Álgebra C * de dimensão aproximada - Approximately finite-dimensional C*-algebra

Em matemática , uma álgebra C * de dimensão aproximadamente finita (AF) é uma álgebra C * que é o limite indutivo de uma sequência de álgebras C * de dimensão finita . A dimensionalidade finita aproximada foi primeiro definida e descrita combinatorialmente por Ola Bratteli . Mais tarde, George A. Elliott deu uma classificação completa de álgebras AF usando o functor K _0, cujo alcance consiste em grupos abelianos ordenados com estrutura de ordem suficientemente boa.

O teorema de classificação para álgebras AF serve como um protótipo para resultados de classificação para classes maiores de álgebras C * finitas e nucleares simples separáveis . Sua prova se divide em duas partes. O invariante aqui é K ₀ com sua estrutura de ordem natural; este é um functor . Primeiro, prova-se a existência : um homomorfismo entre invariantes deve elevar-se a um * -homomorfismo de álgebras. Em segundo lugar, um mostra a singularidade : o elevador deve ser único até a equivalência unitária aproximada. A classificação segue então o que é conhecido como o argumento do entrelaçamento . Para álgebras AF unitais, tanto a existência quanto a singularidade seguem do fato do semigrupo de projeções de Murray-von Neumann em uma álgebra AF ser cancelativo.

A contraparte das álgebras AF C * simples no mundo da álgebra de von Neumann são os fatores hiperfinitos, que foram classificados por Connes e Haagerup .

No contexto da geometria e topologia não comutativas , AF C * -álgebras são generalizações não comutativas de C ₀ ( X ), onde X é um espaço metrizável totalmente desconectado .

Definição e propriedades básicas

C * -álgebras de dimensão finita

Uma C * -álgebra A de dimensão finita arbitrária assume a seguinte forma, até o isomorfismo:

${\ displaystyle \ oplus _ {k} M_ {n_ {k}},}$

onde M _i denota a álgebra de matriz completa de matrizes i × i .

Até a equivalência unitária, um unital * -homomorfismo Φ: M _i → M _j é necessariamente da forma

${\ displaystyle \ Phi (a) = a \ otimes I_ {r},}$

onde r · i = j . Diz-se que o número r é a multiplicidade de Φ. Em geral, um homomorfismo unital entre C * -álgebras de dimensão finita

${\ displaystyle \ Phi: \ oplus _ {1} ^ {s} M_ {n_ {k}} \ rightarrow \ oplus _ {1} ^ {t} M_ {m_ {l}}}$

é especificado, até a equivalência unitária, por uma matriz t × s de multiplicidades parciais ( r _{l k} ) satisfazendo, para todo l

${\ displaystyle \ sum _ {k} r_ {lk} n_ {k} = m_ {l}. \;}$

No caso não unital, a igualdade é substituída por ≤. Graficamente, Φ, equivalentemente ( r _{l k} ), pode ser representado por seu diagrama de Bratteli . O diagrama de Bratteli é um grafo direcionado com nós correspondentes a cada n _k e m _l e o número de setas de n _k a m _l é a multiplicidade parcial r _lk .

Considere a categoria cujos objetos são classes de isomorfismo de C * -álgebras de dimensão finita e cujos morfismos são * -homomorfismos módulo de equivalência unitária. Pela discussão acima, os objetos podem ser vistos como vetores com entradas em N e morfismos são as matrizes de multiplicidade parcial.

Álgebras AF

Álgebra AC * é AF se for o limite direto de uma sequência de álgebras C * de dimensão finita:

${\ displaystyle A = \ varinjlim \ cdots \ rightarrow A_ {i} \, {\ stackrel {\ alpha _ {i}} {\ rightarrow}} A_ {i + 1} \ rightarrow \ cdots,}$

onde cada A _i é uma C * -álgebra de dimensão finita e os mapas de conexão α _i são * -homomorfismos. Vamos supor que cada α _i é unital. O sistema indutivo que especifica uma álgebra AF não é único. Sempre se pode cair para uma subsequência. Suprimindo os mapas de conexão, A também pode ser escrito como

${\ displaystyle A = {\ overline {\ cup _ {n} A_ {n}}}.}$

O diagrama de Bratteli de A é formado pelos diagramas de Bratteli de { α _i } da maneira óbvia. Por exemplo, o triângulo de Pascal , com os nós conectados por setas para baixo apropriadas, é o diagrama de Bratteli de uma álgebra AF. Um diagrama de Bratteli da álgebra CAR é fornecido à direita. As duas setas entre os nós significam que cada mapa de conexão é uma incorporação da multiplicidade 2.

