Série de composição - Composition series

Na álgebra abstrata , uma série de composição fornece uma maneira de quebrar uma estrutura algébrica , como um grupo ou um módulo , em partes simples. A necessidade de considerar séries de composição no contexto de módulos surge do fato de que muitos módulos que ocorrem naturalmente não são semi-simples , portanto, não podem ser decompostos em uma soma direta de módulos simples . Uma série de composição de um módulo M é uma filtração crescente finita de M por submódulos, de modo que os quocientes sucessivos são simples e servem como uma substituição da decomposição da soma direta de M em seus constituintes simples.

Uma série de composições pode não existir e, quando existe, não precisa ser única. No entanto, um grupo de resultados conhecido pelo nome geral de teorema de Jordan-Hölder afirma que sempre que existem séries de composição, as classes de isomorfismo de peças simples (embora, talvez, não sua localização na série de composição em questão) e suas multiplicidades são exclusivamente determinadas. As séries de composição podem, portanto, ser usadas para definir invariantes de grupos finitos e módulos artinianos .

Um conceito relacionado, mas distinto, é uma série principal : uma série de composição é uma série subnormal máxima , enquanto uma série principal é uma série normal máxima .

Para grupos

Se um grupo L tem um subgrupo normal N , então o factor de grupo L / N pode ser formada, e alguns aspectos do estudo da estrutura de G pode ser discriminado, estudando os grupos "menores" L / N e N . Se G não tem subgrupo normal diferente de G e do grupo trivial, então G é um grupo simples . Caso contrário, surge naturalmente a questão de saber se G pode ser reduzido a simples "pedaços" e, em caso afirmativo, há alguma característica única da maneira como isso pode ser feito?

Mais formalmente, uma série de composição de um grupo G é uma série subnormal de comprimento finito

${\ displaystyle 1 = H_ {0} \ triangleleft H_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft H_ {n} = G,}$

com inclusões estritas, de modo que cada H _i é um subgrupo normal adequado máximo de H _{i +1} . Equivalentemente, uma série de composição é uma série subnormal de modo que cada grupo de fatores H _{i +1} / H _i é simples . Os grupos de fatores são chamados de fatores de composição .

Uma série subnormal é uma série de composição se, e somente se , for de comprimento máximo. Ou seja, não há subgrupos adicionais que possam ser "inseridos" em uma série de composição. O comprimento n da série é chamado de comprimento da composição .

Se uma série de composição existe para um grupo G , então qualquer série subnormal de G pode ser refinada para uma série de composição, informalmente, inserindo subgrupos na série até a maximalidade. Todo grupo finito tem uma série de composição, mas nem todo grupo infinito tem uma. Por exemplo, não tem séries de composição. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Singularidade: teorema de Jordan-Hölder

Um grupo pode ter mais de uma série de composição. No entanto, o teorema de Jordan – Hölder (em homenagem a Camille Jordan e Otto Hölder ) afirma que quaisquer duas séries de composição de um determinado grupo são equivalentes. Ou seja, possuem o mesmo comprimento de composição e os mesmos fatores de composição, até permutação e isomorfismo . Este teorema pode ser provado usando o teorema do refinamento de Schreier . O teorema de Jordan-Hölder também é verdadeiro para séries de composição ascendente transfinita , mas não para séries de composição descendente transfinita ( Birkhoff 1934 ). Baumslag (2006) fornece uma prova curta do teorema de Jordan-Hölder ao cruzar os termos de uma série subnormal com os de outras séries.

Exemplo

Para um grupo cíclico de ordem n , as séries de composição correspondem a fatorações primárias ordenadas de n , e de fato produz uma prova do teorema fundamental da aritmética .

