Grupo simples - Simple group

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , um grupo simples é um grupo não trivial cujos únicos subgrupos normais são o grupo trivial e o próprio grupo. Um grupo que não é simples pode ser dividido em dois grupos menores, a saber, um subgrupo normal não trivial e o grupo de quociente correspondente . Este processo pode ser repetido e, para grupos finitos, eventualmente chega-se a grupos simples determinados de forma única, pelo teorema de Jordan-Hölder .

A classificação completa de grupos simples finitos , concluída em 2004, é um marco importante na história da matemática.

Exemplos

Grupos finitos simples

O grupo cíclico G = ( Z / 3 Z , +) = Z ₃ das classes de congruência módulo 3 (ver aritmética modular ) é simples. Se H é um subgrupo deste grupo, sua ordem (o número de elementos) deve ser um divisor da ordem de G, que é 3. Visto que 3 é primo, seus únicos divisores são 1 e 3, então ou H é G , ou H é o grupo trivial. Por outro lado, o grupo G = ( Z / 12 Z , +) = Z ₁₂ não é simples. O conjunto H de classes de congruência de 0, 4 e 8 módulo 12 é um subgrupo de ordem 3 e é um subgrupo normal, uma vez que qualquer subgrupo de um grupo abeliano é normal. Da mesma forma, o grupo aditivo dos inteiros ( Z , +) não é simples; o conjunto de inteiros pares é um subgrupo normal adequado não trivial.

Pode-se usar o mesmo tipo de raciocínio para qualquer grupo abeliano, para deduzir que os únicos grupos abelianos simples são os grupos cíclicos de ordem primária . A classificação de grupos simples nãoabelianos é muito menos trivial. O menor grupo simples nãoabeliano é o grupo alternado A ₅ de ordem 60, e todo grupo simples de ordem 60 é isomórfico a A ₅ . O segundo menor grupo simples nãoabeliano é o grupo linear especial projetivo PSL (2,7) de ordem 168, e todo grupo simples de ordem 168 é isomorfo a PSL (2,7) .

Grupos simples infinitos

O grupo alternado infinito, ou seja, o grupo de permutações até mesmo finitamente suportadas dos inteiros, A _∞ é simples. Este grupo pode ser escrito como a união crescente dos grupos simples finitos A _n com respeito aos embeddings padrão A _n → A _{n +1} . Outra família de exemplos de grupos simples infinitos é dada por PSL _n ( F ), onde F é um campo infinito en ≥ 2 .

É muito mais difícil construir grupos simples infinitos gerados finitamente . O primeiro resultado de existência não é explícito; é devido a Graham Higman e consiste em quocientes simples do grupo Higman . Exemplos explícitas, os quais acabam por ser finito apresentados, incluem os infinitos grupos Thompson T e V . Finita apresentados livre de torção simples grupos infinitos foram construídos por Burger e Mozes.

Classificação

Ainda não existe uma classificação conhecida para grupos simples gerais (infinitos), e nenhuma classificação desse tipo é esperada.

Grupos finitos simples

Os grupos finitos simples são importantes porque, em certo sentido, eles são os "blocos de construção básicos" de todos os grupos finitos, algo semelhante à maneira como os números primos são os blocos de construção básicos dos inteiros . Isso é expresso pelo teorema de Jordan-Hölder, que afirma que quaisquer duas séries de composição de um determinado grupo têm o mesmo comprimento e os mesmos fatores, até permutação e isomorfismo . Em um enorme esforço colaborativo, a classificação de grupos simples finitos foi declarada realizada em 1983 por Daniel Gorenstein , embora alguns problemas tenham surgido (especificamente na classificação de grupos quasithin , que foram plugados em 2004).

Resumidamente, grupos simples finitos são classificados como pertencentes a uma das 18 famílias ou sendo uma das 26 exceções:

• Z _p - grupo cíclico de ordem principal
• A _n - grupo alternado para n ≥ 5

  Os grupos alternados podem ser considerados como grupos do tipo Lie sobre o campo com um elemento , o que une esta família com a seguinte, e assim todas as famílias de grupos simples finitos não abelianos podem ser consideradas do tipo Lie.

• Uma das 16 famílias de grupos do tipo Lie

  O grupo Tits é geralmente considerado desta forma, embora estritamente falando não seja do tipo Lie, mas sim índice 2 em um grupo do tipo Lie.

• Uma das 26 exceções, os grupos esporádicos , dos quais 20 são subgrupos ou subquotientes do grupo de monstros e são chamados de "Família Feliz", enquanto os 6 restantes são chamados de párias .

Estrutura de grupos simples finitos

O famoso teorema de Feit e Thompson afirma que todo grupo de ordem ímpar pode ser resolvido . Portanto, todo grupo simples finito tem ordem par, a menos que seja cíclico de ordem primária.

A conjectura de Schreier afirma que o grupo de automorfismos externos de cada grupo simples finito é solucionável. Isso pode ser provado usando o teorema da classificação.

