetivo de ordem três (ele é único) e remover qualquer linha única e todos os pontos dessa linha produz esse plano afim de ordem três (ele também é único).

Remover um ponto e as quatro linhas que passam por esse ponto (mas não os outros pontos sobre eles) produz a configuração $(8 3)$ Möbius-Kantor .

Geometrias parciais

Geometria parcial pg (2,2,1)

Dado um inteiro $α \geq 1$ , uma configuração tática satisfaz:

Para cada anti-sinalizador $(B, m)$ há sinalizadores $α$ $(A, l), de$ modo que $B I l$ e $A I m$ ,

é chamado de geometria parcial . Se houver $s + 1$ pontos em uma linha e $t + 1$ linhas em um ponto, a notação para uma geometria parcial é $pg (s, t, α)$ .

Se $α = 1,$ essas geometrias parciais são quadrantes generalizados .

Se $α = s + 1$ são chamados de sistemas de Steiner .

Polígonos generalizados

Para $n > 2$ , um $n$ -gon generalizado é um espaço linear parcial cujo gráfico de incidência $Γ$ tem a propriedade:

A circunferência de $Γ$ (comprimento do ciclo mais curto ) é duas vezes o diâmetro de $Γ$ (a maior distância entre dois vértices, $n$ neste caso).

Um 2-gon generalizado é uma estrutura de incidência, que não é um espaço linear parcial, consistindo de pelo menos dois pontos e duas linhas com cada ponto incidente com cada linha. O gráfico de incidência de um 2-gon generalizado é um gráfico bipartido completo.

Um $n$ -gon generalizado não contém $m$ -gon comum para $2 \leq m < n$ e para cada par de objetos (dois pontos, duas linhas ou um ponto e uma linha) existe um $n$ -gon comum que contém os dois.

3-gons generalizados são planos projetivos. 4-gons generalizados são chamados de quadrantes generalizados . Pelo teorema de Feit-Higman, os únicos $n-$ pontos generalizados finitos com pelo menos três pontos por linha e três linhas por ponto têm $n$ = 2, 3, 4, 6 ou 8.

Polígonos próximos

Para um número inteiro não negativo $d$ uma perto de $2 d$ Gon é uma estrutura de incidência tais que:

A distância máxima (conforme medida no gráfico de colinearidade) entre dois pontos é $d$ , e
Para cada ponto $X$ e linha $l$ existe um único ponto em $l$ que está mais próximo $X$ .

Um próximo de 0 gon é um ponto, enquanto um próximo de 2 gon é uma linha. O gráfico de colinearidade de quase 2 gon é um gráfico completo . Um próximo 4-gon é um quadrângulo generalizado (possivelmente degenerado). Todo polígono generalizado finito, exceto os planos projetivos, é um polígono próximo. Qualquer grafo bipartido conectado é um polígono próximo e qualquer polígono próximo com precisamente dois pontos por linha é um grafo bipartido conectado. Além disso, todos os espaços polares duplos estão próximos a polígonos.

Muitos polígonos próximos estão relacionados a grupos simples finitos como os grupos Mathieu e o grupo Janko J2 . Além disso, os 2 d -gons generalizados , que estão relacionados ao tipo Grupos de Lie , são casos especiais de quase 2 d -gons.

Aviões Möbius

Um plano de Mōbius abstrato (ou plano inversivo) é uma estrutura de incidência onde, para evitar possível confusão com a terminologia do caso clássico, as linhas são referidas como ciclos ou blocos .

Especificamente, um plano de Möbius é uma estrutura de incidência de pontos e ciclos tais que:

Cada triplo de pontos distintos incide precisamente com um ciclo.
Para qualquer bandeira $(P, Z)$ e qualquer ponto $Q$ não incidente com $z$ há um único ciclo $z *$ com $P I z *, Q I Z *$ e $Z \cap z * = {P$ }. (Diz-se que os ciclos tocam em $P.$ )
Cada ciclo tem pelo menos três pontos e existe pelo menos um ciclo.

A estrutura de incidência obtida em qualquer ponto $P$ de um plano de Möbius tomando como pontos todos os outros pontos que não $P$ e como linhas apenas aqueles ciclos que contêm $P$ (com $P$ removido), é um plano afim. Essa estrutura é chamada de residual em $P$ na teoria do projeto.

Um plano Möbius finito de ordem $m$ é uma configuração tática com $k = m + 1$ pontos por ciclo que é um projeto de 3 , especificamente um projeto de bloco de $3- (m 2 + 1, m + 1, 1)$ .

Teoremas de incidência no plano euclidiano

O teorema de Sylvester-Gallai

Uma questão levantada por JJ Sylvester em 1893 e finalmente resolvida por Tibor Gallai dizia respeito à incidência de um conjunto finito de pontos no plano euclidiano.

Teorema (Sylvester-Gallai) : Um conjunto finito de pontos no plano euclidiano é colinear ou existe uma linha incidente com exatamente dois dos pontos.

Uma linha contendo exatamente dois dos pontos é chamada de linha comum neste contexto. Sylvester provavelmente foi levado à pergunta enquanto ponderava sobre a capacidade de incorporação da configuração de Hesse.

Teorema de de Bruijn – Erdős

Um resultado relacionado é o teorema de Bruijn – Erdős . Nicolaas Govert de Bruijn e Paul Erdős provaram o resultado na configuração mais geral dos planos projetivos, mas ainda se mantém no plano euclidiano. O teorema é:

Em um plano projetivo , todo conjunto não colinear de

n

pontos determina pelo menos

n

linhas distintas.

Como os autores apontaram, uma vez que sua prova era combinatória, o resultado é válido em um cenário maior, de fato, em qualquer geometria de incidência em que haja uma linha única através de cada par de pontos distintos. Eles também mencionam que a versão do plano euclidiano pode ser provada a partir do teorema de Sylvester-Gallai usando indução .

Teorema de Szemerédi-Trotter

Um limite no número de bandeiras determinado por um conjunto finito de pontos e as linhas que eles determinam é dado por:

Teorema (Szemerédi-Trotter) : dados $n$ pontos e $de m$ linhas no plano, o número de bandeiras (incidentes pares de linha de ponto) é:

{\ displaystyle O \ left (n ^ {\ frac {2} {3}} m ^ {\ frac {2} {3}} + n + m \ right),}

e esse limite não pode ser melhorado, exceto em termos das constantes implícitas.

Este resultado pode ser usado para provar o teorema de Beck.

Um limite semelhante para o número de incidências é conjecturado para incidências de ponto-círculo, mas apenas limites superiores mais fracos são conhecidos.

Teorema de Beck

O teorema de Beck diz que coleções finitas de pontos no plano caem em um de dois extremos; um em que uma grande fração de pontos se encontra em uma única linha e um em que um grande número de linhas é necessário para conectar todos os pontos.

O teorema afirma a existência de constantes positivas $C, K$ tais que dados quaisquer $n$ pontos no plano, pelo menos uma das seguintes afirmações é verdadeira:

Existe uma linha que contém pelo menos n/C dos pontos.
Existem pelo menos n ²/K linhas, cada uma das quais contém pelo menos dois dos pontos.

No argumento original de Beck, $C$ é 100 e $K$ é uma constante não especificada; não se sabe quais são os valores ideais de $C$ e $K$ são.

Mais exemplos

Veja também

Notas

Referências

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links externos

Mídia relacionada à geometria de incidência no Wikimedia Commons
sistema de incidência na Enciclopédia de Matemática

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