Por exemplo, o grupo cíclico tem e como três séries de composição diferentes. As sequências de fatores de composição obtidas nos respectivos casos são e${\ displaystyle C_ {12}}$${\ displaystyle C_ {1} \ triangleleft C_ {2} \ triangleleft C_ {6} \ triangleleft C_ {12}, \ \, C_ {1} \ triangleleft C_ {2} \ triangleleft C_ {4} \ triangleleft C_ {12 },}$${\ displaystyle C_ {1} \ triangleleft C_ {3} \ triangleleft C_ {6} \ triangleleft C_ {12}}$${\ displaystyle C_ {2}, C_ {3}, C_ {2}, \ \, C_ {2}, C_ {2}, C_ {3},}$${\ displaystyle C_ {3}, C_ {2}, C_ {2}.}$

Para módulos

A definição de séries de composição para módulos restringe toda a atenção aos submódulos, ignorando todos os subgrupos aditivos que não são submódulos. Dado um anel R e um R- módulo M , uma série de composição para M é uma série de submódulos

${\ displaystyle \ {0 \} = J_ {0} \ subset \ cdots \ subset J_ {n} = M}$

onde todas as inclusões são estritas e J _k é um submódulo máximo de J _{k +1} para cada k . Quanto aos grupos, se M tem uma série de composição, então qualquer série finita estritamente crescente de submódulos de M pode ser refinada em uma série de composição, e quaisquer duas séries de composição para M são equivalentes. Nesse caso, os módulos quocientes (simples) J _{k +1} / J _k são conhecidos como os fatores de composição de M, e o teorema de Jordan-Hölder se mantém, garantindo que o número de ocorrências de cada tipo de isomorfismo do módulo R simples como um fator de composição não depende da escolha da série de composição.

É bem sabido que um módulo possui uma série de composição finita se e somente se for um módulo Artiniano e um Módulo Noetheriano . Se R é um anel Artiniano , então todo módulo- R finitamente gerado é Artiniano e Noetheriano e, portanto, tem uma série de composição finita. Em particular, para qualquer campo K , qualquer módulo de dimensão finita para uma álgebra de dimensão finita sobre K tem uma série de composição, única até a equivalência.

Generalização

Grupos com um conjunto de operadores generalizam ações de grupo e tocam ações em um grupo. Uma abordagem unificada para grupos e módulos pode ser seguida como em ( Bourbaki 1974 , Ch. 1) ou ( Isaacs 1994 , Ch. 10), simplificando parte da exposição. O grupo G é visto como sendo influenciado por elementos (operadores) de um conjunto Ω . A atenção é inteiramente restrita a subgrupos invariantes sob a ação de elementos de Ω , chamados de Ω -subgrupos. Assim, as séries de composição Ω devem usar apenas Ω subgrupos, e os fatores de composição Ω precisam ser apenas Ω-simples. Os resultados padrão acima, como o teorema de Jordan-Hölder, são estabelecidos com provas quase idênticas.

Os casos especiais recuperados incluem quando Ω = G de forma que G está agindo sobre si mesmo. Um exemplo importante disso é quando os elementos de G agem por conjugação, de modo que o conjunto de operadores consiste nos automorfismos internos . Uma série de composição sob esta ação é exatamente uma série principal . Estruturas de módulo são um caso de Ω-ações onde Ω é um anel e alguns axiomas adicionais são satisfeitos.

Para objetos em uma categoria abeliana

Uma série de composição de um objeto A em uma categoria abeliana é uma sequência de subobjetos

${\ displaystyle A = X_ {0} \ supsetneq X_ {1} \ supsetneq \ dots \ supsetneq X_ {n} = 0}$

tal que cada objeto quociente X _i  / X _{i  + 1} é simples (para 0 ≤ i < n ). Se uma tem uma série de composição, o número inteiro n depende apenas de uma e é chamada o comprimento de um .

Veja também

• Teoria de Krohn-Rhodes , um análogo de semigrupo
• Teorema do refinamento de Schreier , quaisquer duas séries subnormais equivalentes têm refinamentos de séries de composição equivalentes
• Lema de Zassenhaus , usado para provar o Teorema do Refinamento de Schreier

Notas

Referências

• Birkhoff, Garrett (1934), "Transfinite subgroup series" , Bulletin of the American Mathematical Society , 40 (12): 847-850, doi : 10.1090 / S0002-9904-1934-05982-2
• Baumslag, Benjamin (2006), "Uma maneira simples de provar o teorema de Jordan-Hölder-Schreier", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307 / 27642092
• Bourbaki, N. (1974), Algebra , Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
• Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course , Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categorias e polias