Equações de Laue - Laue equations

Equação de Laue

Na cristalografia e na física do estado sólido , as equações de Laue relacionam as ondas de entrada com as ondas de saída no processo de espalhamento elástico , onde a energia do fóton ou a freqüência temporal da luz não muda por espalhamento, por uma rede cristalina . Eles foram nomeados em homenagem ao físico Max von Laue (1879–1960).

As equações de Laue pode ser escrito como como o estado de dispersão da onda elástica por uma rede cristalina, onde , e são uma entrada (para o cristal) vetor de onda , um vetor de onda de saída (a partir do cristal, por espalhamento), e um vector de rede recíproco para o cristal, respectivamente. Devido ao espalhamento elástico , três vetores. , E , formar um losango se a equação é satisfeita. Se o espalhamento satisfaz esta equação, todos os pontos da rede cristalina espalham a onda de entrada na direção de espalhamento (a direção ao longo${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | ^ {2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} | ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$) Se a equação não for satisfeita, para qualquer direção de espalhamento, apenas alguns pontos da rede espalham a onda de entrada. (Esta interpretação física da equação é baseada na suposição de que o espalhamento em um ponto da rede é feito de forma que a onda de espalhamento e a onda de entrada tenham a mesma fase no ponto.) Também pode ser visto como a conservação de momentos como uma vez que é o vetor de onda de uma onda plana associada com planos paralelos da rede cristalina. (As frentes de onda da onda plana são coincidentes com esses planos de rede). ${\ displaystyle \ hbar \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} = \ hbar \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} + \ hbar \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$

As equações são equivalentes à lei de Bragg ; as equações de Laue são equações vetoriais, enquanto a lei de Bragg está em uma forma mais fácil de resolver, mas têm o mesmo conteúdo.

As equações de Laue

Let ser vectores de tradução primitivos (logo chamados vectores primitivas) de uma rede cristalina , onde os átomos estão localizados em pontos da rede descrito por com , e como quaisquer inteiros . (Portanto, a indicação de cada ponto da rede é uma combinação linear inteira dos vetores primitivos.) ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ ,, \ mathbf {b} \ ,, \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

Seja o vetor de onda de um feixe de entrada (incidente) ou onda em direção à rede cristalina , e seja o vetor de onda de um feixe ou onda de saída (difratado) . Em seguida, o vetor , chamado vetor de espalhamento ou vetor de onda transferido , mede a diferença entre os vetores de onda de entrada e de saída. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {\ Delta k}}$

As três condições que o vetor de espalhamento deve satisfazer, chamadas de equações de Laue , são as seguintes: ${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a} = 2 \ pi h}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b} = 2 \ pi k}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {c} = 2 \ pi l}$

onde os números são números inteiros . Cada escolha de números inteiros , chamados de índices de Miller , determina um vetor de espalhamento . Conseqüentemente, existem infinitos vetores de espalhamento que satisfazem as equações de Laue, visto que existem infinitas opções de índices de Miller . Os vetores de espalhamento permitidos formam uma rede , chamada rede recíproca da rede cristalina , pois cada um indica um ponto de . (Este é o significado das equações de Laue conforme mostrado abaixo.) Esta condição permite que um único feixe incidente seja difratado em infinitas direções. No entanto, os feixes correspondentes a altos índices de Miller são muito fracos e não podem ser observados. Essas equações são suficientes para encontrar uma base da rede recíproca (uma vez que cada observada indica um ponto da rede recíproca do cristal sob a medição), a partir da qual a rede cristalina pode ser determinada. Este é o princípio da cristalografia de raios-X . ${\ displaystyle h, k, l}$${\ displaystyle (h, k, l)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ displaystyle (h, k, l)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ displaystyle L ^ {*}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ displaystyle L ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$

Derivação matemática

Para uma onda plana incidente em uma única frequência (e a frequência angular ) em um cristal, as ondas difratadas do cristal podem ser pensadas como a soma das ondas planas que saem do cristal. (Na verdade, qualquer onda pode ser representada como a soma de ondas planas, consulte Fourier Optics .) A onda incidente e uma das ondas planas da onda difratada são representadas como ${\ displaystyle \ displaystyle f}$${\ displaystyle \ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