${\ displaystyle 1 \ rightrightarrows 2 \ rightrightarrows 4 \ rightrightarrows 8 \ rightrightarrows \ dots}$

(Um diagrama de Bratteli da álgebra CAR)

Se uma álgebra AF A = (∪ _n A _n ) ^- , então um ideal J em A assume a forma ∪ _n ( J ∩ A _n ) ^- . Em particular, J é uma álgebra AF. Dado um diagrama Bratteli de um e alguns subconjuntos S de nodos, a subdiagrama gerado por S dá sistema indutivo que especifica um ideais de um . Na verdade, todo ideal surge dessa maneira.

Devido à presença de unidades de matriz na sequência indutiva, álgebras AF têm a seguinte caracterização local: uma C * -álgebra A é AF se e somente se A for separável e qualquer subconjunto finito de A está "quase contido" em algum dimensional C * -subalgebra.

As projecções em ∪ _n A _n em forma de facto uma unidade aproximada de um .

É claro que a extensão de uma álgebra C * de dimensão finita por outra álgebra C * de dimensão finita é novamente de dimensão finita. Mais geralmente, a extensão de uma álgebra AF por outra álgebra AF é novamente AF.

Classificação

K ₀

O grupo K-teórico K ₀ é um invariante das C * -álgebras. Ele tem suas origens na teoria K topológica e serve como o intervalo de um tipo de "função dimensional". Para uma álgebra AF A , K ₀ ( A ) pode ser definido como segue. Let H _N ( A ) ser o C * -álgebra de n x n matrizes cujas entradas são elementos da Uma . M _n ( A ) pode ser incorporado em M _{n + 1} ( A ) canonicamente, no "canto superior esquerdo". Considere o limite direto algébrico

${\ displaystyle M _ {\ infty} (A) = \ varinjlim \ cdots \ rightarrow M_ {n} (A) \ rightarrow M_ {n + 1} (A) \ rightarrow \ cdots.}$

Denote as projeções (idempotentes auto-adjuntos) nesta álgebra de P ( A ). Dois elementos de p e q são referidos como sendo equivalente Murray-von Neumann , denotada por p ~ q , se p = vv * e q = v * v para alguns isometría parcial v em H _∞ ( A ). É claro que ~ é uma relação de equivalência. Defina uma operação binária + no conjunto de equivalências P ( A ) / ~ por

${\ displaystyle [p] + [q] = [p \ oplus q]}$

onde ⊕ é a soma direta ortogonal . Isso torna P ( A ) / ~ um semigrupo que possui a propriedade de cancelamento . Denotamos este semigrupo por K ₀ ( A ) ⁺ . A execução da construção do grupo Grothendieck dá um grupo abeliano, que é K ₀ ( A ).

K ₀ ( A ) carrega uma estrutura de ordem natural: dizemos [ p ] ≤ [ q ] se p é Murray-von Neumann equivalente a uma subprojeção de q . Isso torna K ₀ ( A ) um grupo ordenado cujo cone positivo é K ₀ ( A ) ⁺ .

Por exemplo, para uma C * -álgebra de dimensão finita

${\ displaystyle A = \ oplus _ {k = 1} ^ {m} M_ {n_ {k}},}$

um tem

${\ displaystyle (K_ {0} (A), K_ {0} (A) ^ {+}) = (\ mathbb {Z} ^ {m}, \ mathbb {Z} _ {+} ^ {m}) .}$

Duas características essenciais do mapeamento A ↦ K ₀ ( A ) são:

1. K ₀ é um functor (covariante) . A * -homomorfismo α  : A → B entre álgebras de AF induz um homomorfismo de grupo α _*  : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ). Em particular, quando A e B são ambos de dimensão finita, α _* pode ser identificado com a matriz de multiplicidades parciais de α .
2. K ₀ respeita os limites diretos. Se A = ∪ _n α _n ( A _n ) ^- , então K ₀ ( A ) é o limite direto ∪ _n α _{n *} ( K ₀ ( A _n )).

O grupo de dimensão

Como M _∞ ( M _∞ ( A )) é isomórfico a M _∞ ( A ), K ₀ só pode distinguir álgebras de AF até isomorfismo estável . Por exemplo, M ₂ e M ₄ são não isomórficas, mas de forma estável isomorfo; K ₀ ( H ₂ ) = K ₀ ( M ₄ ) = Z .

