Teorema de Kirchberger - Kirchberger's theorem

O teorema de Kirchberger é um teorema em geometria discreta , sobre separabilidade linear . A versão bidimensional do teorema afirma que, se um conjunto finito de pontos vermelhos e azuis no plano euclidiano tem a propriedade de que, para cada quatro pontos, existe uma linha separando os pontos vermelhos e azuis dentro desses quatro, então há existe uma única linha separando todos os pontos vermelhos de todos os pontos azuis. Donald Watson expressa esse resultado de maneira mais colorida, com uma analogia do pátio de recreio:

Se ovelhas e cabras pastam em um campo e para cada quatro animais existe uma linha separando as ovelhas das cabras, então existe essa linha para todos os animais.

De modo mais geral, para um número finito de pontos vermelhos e azuis no espaço euclidiano dimensional , se os pontos vermelhos e azuis em cada subconjunto dos pontos são linearmente separáveis, então todos os pontos vermelhos e todos os pontos azuis são linearmente separáveis. Outra maneira equivalente de declarar o resultado é que, se os cascos convexos de muitos pontos vermelhos e azuis finitos têm uma interseção não vazia, então existe um subconjunto de pontos para os quais os cascos convexos dos pontos vermelho e azul nos subconjuntos também se cruzam.

História e provas

O teorema tem o nome do matemático alemão Paul Kirchberger, aluno de David Hilbert na Universidade de Göttingen que o provou em sua dissertação de 1902 e publicou-o em 1903 na Mathematische Annalen , como um teorema auxiliar usado em sua análise da aproximação de Chebyshev . Um relatório de Hilbert sobre a dissertação afirma que alguns dos teoremas auxiliares de Kirchberger nesta parte de sua dissertação eram conhecidos por Hermann Minkowski, mas não publicados; não está claro se essa afirmação se aplica ao resultado agora conhecido como teorema de Kirchberger.

Desde o trabalho de Kirchberger, outras provas do teorema de Kirchberger foram publicadas, incluindo provas simples baseadas no teorema de Helly sobre interseções de conjuntos convexos , com base no teorema de Carathéodory sobre associação em cascos convexos ou com base em princípios relacionados ao teorema de Radon sobre interseções de cascos convexos. No entanto, o teorema de Helly, o teorema de Carathéodory e o teorema de Radon são todos teorema de Kirchberger pós-data.

Generalizações e resultados relacionados

Uma versão reforçada do teorema de Kirchberger fixa um dos pontos dados e considera apenas subconjuntos de pontos que incluem o ponto fixo. Se os pontos vermelhos e azuis em cada um desses subconjuntos forem linearmente separáveis, então todos os pontos vermelhos e todos os pontos azuis são linearmente separáveis. O teorema também é válido se os pontos vermelhos e os pontos azuis formarem conjuntos compactos que não são necessariamente finitos.

Usando a projeção estereográfica , o teorema de Kirchberger pode ser usado para provar um resultado semelhante para separabilidade circular ou esférica: se cada cinco pontos de muitos pontos vermelhos e azuis finitos no plano podem ter seus pontos vermelhos e azuis separados por um círculo, ou todos os pontos em dimensões superiores podem ter seus pontos vermelhos e azuis separados por uma hiperesfera , então todos os pontos vermelhos e azuis podem ser separados da mesma maneira.

Veja também

Referências

Leitura adicional