Incidência (geometria) - Incidence (geometry)

Em geometria , uma relação de incidência é uma relação heterogênea que captura a ideia sendo expressa quando frases como "um ponto está em uma linha" ou "uma linha está contida em um plano" são usadas. A relação de incidência mais básica é aquela entre um ponto, $P$ , e uma linha, $l$ , às vezes denotada por $P$ $I$ $l$ . Se $P$ $I$ $l,$ o par $($ $P$ $,$ $l$ $)$ é chamado de bandeira . Existem muitas expressões usadas na linguagem comum para descrever a incidência (por exemplo, uma linha passa por um ponto, um ponto encontra-se em um plano, etc.), mas o termo "incidência" é preferido porque não tem as conotações adicionais que estes outros termos sim e podem ser usados de maneira simétrica. Afirmações como "a linha $l$ $1$ intersecta a linha $l$ $2$ " também são afirmações sobre as relações de incidência, mas neste caso, é porque esta é uma forma abreviada de dizer que "existe um ponto $P$ que é incidente com a linha $l$ $1$ e linha $l$ $2$ ". Quando um tipo de objeto pode ser pensado como um conjunto de outro tipo de objeto (a saber , um plano é um conjunto de pontos), então uma relação de incidência pode ser vista como contenção .

Declarações como "quaisquer duas linhas em um plano se encontram" são chamadas de proposições de incidência . Esta afirmação particular é verdadeira em um plano projetivo , embora não seja verdadeira no plano euclidiano, onde as linhas podem ser paralelas . Historicamente, a geometria projetiva foi desenvolvida para tornar verdadeiras as proposições de incidência sem exceções, como aquelas causadas pela existência de paralelos. Do ponto de vista da geometria sintética , a geometria projetiva deve ser desenvolvida usando proposições como axiomas . Isso é mais significativo para os planos projetivos devido à validade universal do teorema de Desargues em dimensões superiores.

Em contraste, a abordagem analítica é definir o espaço projetivo com base na álgebra linear e utilizando coordenadas homogêneas . As proposições de incidência são derivadas do seguinte resultado básico em espaços vetoriais : dados os subespaços $U$ e $W$ de um espaço vetorial (dimensão finita) $V$ , a dimensão de sua intersecção é $dim U + dim W - dim (U + W)$ . Tendo em vista que a dimensão geométrica do espaço projetivo $P (V)$ associado a $V$ é $dim V - 1$ e que a dimensão geométrica de qualquer subespaço é positiva, a proposição básica de incidência neste cenário pode assumir a forma: subespaços lineares $L$ e $M$ de projectiva espaço $P$ encontram fornecida $dim G + dim M \geq dim P$ .

As secções que se seguem estão limitados a planos projetivos definidas sobre campos , muitas vezes designadas por $PG (2, M)$ , onde $M$ é um domínio, ou $P 2 M$ . No entanto, esses cálculos podem ser naturalmente estendidos para espaços projetivos de dimensão superior, e o campo pode ser substituído por um anel de divisão (ou skewfield), desde que se preste atenção ao fato de que a multiplicação não é comutativa nesse caso.

$PG (2, F)$

Vamos $V$ ser o espaço vectorial tridimensional definido sobre o campo $F$ . O plano projetivo $P (V) = PG (2, F)$ consiste nos subespaços vetoriais unidimensionais de $V$ , chamados pontos , e nos subespaços vetoriais bidimensionais de $V$ , chamados linhas . A incidência de um ponto e uma linha é dada pela contenção do subespaço unidimensional no subespaço bidimensional.

Fixe uma base para $V$ para que possamos descrever seus vetores como triplas de coordenadas (com respeito a essa base). Um subespaço vetorial unidimensional consiste em um vetor diferente de zero e todos os seus múltiplos escalares. Os múltiplos escalares diferentes de zero, escritos como triplas de coordenadas, são as coordenadas homogêneas de um determinado ponto, chamadas de coordenadas de ponto . Com relação a essa base, o espaço de solução de uma única equação linear ${(x, y, z) | ax + by + cz = 0$ } é um subespaço bidimensional de $V$ e, portanto, uma linha de $P (V)$ . Esta linha pode ser denotada por coordenadas de linha $[a, b, c]$ , que também são coordenadas homogêneas, uma vez que múltiplos escalares diferentes de zero resultariam na mesma linha. Outras notações também são amplamente utilizadas. As coordenadas dos pontos pode ser escrito como vectores de coluna, $(x, y, z)$ ^T , com dois pontos, $(x : y : z)$ , ou com um subscrito, $(x, y, z) P$ . Correspondentemente, as coordenadas de linha pode ser escrito como vectores linha, $(um, b, c)$ , com dois pontos, $[a : b : c]$ ou com um subscrito, $(um, b, c) L$ . Outras variações também são possíveis.

Incidência expressa algebricamente

Dado um ponto $P = (x, y, z)$ e uma linha $l = [a, b, c]$ , escrito em termos de coordenadas de ponto e linha, o ponto é incidente com a linha (muitas vezes escrito como $P I l$ ), se e apenas se,

ax + by + cz = 0

.