Um invariante mais fino é necessário para detectar classes de isomorfismo. Para uma álgebra AF A , definimos a escala de K ₀ ( A ), denotada por Γ ( A ), como o subconjunto cujos elementos são representados por projeções em A :

${\ displaystyle \ Gamma (A) = \ {[p] \, | \, p ^ {*} = p ^ {2} = p \ in A \}.}$

Quando A é unital com unidade 1 _A , o elemento K ₀ [1 _A ] é o elemento máximo de Γ ( A ) e, de fato,

${\ displaystyle \ Gamma (A) = \ {x \ in K_ {0} (A) \, | \, 0 \ leq x \ leq [1_ {A}] \}.}$

O triplo ( K ₀ , K ₀ ⁺ , Γ ( A )) é chamado o grupo dimensão de Uma . Se A = M _s , seu grupo de dimensão é ( Z , Z ⁺ , {1, 2, ..., s }).

Um homomorfismo de grupo entre o grupo de dimensão é considerado contrativo se ele preserva a escala. O grupo de duas dimensões é considerado isomórfico se houver um isomorfismo de grupo de contração entre eles.

O grupo de dimensão retém as propriedades essenciais de K ₀ :

1. A * -homomorfismo α  : A → B entre as álgebras de AF de fato induz um homomorfismo de grupo de contração α _* nos grupos de dimensão. Quando A e B são ambos finito-dimensionais, correspondendo a cada matriz de multiplicidades parciais ψ , existe um único, até equivalência unitária, * -homomorfismo α  : A → B tal que α _* = ψ .
2. Se A = ∪ _n α _n ( A _n ) ^- , então o grupo de dimensões de A é o limite direto daqueles de A _n .

Teorema de Elliott

O teorema de Elliott diz que o grupo dimensional é um invariante completo das álgebras AF: duas álgebras AF A e B são isomórficas se e somente se seus grupos dimensionais forem isomórficos.

Dois fatos preliminares são necessários antes que se possa esboçar uma prova do teorema de Elliott. O primeiro resume a discussão acima sobre C * -álgebras de dimensão finita.

Lema Para duas C * -álgebras A e B de dimensão finita , e um homomorfismo contrativo ψ : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ), existe um * -homomorfismo φ : A → B tal que φ _* = ψ , e φ é único até equivalência unitária.

O lema pode ser estendido para o caso em que B é AF. Um mapa ψ no nível de K ₀ pode ser "movido para trás", no nível das álgebras, para algum estágio finito no sistema indutivo.

Lema Seja A dimensão finita e B AF, B = (∪ _n B _n ) ^- . Deixe β _m ser o homomorphism canónica de B _m em B . Então, para qualquer homomorfismo contrativo ψ : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ), existe um * -homomorfismo φ : A → B _m tal que β _{m *} φ _* = ψ , e φ é único até a equivalência unitária em B .

A prova do lema é baseada na simples observação de que K ₀ ( A ) é finitamente gerado e, uma vez que K ₀ respeita limites diretos, K ₀ ( B ) = ∪ _n β _{n *} K ₀ ( B _n ).

Teorema (Elliott) Duas álgebras AF A e B são isomórficas se e somente se seus grupos dimensionais ( K ₀ ( A ), K ₀ ⁺ ( A ), Γ ( A )) e ( K ₀ ( B ), K ₀ ⁺ ( B ), Γ ( B )) são isomórficos.

O ponto crucial da prova tornou-se conhecido como o argumento entrelaçado de Elliott . Dado um isomorfismo entre grupos de dimensões, constrói-se um diagrama de triângulos comutáveis ​​entre os sistemas diretos de A e B aplicando o segundo lema.

Esboçamos a prova para a parte não trivial do teorema, correspondendo à seqüência de diagramas comutativos à direita.

Seja Φ: ( K ₀ ( A ), K ₀ ⁺ ( A ), Γ ( A )) → ( K ₀ ( B ), K ₀ ⁺ ( B ), Γ ( B )) um isomorfismo de grupo de dimensões.

1. Considere a composição dos mapas Φ α _{1 *}  : K ₀ ( A ₁ ) → K ₀ ( B ). Pelo lema anterior, existe B ₁ e um * -homomorfismo φ ₁ : A ₁ → B ₁ tal que o primeiro diagrama à direita comuta.
2. O mesmo argumento aplicado a β _{1 *} Φ ⁻¹ mostra que o segundo diagrama comuta para algum A ₂ .
3. A comparação dos diagramas 1 e 2 resulta no diagrama 3.
4. Usando a propriedade do limite direto e movendo A ₂ mais para baixo se necessário, obtemos o diagrama 4, um triângulo comutativo no nível de K ₀ .
5. Para álgebras de dimensão finita, dois * -homomorfismos induzem o mesmo mapa em K ₀ se e somente se eles forem equivalentes unitários. Portanto, ao compor ψ ₁ com uma conjugação unitária, se necessário, temos um triângulo comutativo no nível das álgebras.
6. Por indução, temos um diagrama de triângulos comutantes, conforme indicado no último diagrama. O mapa φ : A → B é o limite direto da sequência { φ _n }. Seja ψ : B → A é o limite direto da sequência { ψ _n }. É claro que φ e ψ são inversos mútuos. Portanto, A e B são isomórficos.

