Massa Komar - Komar mass

A massa Komar (em homenagem a Arthur Komar) de um sistema é um dos vários conceitos formais de massa usados ​​na relatividade geral . A massa de Komar pode ser definida em qualquer espaço-tempo estacionário , que é um espaço - tempo no qual todos os componentes métricos podem ser escritos de forma que sejam independentes do tempo. Alternativamente, um espaço-tempo estacionário pode ser definido como um espaço-tempo que possui um campo vetorial Killing semelhante ao tempo .

A discussão a seguir é uma versão expandida e simplificada do tratamento motivacional em (Wald, 1984, pág. 288).

Motivação

Considere a métrica de Schwarzschild . Usando a base de Schwarzschild, um campo de moldura para a métrica de Schwarzschild, pode-se descobrir que a aceleração radial necessária para manter uma massa de teste estacionária em uma coordenada de Schwarzschild de r é:

${\ displaystyle a ^ {\ hat {r}} = {\ frac {m} {r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}}$

Como a métrica é estática, há um significado bem definido para "manter uma partícula estacionária".

Interpretando essa aceleração como sendo devida a uma "força gravitacional", podemos então calcular a integral da aceleração normal multiplicada pela área para obter uma integral da "lei de Gauss" de:

${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi m} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}$

Embora se aproxime de uma constante à medida que r se aproxima do infinito, não é uma constante independente de r . Estamos, portanto, motivados a introduzir um fator de correção para tornar o integral acima independente do raio r da casca envolvente. Para a métrica de Schwarzschild, esse fator de correção é apenas o fator de "desvio para o vermelho" ou "dilatação do tempo" na distância r . Pode-se também ver esse fator como "corrigindo" a força local para a "força no infinito", a força que um observador no infinito precisaria aplicar por meio de uma corda para manter a partícula estacionária. (Wald, 1984). ${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Para prosseguir, vamos escrever um elemento de linha para uma métrica estática.

${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {tt} \, dt ^ {2} + \ mathrm {quadratic \ form} (dx \, dy \, dz)}$

onde g _tt e a forma quadrática são funções apenas das coordenadas espaciais x , y , z e não são funções do tempo. Apesar de nossas escolhas de nomes de variáveis, não se deve presumir que nosso sistema de coordenadas seja cartesiano. O fato de nenhum dos coeficientes métricos serem funções do tempo torna a métrica estacionária: o fato adicional de que não há "termos cruzados" envolvendo os componentes do tempo e do espaço (como dx dt ) a torna estática.

Por causa da suposição simplificadora de que alguns dos coeficientes métricos são zero, alguns de nossos resultados neste tratamento motivacional não serão tão gerais quanto poderiam ser.

No espaço-tempo plano, a aceleração adequada necessária para manter a estação é , onde u é a velocidade 4 de nossa partícula flutuante e tau é o tempo adequado. No espaço-tempo curvo, devemos tomar a derivada covariante. Assim, calculamos o vetor de aceleração como: ${\ displaystyle du / d \ tau}$

${\ displaystyle a ^ {b} = \ nabla _ {u} u ^ {b} = u ^ {c} \ nabla _ {c} u ^ {b}}$

${\ displaystyle a_ {b} = u ^ {c} \ nabla _ {c} u_ {b}}$

onde u ^b é uma unidade de vetor semelhante ao tempo tal que u ^b u _b = -1.

O componente do vetor de aceleração normal à superfície é

${\ displaystyle a _ {\ mathrm {norm}} = N ^ {b} a_ {b}}$

onde N ^b é um vetor unitário normal à superfície.

Em um sistema de coordenadas de Schwarzschild, por exemplo, descobrimos que

${\ displaystyle N ^ {b} a_ {b} = {\ frac {{\ frac {\ partial g_ {tt}} {\ partial r}} c ^ {2}} {2g_ {tt} {\ sqrt {g_ {rr}}}}} = {\ frac {m} {r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {2m} {rc ^ {2}}}}}}}}$

como esperado - nós simplesmente derivamos novamente os resultados anteriores apresentados em um campo de quadro em uma base de coordenadas.