Isso pode ser expresso em outras notações como:

{\ displaystyle ax + by + cz = [a, b, c] \ cdot (x, y, z) = (a, b, c) _ {L} \ cdot (x, y, z) _ {P} =}

{\ displaystyle = [a: b: c] \ cdot (x: y: z) = (a, b, c) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ direita) = 0.}

Não importa qual notação seja empregada, quando as coordenadas homogêneas do ponto e da linha são consideradas apenas como triplas ordenadas, sua incidência é expressa como tendo seu produto escalar igual a 0.

O incidente de linha com um par de pontos distintos

Sejam $P 1$ e $P 2$ um par de pontos distintos com coordenadas homogêneas $(x 1, y 1, z 1)$ e $(x 2, y 2, z 2)$ respectivamente. Esses pontos determinam uma linha única $l$ com uma equação da forma $ax + by + cz = 0$ e devem satisfazer as equações:

ax 1 + por 1 + cz 1 = 0

e

ax 2 + por 2 + cz 2 = 0

.

Na forma de matriz, este sistema de equações lineares simultâneas pode ser expresso como:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} a \\ b \\ c \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {matrix}} \ right ).}

Este sistema tem uma solução não trivial se e somente se o determinante ,

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} x & y & z \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {matrix}} \ right | = 0.}

A expansão desta equação determinante produz uma equação linear homogênea, que deve ser a equação da linha $l$ . Portanto, até um fator constante diferente de zero comum, temos $l = [a, b, c]$ onde:

a = y 1 z 2 - y 2 z 1

,

b = x 2 z 1 - x 1 z 2

, e

c = x 1 y 2 - x 2 y 1

.

Em termos da notação escalar de produto triplo para vetores, a equação desta linha pode ser escrita como:

P \cdot P 1 \times P 2 = 0

,

onde $P = (x, y, z)$ é um ponto genérico.

Colinearidade

Os pontos que incidem com a mesma linha são considerados colineares . O conjunto de todos os pontos incidentes com a mesma linha é chamado de intervalo .

Se $P 1 = (x 1, y 1, z 1), P 2 = (x 2, y 2, z 2)$ , e $P 3 = (x 3, y 3, z 3)$ , então esses pontos são colineares se e só se

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ { 3} \ end {matriz}} \ right | = 0,}

ou seja, se e somente se o determinante das coordenadas homogêneas dos pontos for igual a zero.

Intersecção de um par de linhas

Seja $l 1 = [a 1, b 1, c 1]$ e $l 2 = [a 2, b 2, c 2]$ um par de retas distintas. Então, a intersecção das linhas $l 1$ e $l 2$ é o ponto a $P = (x 0, y 0, z 0)$ que é a solução simultânea (até um fator escalar) do sistema de equações lineares:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0

e

a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0

.

A solução deste sistema dá:

x 0 = b 1 c 2 - b 2 c 1

,

y 0 = a 2 c 1 - a 1 c 2

, e

z 0 = a 1 b 2 - a 2 b 1

.

Alternativamente, considere outra linha $l = [a, b, c]$ passando pelo ponto $P$ , ou seja, as coordenadas homogêneas de $P$ satisfazem a equação:

ax + by + cz = 0

.

Combinando esta equação com as duas que definem $P$ , podemos buscar uma solução não trivial da equação matricial:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} a & b & c \\ a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {matrix}} \ right ).}

Essa solução existe desde que o determinante,

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} a & b & c \\ a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ end {matrix}} \ right | = 0.}

Os coeficientes de $um, b$ e $c$ nesta equação dar as coordenadas homogéneas de $P$ .

A equação da linha genérica que passa pelo ponto $P$ na notação escalar de produto triplo é:

l \cdot l 1 \times l 2 = 0

.

Simultaneidade

As linhas que se encontram no mesmo ponto são consideradas concorrentes . O conjunto de todas as linhas em um incidente plano com o mesmo ponto é chamado de um lápis de linhas centradas naquele ponto. O cálculo da interseção de duas linhas mostra que todo o lápis de linhas centrado em um ponto é determinado por quaisquer duas das linhas que se cruzam naquele ponto. Segue-se imediatamente que a condição algébrica para três retas, $[a 1, b 1, c 1], [a 2, b 2, c 2], [a 3, b 3, c 3]$ concorrentes é que o determinante ,

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ { 3} \ end {matriz}} \ right | = 0.}

Veja também

Referências

Harold L. Dorwart (1966) The Geometry of Incidence , Prentice Hall .

Languages

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Incidência (geometria) - Incidence (geometry)

Conteúdo

$PG (2, F)$

Incidência expressa algebricamente

O incidente de linha com um par de pontos distintos

Colinearidade

Intersecção de um par de linhas

Simultaneidade

Veja também

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Incidência expressa algebricamente

O incidente de linha com um par de pontos distintos

Colinearidade

Intersecção de um par de linhas

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$PG (2, F)$