${\ displaystyle \ displaystyle f _ {\ mathrm {in}} (t, \ mathbf {x}) = A _ {\ mathrm {in}} \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm { in}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {in}}),}$

${\ displaystyle \ displaystyle f _ {\ mathrm {out}} (t, \ mathbf {x}) = A _ {\ mathrm {out}} \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm { out}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {out}}),}$

onde e são vetores de onda para as ondas planas incidentes e de saída, é o vetor de posição e é um escalar que representa o tempo e são fases iniciais para as ondas. Para simplificar, consideramos as ondas como escalares aqui, embora o caso principal de interesse seja um campo eletromagnético, que é um vetor . Podemos pensar essas ondas escalares como componentes de ondas vetoriais ao longo de um certo eixo (eixo x , y ou z ) do sistema de coordenadas cartesianas . ${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {out}}}$

As ondas incidentes e difratadas se propagam pelo espaço independentemente, exceto em pontos da rede do cristal, onde ressoam com os osciladores, de modo que as fases dessas ondas devem coincidir. Em cada ponto da rede , temos ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {in}}) = \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {out}}),}$

ou equivalentemente, devemos ter

${\ displaystyle \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {in}} = \ omega \, t- \ mathbf { k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {x} + \ varphi _ {\ mathrm {out}} +2 \ pi n,}$

para algum número inteiro , isso depende do ponto . Uma vez que esta equação se mantém em , em algum número inteiro . Então ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = 0}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {in}} = \ varphi _ {\ mathrm {out}} +2 \ pi n '}$${\ displaystyle n '}$

${\ displaystyle \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} = \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {x} +2 \ pi n.}$

(Ainda usamos em vez de, pois ambas as notações indicam essencialmente algum número inteiro.) Reordenando os termos, obtemos ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (n-n ')}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {x} = (\ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}) \ cdot \ mathbf {x} = 2 \ pi n.}$

Agora, basta verificar se essa condição é satisfeita nos vetores primitivos (que é exatamente o que dizem as equações de Laue), pois, em qualquer ponto da rede , temos ${\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {\ Delta k} \ cdot (p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}) = p (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a}) + q (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b}) + r (\ mathbf {\ Delta k } \ cdot \ mathbf {c}) = p \, (2 \ pi h) + q \, (2 \ pi k) + r \, (2 \ pi l) = 2 \ pi (ph + qk + rl) = 2 \ pi n,}$

onde é o inteiro . A afirmação de que cada parêntese, por exemplo , deve ser um múltiplo de (ou seja, cada equação de Laue) é justificada, pois de outra forma não é válida para quaisquer inteiros arbitrários . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle ph + qk + rl}$${\ displaystyle (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a})}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle p (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a}) + q (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b}) + r (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {c}) = 2 \ pi n}$${\ displaystyle p, q, r}$

Isso garante que, se as equações de Laue forem satisfeitas, a onda de entrada e saída (difratada) terá a mesma fase em cada ponto da estrutura do cristal, de modo que as oscilações dos átomos do cristal, que seguem a onda de entrada, podem ao mesmo tempo gera a onda de saída na mesma fase da onda de entrada.

Relação com redes recíprocas e Lei de Bragg

Se com , , como números inteiros representa a rede recíproca para uma estrutura de cristal (definida por ) no espaço real, sabemos que com um número inteiro devido à ortogonalidade conhecida entre vectores primitivos para a estrutura recíproca e aqueles para a rede cristalina. (Usamos a definição física, não a do cristalógrafo, para vetores de rede recíproca que fornece o fator de .) Mas observe que isso nada mais é do que as equações de Laue. Assim, identificamos , meios que vetores de espalhamento permitidos são aqueles iguais aos vetores de rede recíprocos para um cristal em difração, e este é o significado das equações de Laue. Esse fato às vezes é chamado de condição de Laue . Nesse sentido, os padrões de difração são uma forma de medir experimentalmente a rede recíproca de uma rede cristalina.${\ displaystyle \ mathbf {G} = h \ mathbf {A} + k \ mathbf {B} + l \ mathbf {C}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} + q \, \ mathbf {b} + r \, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {G} \ cdot (p \ mathbf {a} + q \ mathbf {b} + r \ mathbf {c}) = 2 \ pi ( hp + kq + lr) = 2 \ pi n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$