História para grupos simples finitos

Existem dois fios na história de grupos simples finitos - a descoberta e construção de grupos e famílias simples específicos, que ocorreu desde o trabalho de Galois na década de 1820 até a construção do Monstro em 1981; e a prova de que essa lista estava completa, que começou no século 19, mais significativamente ocorreu de 1955 a 1983 (quando a vitória foi inicialmente declarada), mas só foi geralmente acordado para ser concluído em 2004. A partir de 2010, trabalho para melhorar as provas e a compreensão continua; veja ( Silvestri 1979 ) para a história do século 19 de grupos simples.

Construção

Grupos simples têm sido estudados pelo menos desde o início da teoria de Galois , onde Évariste Galois percebeu que o fato de os grupos alternados em cinco ou mais pontos serem simples (e, portanto, não solucionáveis), o que ele provou em 1831, era a razão pela qual não se podia resolva a quíntica em radicais. Galois também construiu o grupo linear especial projetivo de um plano sobre um corpo finito primo, PSL (2, p ) , e observou que eles eram simples para p, não 2 ou 3. Isso está contido em sua última carta a Chevalier, e são os próximo exemplo de grupos simples finitos.

As próximas descobertas foram feitas por Camille Jordan em 1870. Jordan encontrou 4 famílias de grupos de matriz simples sobre campos finitos de ordem primária, que agora são conhecidos como grupos clássicos .

Quase ao mesmo tempo, foi mostrado que uma família de cinco grupos, chamados de grupos Mathieu e descritos pela primeira vez por Émile Léonard Mathieu em 1861 e 1873, também eram simples. Uma vez que esses cinco grupos foram construídos por métodos que não produziam infinitas possibilidades, eles foram chamados de " esporádicos " por William Burnside em seu livro de 1897.

Mais tarde, os resultados de Jordan em grupos clássicos foram generalizados para campos finitos arbitrários por Leonard Dickson , seguindo a classificação de álgebras de Lie simples complexas por Wilhelm Killing . Dickson também construiu grupos de exceção do tipo G ₂ e E ₆ , mas não dos tipos F ₄ , E ₇ ou E ₈ ( Wilson 2009 , p. 2). Na década de 1950, o trabalho em grupos do tipo Lie foi continuado, com Claude Chevalley dando uma construção uniforme dos grupos clássicos e dos grupos de tipo excepcional em um artigo de 1955. Isso omitiu certos grupos conhecidos (os grupos unitários projetivos), que foram obtidos "torcendo" a construção Chevalley. Os grupos restantes do tipo Lie foram produzidos por Steinberg, Tits e Herzig (que produziram ³ D ₄ ( q ) e ² E ₆ ( q )) e por Suzuki e Ree (os grupos Suzuki-Ree ).

Esses grupos (os grupos do tipo Lie, junto com os grupos cíclicos, grupos alternados e os cinco grupos excepcionais de Mathieu) eram considerados uma lista completa, mas após uma calmaria de quase um século desde o trabalho de Mathieu, em 1964, o o primeiro grupo Janko foi descoberto e os 20 grupos esporádicos restantes foram descobertos ou conjecturados em 1965–1975, culminando em 1981, quando Robert Griess anunciou que havia construído o " grupo Monstro " de Bernd Fischer . O Monstro é o maior grupo simples esporádico, tendo a ordem de 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000. O Monstro tem uma representação fiel de 196.883 dimensões na álgebra de Griess de 196.884 dimensões , o que significa que cada elemento do Monstro pode ser expresso como uma matriz de 196.883 por 196.883.

Classificação

A classificação completa é geralmente aceita como começando com o teorema Feit – Thompson de 1962-63, durando amplamente até 1983, mas só sendo concluído em 2004.

Logo após a construção do Monstro em 1981, uma prova, totalizando mais de 10.000 páginas, foi fornecida de que os teóricos do grupo haviam listado com sucesso todos os grupos simples finitos , com a vitória declarada em 1983 por Daniel Gorenstein. Isso foi prematuro - algumas lacunas foram descobertas mais tarde, principalmente na classificação de grupos de quasitina , que foram substituídos em 2004 por uma classificação de 1.300 páginas de grupos de quasitina, que agora é geralmente aceita como completa.

Testes de não simplicidade

Teste de Sylow : seja n um inteiro positivo que não é primo e seja p um divisor primo de n . Se 1 é o único divisor de n que é congruente com 1 módulo p , então não existe um grupo simples de ordem n .

Prova: se n é uma potência primária, então um grupo de ordem n tem um centro não trivial e, portanto, não é simples. Se n não é uma potência primária, então todo subgrupo de Sylow é próprio e, pelo Terceiro Teorema de Sylow , sabemos que o número de p- subgrupos de Sylow de um grupo de ordem n é igual a 1 módulo p e divide n . Como 1 é o único número, o subgrupo p de Sylow é único e, portanto, é normal. Por ser um subgrupo apropriado, sem identidade, o grupo não é simples.

Burnside : Um grupo simples finito não Abeliano tem ordem divisível por pelo menos três primos distintos. Isso segue o teorema de Burnside .

Veja também

• Grupo quase simples
• Grupo caracteristicamente simples
• Grupo quasisimple
• Grupo semi-simples
• Lista de grupos finitos simples

Referências

Notas

Livros didáticos

• Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J. (1995), Uma introdução à teoria dos grupos , Textos de graduação em matemática, 148 , Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Tópicos em teoria de grupo , série de matemática de graduação da Springer (2 ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Papéis