Além disso, no nível de K ₀ , o diagrama adjacente comuta para cada k . Pela unicidade do limite direto dos mapas, φ _* = Φ.

Teorema Effros-Handelman-Shen

O grupo de dimensões de uma álgebra AF é um grupo de Riesz . O teorema Effros-Handelman-Shen diz que o inverso é verdadeiro. Cada grupo de Riesz, com uma determinada escala, surge como o grupo de dimensões de alguma álgebra AF. Isso especifica o intervalo do functor de classificação K ₀ para álgebras AF e completa a classificação.

Grupos Riesz

Um grupo G com uma ordem parcial é chamado de grupo ordenado . O conjunto de G ⁺ de elementos ≥ 0 é chamado de cone positiva de L . Diz-se que G não é perfurado se k · g ∈ G ⁺ implica g ∈ G ⁺ .

A seguinte propriedade é chamada de propriedade de decomposição de Riesz : se x , y _i ≥ 0 e x ≤ Σ y _i , então existe x _i ≥ 0 tal que x = Σ x _i , e x _i ≤ y _i para cada i .

Um grupo Riesz ( G , G ⁺ ) é um grupo ordenado não perfurado e que possui a propriedade de decomposição de Riesz.

É claro que se A é finito-dimensional, ( K ₀ , K ₀ ⁺ ) é um grupo de Riesz, onde Z ^k é dada a ordem de entrada. As duas propriedades dos grupos de Riesz são preservadas por limites diretos, assumindo que a estrutura de ordem no limite direto vem daquelas no sistema indutivo. Então, ( K ₀ , K ₀ ⁺ ) é um grupo de Riesz para uma FA álgebra Uma .

Um passo fundamental para o teorema Effros-Handelman-Shen é o fato de que todo grupo de Riesz é o limite direto de Z ^k 's, cada um com a estrutura de ordem canônica. Isso depende do seguinte lema técnico, às vezes referido como o critério de Shen na literatura.

Lema Seja ( G , G ⁺ ) um grupo de Riesz, ϕ : ( Z ^k , Z ^k ₊ ) → ( G , G ⁺ ) um homomorfismo positivo. Então existem os mapas σ e ψ , conforme indicado no diagrama adjacente, tais que ker ( σ ) = ker ( ϕ ).

Corolário Cada grupo de Riesz ( G , G ⁺ ) pode ser expresso como um limite direto

${\ displaystyle (G, G ^ {+}) = \ varinjlim (\ mathbb {Z} ^ {n_ {k}}, \ mathbb {Z} _ {+} ^ {n_ {k}}),}$

onde todos os homomorfismos de conexão no sistema direcionado do lado direito são positivos.

O teorema

Teorema Se ( G , G ⁺ ) é um grupo de Riesz contável com escala Γ ( G ), então existe uma álgebra AF A tal que ( K ₀ , K ₀ ⁺ , Γ ( A )) = ( G , G ⁺ , Γ ( G )). Em particular, se Γ ( G ) = [0, u _G ] com elemento máximo u _G , então A é unital com [1 _A ] = [ u _G ].

Consideremos primeiro o caso especial onde Γ ( L ) = [0, L _L ] com o elemento máxima u _L . Suponha

${\ displaystyle (G, G ^ {+}) = \ varinjlim (H_ {k}, H_ {k} ^ {+}), \ quad {\ mbox {onde}} \ quad (H, H_ {k} ^ {+}) = (\ mathbb {Z} ^ {n_ {k}}, \ mathbb {Z} _ {+} ^ {n_ {k}}).}$

Descendo para uma subsequência, se necessário, deixe

${\ displaystyle \ Gamma (H_ {1}) = \ {v \ in H_ {1} ^ {+} | \ phi _ {1} (v) \ in \ Gamma (G) \},}$

onde φ ₁ ( u ₁ ) = u _G para algum elemento u ₁ . Agora considere o ideal de ordem G ₁ gerado por u ₁ . Como cada H ₁ tem a estrutura de ordem canônica, G ₁ é uma soma direta de Z 's (com o número de cópias possíveis menor do que em H ₁ ). Portanto, isso nos dá uma álgebra de dimensão finita A ₁ cujo grupo de dimensões é ( G ₁ G ₁ ⁺ , [0, u ₁ ]). Em seguida, mova u ₁ para frente definindo u ₂ = φ ₁₂ ( u ₁ ). Novamente u ₂ determina uma álgebra de dimensão finita A ₂ . Existe um homomorfismo α ₁₂ correspondente, tal que α _{12 *} = φ ₁₂ . A indução dá um sistema direcionado