A condição Laue pode ser reescrita da seguinte forma.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}}$

Aplicando a condição de espalhamento elástico (em outras palavras, as ondas entrantes e difratadas estão na mesma frequência (temporal). Também podemos dizer que a energia por fóton não muda.) À equação acima, obtemos ${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | ^ {2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} | ^ {2}}$

${\ displaystyle 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} | ^ {2},}$

${\ displaystyle 2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}} \ cdot (- \ mathbf {G}) = | \ mathbf {G} {{|} ^ {2}}.}$

A segunda equação é obtida a partir da primeira equação usando . ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$

O resultado (também ) é uma equação para um plano (geometria) (como o conjunto de todos os pontos indicados pela satisfação desta equação), pois sua equação equivalente é uma equação plana em geometria. Outra equação equivalente, que pode ser mais fácil de entender, é (também ). Isto indica que o plano que é perpendicular à linha recta entre a origem rede recíproca e e localizado no meio da linha. Esse plano é chamado de plano de Bragg. Este plano pode ser compreendido, uma vez por espalhamento para ocorrer (É a condição Laue, equivalentes às equações de Laue.) E a difusão elástica foi assumida de modo , e formar um losango . Cada um é, por definição, o vetor de onda de uma onda plana na série de Fourier de uma função espacial cuja periodicidade segue a estrutura do cristal (por exemplo, a função que representa a densidade eletrônica do cristal), as frentes de onda de cada onda plana na série de Fourier são perpendiculares a o vetor de onda da onda plana e essas frentes de onda são coincidentes com os planos da rede cristalina paralela. Isso significa que os raios X são aparentemente "refletidos" em planos de rede de cristal paralelos perpendiculares no mesmo ângulo de seu ângulo de aproximação ao cristal em relação aos planos de rede; na luz elástica ( normalmente raios-X ) - espalhamento de cristal, planos de rede de cristal paralelos perpendiculares a um vetor de rede recíproca para a rede de cristal atuam como espelhos paralelos para a luz que, junto com , entrando (para o cristal) e saindo (do cristal por espalhamento) os vetores de onda formam um losango.${\ displaystyle 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} | ^ {2}}$${\ displaystyle 2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}} \ cdot (- \ mathbf {G}) = | \ mathbf {G} {{|} ^ {2}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} \ cdot (2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {out}}} - \ mathbf {G}) = 0}$${\ displaystyle {{\ mathbf {k}} _ {\ text {out}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {G}}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ mathbf { G} \ certo |}$${\ displaystyle (- {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}}) \ cdot {\ widehat {\ mathbf {G}}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ mathbf {G} \ right |}$${\ displaystyle \ mathbf {G} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | ^ {2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} | ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle - \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$

Uma vez que o ângulo entre e é , (devido à dispersão semelhante a um espelho, o ângulo entre e também é .) . Lembre-se, com o comprimento de onda da luz (normalmente raio-X) e com a distância entre os planos da rede cristalina paralela adjacente e como um inteiro. Com eles, agora derivamos a lei de Bragg que é equivalente às equações de Laue (também chamada de condição de Laue): ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ pi / 2- \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ pi / 2- \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} || \ mathbf {G} | \ sin \ theta }$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | = 2 \ pi / \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle | \ mathbf {G} | = {\ frac {2 \ pi} {d}} n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} | ^ {2} \\ 2 | \ mathbf {k } _ {\ mathrm {out}} || \ mathbf {G} | \ sin \ theta = | \ mathbf {G} | ^ {2} \\ 2 (2 \ pi / \ lambda) (2 \ pi n / d) \ sin \ theta = (2 \ pi n / d) ^ {2} \\ 2d \ sin \ theta = n \ lambda. \ end {alinhado}}}$

Referências

• Kittel, C. (1976). Introdução à Física do Estado Sólido , Nova York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

Notas