Grupo parcialmente ordenado - Partially ordered group

"Grupo ordenado" redireciona aqui. Para grupos com uma ordem total ou linear, consulte Grupo ordenado linearmente .

Na álgebra abstrata , um grupo parcialmente ordenado é um grupo ( G , +) equipado com uma ordem parcial "≤" que é invariante à translação ; em outras palavras, "≤" tem a propriedade de que, para todos a , b e g em G , se a ≤ b então a + g ≤ b + g e g + a ≤ g + b .

Um elemento x de G é denominado positivo se 0 ≤ x . O conjunto de elementos 0 ≤ x é frequentemente denotado com L + , e é chamado o cone positiva de L .

Por invariância de translação, temos a ≤ b se e somente se 0 ≤ - a + b . Portanto, podemos reduzir a ordem parcial a uma propriedade monádica: a ≤ b se e somente se - a + b ∈ G + .

Para o grupo geral L , a existência de um cone positivo especifica uma ordem em L . Um grupo G é um grupo parcialmente ordenável se e somente se existe um subconjunto H (que é G + ) de G tal que:

  • 0 ∈ H
  • se a ∈ H e b ∈ H então a + b ∈ H
  • se a ∈ H então - x + a + x ∈ H para cada x de G
  • se a ∈ H e - a ∈ H então a = 0

Um grupo G parcialmente ordenado com cone positivo G + é dito não perfurado se n · g ∈ G + para algum inteiro positivo n implica g ∈ G + . Não ser perfurado significa que não há "lacuna" no cone positivo G + .

Se a ordem do grupo é linear , então é dito que é um grupo linearmente ordenado . Se a ordem no grupo é uma ordem de rede , ou seja, quaisquer dois elementos têm um limite superior mínimo, então é um grupo ordenado de rede (abreviadamente l-grupo , embora normalmente seja composto com um script l: ℓ-grupo).

Um grupo Riesz é um grupo ordenado parcialmente não perfurado com uma propriedade ligeiramente mais fraca do que um grupo ordenado em rede. A saber, um grupo de Riesz satisfaz a propriedade de interpolação de Riesz : se x 1 , x 2 , y 1 , y 2 são elementos de G e x i ≤ y j , então existe z ∈ G tal que x i ≤ z ≤ y j .

Se G e H são dois grupos parcialmente ordenados, um mapa de G para H é um morfismo de grupos parcialmente ordenados se for um homomorfismo de grupo e uma função monotônica . Os grupos parcialmente ordenados, junto com essa noção de morfismo, formam uma categoria .

Grupos parcialmente ordenados são usados ​​na definição de avaliações de campos .

Exemplos

  • Os inteiros com sua ordem usual
  • Um espaço vetorial ordenado é um grupo parcialmente ordenado
  • Um espaço de Riesz é um grupo de treliça ordenada
  • Um exemplo típico de um grupo parcialmente ordenado é Z n , onde a operação do grupo é a adição de componentes, e escrevemos ( a 1 , ..., a n ) ≤ ( b 1 , ..., b n ) se e somente se a i ≤ b i (na ordem usual dos inteiros) para todo i = 1, ..., n .
  • Mais geralmente, se G é um grupo parcialmente ordenado e X é algum conjunto, então o conjunto de todas as funções de X a G é novamente um grupo parcialmente ordenado: todas as operações são realizadas componente a componente. Além disso, cada subgrupo de L é um grupo parcialmente ordenado: herda a fim de L .
  • Se A for uma C * -álgebra de dimensão aproximadamente finita , ou mais geralmente, se A for uma C * -álgebra unital estavelmente finita, então K 0 ( A ) é um grupo abeliano parcialmente ordenado . (Elliott, 1976)

Veja também

Referências

  • M. Anderson e T. Feil, Lattice Ordered Groups: an Introduction , D. Reidel, 1988.
  • MR Darnel, The Theory of Lattice-Ordered Groups , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
  • L. Fuchs, Partially Ordered Algebraic Systems , Pergamon Press, 1963.
  • AMW Glass, Ordered Permutation Groups , London Math. Soc. Lecture Notes Series 55, Cambridge U. Press, 1981.
  • VM Kopytov and AI Kokorin (trad. Por D. Louvish), Fully Ordered Groups , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
  • VM Kopytov e N. Ya. Medvedev, Grupos ordenados pela direita , Escola Siberiana de Álgebra e Lógica, Consultants Bureau, 1996.
  • VM Kopytov e N. Ya. Medvedev, The Theory of Lattice-Ordered Groups , Mathematics and its Applications 307, Kluwer Academic Publishers, 1994.
  • RB Mura e A. Rhemtulla, Grupos ordenáveis , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
  • TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 , cap. 9
  • GA Elliott, Sobre a classificação de limites indutivos de sequências de álgebras de dimensão finita semisimples, J. Algebra, 38 (1976) 29-44.

links externos