Nós definimos

${\ displaystyle a \ inf = {\ sqrt {g_ {tt}}} a}$

de modo que em nosso exemplo Schwarzschild: ${\ displaystyle N ^ {b} a \ inf _ {b} = m / r ^ {2}.}$

Podemos, se desejarmos, derivar as acelerações a _be a "aceleração no infinito" a inf _b ajustada de um potencial escalar Z, embora não haja necessariamente nenhuma vantagem particular em fazê-lo. (Wald 1984, pg 158, problema 4)

${\ displaystyle a_ {b} = \ nabla _ {b} Z_ {1} \ qquad Z_ {1} = \ ln {g_ {tt}}}$

${\ displaystyle a \ inf _ {b} = \ nabla _ {b} Z_ {2} \ qquad Z_ {2} = {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Vamos demonstrar que a integração do componente normal da "aceleração no infinito" um inf sobre uma superfície delimitadora nos dará uma quantidade que não depende da forma da esfera envolvente, de modo que possamos calcular a massa envolvida por uma esfera por o integral

${\ displaystyle m = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {A} N ^ {b} a \ inf _ {b} dA}$

Para fazer essa demonstração, precisamos expressar essa integral de superfície como uma integral de volume. No espaço-tempo plano, usaríamos o teorema de Stokes e integraríamos sobre o volume. No espaço-tempo curvo, essa abordagem precisa ser ligeiramente modificada. ${\ displaystyle - \ nabla \ cdot a \ inf}$

Usando as fórmulas para eletromagnetismo em espaço-tempo curvo como um guia, escrevemos em vez disso.

${\ displaystyle F_ {ab} = a \ inf _ {a} \, u_ {b} -a \ inf _ {b} \, u_ {a}}$

onde F desempenha um papel semelhante ao "tensor de Faraday", em que podemos então encontrar o valor da "carga gravitacional", ou seja, massa, avaliando e integrando-o sobre o volume de nossa esfera. ${\ displaystyle a \ inf _ {a} = F_ {ab} u ^ {b}}$${\ displaystyle \ nabla ^ {a} F_ {ab} u ^ {b}}$

Uma abordagem alternativa seria usar formas diferenciais , mas a abordagem acima é computacionalmente mais conveniente, além de não exigir que o leitor entenda as formas diferenciais.

Um cálculo longo, mas direto (com álgebra computacional) de nosso elemento de linha assumido nos mostra que

${\ displaystyle -u ^ {b} \ nabla ^ {a} F_ {ab} = {\ sqrt {g_ {tt}}} R_ {00} u ^ {a} u ^ {b} = {\ sqrt {g_ {tt}}} R_ {ab} u ^ {a} u ^ {b}}$

Assim podemos escrever

${\ displaystyle m = {\ frac {\ sqrt {g_ {tt}}} {4 \ pi}} \ int _ {V} R_ {ab} u ^ {a} u ^ {b}}$

Em qualquer região de vácuo do espaço-tempo, todos os componentes do tensor de Ricci devem ser zero. Isso demonstra que encerrar qualquer quantidade de vácuo não mudará nosso volume integral. Isso também significa que nosso volume integral será constante para qualquer superfície envolvente, desde que incluamos toda a massa gravitante dentro de nossa superfície. Como o teorema de Stokes garante que nossa integral de superfície é igual à integral de volume acima, nossa integral de superfície também será independente da superfície envolvente, desde que a superfície envolva toda a massa gravitante.

Usando as equações de campo de Einstein

${\ displaystyle G ^ {u} {} _ {v} = R ^ {u} {} _ {v} - {\ frac {1} {2}} RI ^ {u} {} _ {v} = 8 \ pi T ^ {u} {} _ {v}}$

deixando u = v e soma, podemos mostrar que R = -8π T .

Isso nos permite reescrever nossa fórmula de massa como uma integral de volume do tensor tensão-energia.

${\ displaystyle m = \ int _ {V} {\ sqrt {g_ {tt}}} \ left (2T_ {ab} -Tg_ {ab} \ right) u ^ {a} u ^ {b} dV}$

Onde

• V é o volume que está sendo integrado;
• T _ab é o tensor tensão-energia ;
• u ^a é uma unidade de vetor semelhante ao tempo tal que u ^a u _a = -1.

Massa Komar como volume integral - métrica estacionária geral

Para fazer a fórmula para a massa de Komar funcionar para uma métrica estacionária geral, independentemente da escolha das coordenadas, ela deve ser ligeiramente modificada. Apresentaremos o resultado aplicável de (Wald, 1984 eq 11.2.10) sem uma prova formal.