${\ displaystyle A = \ varinjlim A_ {k},}$

cujo K ₀ é

${\ displaystyle \ varinjlim (G_ {k}, G_ {k} ^ {+}),}$

com escala

${\ displaystyle \ cup _ {k} \ phi _ {k} [0, u_ {k}] = [0, u_ {G}].}$

Isso prova o caso especial.

Um argumento semelhante se aplica em geral. Observe que a escala é por definição um conjunto direcionado . Se Γ ( G ) = { v _k }, pode-se escolher u _k ∈ Γ ( G ) tal que u _k ≥ v ₁ ... v _k . O mesmo argumento acima prova o teorema.

Exemplos

Por definição, as álgebras uniformemente hiperfinidas são AF e unitais . Seus grupos de dimensão são os subgrupos de Q . Por exemplo, para as matrizes 2 × 2 M ₂ , K ₀ ( M ₂ ) é o grupo de números racionais da formauma/2para um em Z . A escala é Γ ( M ₂ ) = {0,1/2, 1}. Para a álgebra CAR A , K ₀ ( A ) é o grupo de racionais diádicos com escala K ₀ ( A ) ∩ [0, 1], com 1 = [1 _A ]. Todos esses grupos são simples , de certa forma apropriados para grupos ordenados. Assim, as álgebras UHF são álgebras C * simples. Em geral, os grupos que não são densos em Q são os grupos dimensionais de M _k para algum k .

As álgebras C * comutativas, que foram caracterizadas por Gelfand , são AF precisamente quando o espectro está totalmente desconectado . As funções contínuas C ( X ) no conjunto Cantor X são um exemplo.

Programa de classificação de Elliott

Foi proposto por Elliott que outras classes de C * -álgebras podem ser classificáveis ​​por invariantes da teoria K. Para uma C * -álgebra A , o invariante de Elliott é definido como

${\ displaystyle {\ mbox {Ell}} (A) \; {\ stackrel {\ mbox {def}} {=}} \; (\; (K_ {0} (A), K_ {0} (A) ^ {+}, \ Gamma (A)), K_ {1} (A), T ^ {+} (A), \ rho _ {A} \;),}$

onde T ⁺ ( A ) são os funcionais lineares positivos traciais na topologia fraca- *, e ρ _A é o emparelhamento natural entre T ⁺ ( A ) e K ₀ ( A ).

A conjectura original de Elliott afirmava que o invariante de Elliott classifica álgebras C * nucleares separáveis ​​unitais simples.

Na literatura, pode-se encontrar várias conjecturas desse tipo com os invariantes de Elliott modificados / refinados correspondentes.

Álgebras de Von Neumann

Em um contexto relacionado, uma álgebra de von Neumann de dimensão aproximadamente finita , ou hiperfinita , é aquela com um predual separável e contém uma álgebra AF C * fracamente densa. Murray e von Neumann mostraram que, até o isomorfismo, existe um único fator hiperfinito tipo II ₁ . Connes obteve o resultado análogo para o fator II _∞ . Powers exibiu uma família de fatores hiperfinitos não isomórficos do tipo III com cardinalidade do contínuo. Hoje temos uma classificação completa de fatores hiperfinitos.

Notas

Referências

• Bratteli, Ola. (1972), Inductive limit of finite dimensional C * -algebras , Trans. Amer. Matemática. Soc. 171 , 195-234.
• Davidson, KR (1996), C * -algebras by Example , Field Institute Monographs 6 , American Mathematical Society.
• Effros, EG , Handelman, DE, e Shen CL (1980), Dimension groups and their affine representations , Amer. J. Math. 102 , 385-402.
• Elliott, GA (1976), On the Classification of Inductive Limits of Sequences of Semisimple Finite-Dimensional Algebras , J. Algebra 38 , 29-44.
• Elliott, GA e Toms, AS (2008), Propriedades de regularidade no programa de classificação para álgebras C separáveis , Bull. Amer. Matemática. Soc. 45 , 229-245.
• Fillmore, PA (1996), A User's Guide for Operator Algebras , Wiley-Interscience.
• Rørdam, M. (2002), Classification of Nuclear C * -Algebras , Encyclopaedia of Mathematical Sciences 126 , Springer-Verlag.

links externos

• "AF-algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]