${\ displaystyle m = \ int _ {V} \ left (2T_ {ab} -Tg_ {ab} \ right) u ^ {a} \ xi ^ {b} dV,}$

Onde

• V é o volume que está sendo integrado
• T _ab é o tensor tensão-energia ;
• u ^a é uma unidade de vetor semelhante ao tempo tal que u ^a u _a = -1;
• ${\ displaystyle \ xi ^ {b}}$ é um vetor Killing , que expressa a simetria de tradução no tempo de qualquer métrica estacionária . O vetor Killing é normalizado para que tenha um comprimento unitário no infinito, ou seja, no infinito. ${\ displaystyle \ xi ^ {a} \ xi _ {a} = - 1}$

Observe que substitui em nosso resultado motivacional. ${\ displaystyle \ xi ^ {b}}$${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}} u ^ {b} \,}$

Se nenhum dos coeficientes métricos são funções do tempo, ${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} = (1,0,0,0).}$

Embora não seja necessário escolher coordenadas para um espaço-tempo estacionário de forma que os coeficientes métricos sejam independentes do tempo, muitas vezes é conveniente .

Quando escolhemos tais coordenadas, o vetor Killing semelhante ao tempo para o nosso sistema torna-se um múltiplo escalar de um vetor coordenado-tempo unitário, ou seja, quando este for o caso, podemos reescrever nossa fórmula como ${\ displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ displaystyle u ^ {a},}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} = Ku ^ {a}.}$

${\ displaystyle m = \ int _ {V} \ left (2T_ {00} -Tg_ {00} \ right) KdV}$

Por ser, por definição, um vetor unitário, K é apenas o comprimento de , ou seja, K = . ${\ displaystyle u ^ {a}}$${\ displaystyle \ xi ^ {b}}$${\ displaystyle {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}}}$

Avaliando o fator de "desvio para o vermelho" K com base em nosso conhecimento dos componentes de , podemos ver que K = . ${\ displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {tt}}}}$

Se escolhermos nossas coordenadas espaciais de modo que tenhamos uma métrica Minkowskiana local , sabemos que ${\ displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {ab}}$

${\ displaystyle g_ {00} = - 1, T = -T_ {00} + T_ {11} + T_ {22} + T_ {33}}$

Com essas escolhas de coordenadas, podemos escrever nossa integral de Komar como

${\ displaystyle m = \ int _ {V} {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}} \ left (T_ {00} + T_ {11} + T_ {22} + T_ { 33} \ right) dV}$

Embora não possamos escolher um sistema de coordenadas para tornar um espaço-tempo curvo globalmente Minkowskiano, a fórmula acima fornece alguns insights sobre o significado da fórmula de massa de Komar. Essencialmente, tanto a energia quanto a pressão contribuem para a massa Komar. Além disso, a contribuição da energia e massa locais para a massa do sistema é multiplicada pelo fator de "desvio para o vermelho" local ${\ displaystyle K = {\ sqrt {g_ {tt}}} = {\ sqrt {- \ xi ^ {a} \ xi _ {a}}}}$

Massa Komar como superfície integral - métrica estacionária geral

Também desejamos dar o resultado geral para expressar a massa de Komar como uma integral de superfície.

A fórmula para a massa de Komar em termos de métrica e seu vetor de Killing é (Wald, 1984, pg 289, fórmula 11.2.9)

${\ displaystyle m = - {\ frac {1} {8 \ pi}} \ int _ {S} \ epsilon _ {abcd} \ nabla ^ {c} \ xi ^ {d}}$

onde estão os símbolos Levi-civita e é o vetor Killing de nossa métrica estacionária , normalizada de modo que no infinito. ${\ displaystyle \ epsilon _ {abcd}}$${\ displaystyle \ xi ^ {d}}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} \ xi _ {a} = - 1}$

A integral de superfície acima é interpretada como a integral "natural" de uma forma dois sobre uma variedade.

Como mencionado anteriormente, se nenhum dos coeficientes métricos são funções do tempo, ${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle \ xi ^ {a} = \ left (1,0,0,0 \ right)}$

Veja também

• Superpotencial Komar
• Missa na relatividade geral

Notas

Referências

• Wald, Robert M (1984). Relatividade geral . University of Chicago Press . ISBN   0-226-87033-2 .
• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitação . WH Freeman and Company. ISBN   0-7167-0344-0 . CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )