Malgrange teorema de preparação - Malgrange preparation theorem

Em matemática, a preparação teorema Malgrange é um análogo do teorema de preparação Weierstrass para funções suaves . Ele foi conjecturado por René Thom e provado por B. Malgrange  ( 1962-1963 , 1964 , 1967 ).

Declaração de Malgrange preparação teorema

Suponhamos que f ( t , x ) é uma função suave complexo de t ∈ R e x ∈ R ⁿ perto da origem, e deixou k ser o menor número inteiro tal que

${\ Displaystyle F (0,0) = 0, {\ parcial f \ sobre \ T} parcial (0,0) = 0, \ pontos, {\ ^ {parcial k-1} f \ sobre \ parcial t ^ { k-1}} (0,0) = 0, {\ parcial ^ {k} f \ sobre \ parcial t ^ {k}} (0,0) \ neq 0.}$

Em seguida, uma forma do teorema de preparação afirma que perto da origem F pode ser escrita como o produto de uma função suave c que é diferente de zero na origem e uma função suave que, como uma função de t é um polinómio de grau k . Em outras palavras,

${\ Displaystyle f (t, x) = c (t, x) \ esquerda (t ^ {k} + a_ {k-1} (x) t ^ {k-1} + \ cdots + a_ {0} ( x) \ right)}$

onde as funções c e um são lisas e c é diferente de zero na origem.

A segunda forma do teorema, ocasionalmente chamado de teorema divisão Mather , é uma espécie de "divisão com resto" teorema: ele diz que se f e k satisfazer as condições acima e g é uma função suave perto da origem, então podemos escrever

${\ Displaystyle g = QF + r}$

onde q e r são lisas, e como uma função de t , r é um polinómio de grau menor do que k . Isso significa que

${\ Displaystyle r (x) = \ _ soma {0 \ leq j <k} t ^ {j} r_ {j} (x)}$

Para algumas funções suaves r _j ( x ).

As duas formas do teorema facilmente implicam um ao outro: a primeira forma é o caso especial de a "divisão com o restante" forma em que g é t ^k , e a divisão com forma restante segue a partir da primeira forma do teorema como podemos assumir que F como uma função de t é um polinómio de grau k .

Se as funções f e g são reais, então as funções c , um , q , e r também podem ser tomadas para ser real. No caso da preparação teorema Weierstrass estas funções são determinados exclusivamente pela f e g , mas singularidade não se mantém para a preparação teorema Malgrange.

Prova de Malgrange preparação teorema

O teorema de preparação Malgrange pode ser deduzida a partir da preparação teorema de Weierstrass. A maneira óbvia de fazer isso não funciona: apesar de funções suaves têm uma expansão formal, séries de potência na origem, e a preparação teorema de Weierstrass aplica-se a série de potências formal, a série de potências formal não será geralmente convergem para suavizar funções próximo da origem. Em vez disso pode-se usar a idéia de decomposição de uma função suave como uma soma de funções analíticas através da aplicação de uma partição de unidade para sua transformada de Fourier. Para uma prova ao longo destas linhas de ver ( Mather 1968 ) ou ( Hörmander 1983a , a secção 7.5)

versão algébrica da preparação teorema Malgrange

O teorema de preparação Malgrange pode ser reescrita como uma teorema cerca de módulos mais anéis de lisas, de valor real germes . Se X é um colector , com p ∈ X , deixar C ^∞ _p ( X ) denotam o anel de germes de valor real de funções suaves em p em X . Vamos M _p ( X ) denotam o único ideal máxima de C ^∞ _p ( X ), que consiste de germes que desaparecem na p. Deixe Um ser um C ^∞ _p ( X ) -module, e deixá- f : X  →  Y ser uma função suave entre colectores. Vamos q = f ( P ). f induz um anel homomorphism f ^* : C ^∞ _q (Y) →  C ^∞ _p ( X ) através da composição à direita com f . Assim, podemos ver um como um C ^∞ _q ( Y -module). Em seguida, a preparação teorema Malgrange diz que, se A é um número finito-gerado C ^∞ _p ( X ) -module, em seguida, um é um número finito-gerado C ^∞ _q ( Y ) -module se e apenas se um / H _q ( Y ) A é um espaço vetorial real de dimensão finita.

Referências

• Golubitsky, Martin ; Guillemin, Victor (1973), aplicações estáveis e suas singularidades , Graduate Textos em matemática 14, Springer-Verlag , ISBN  0-387-90073-X
• Hörmander, L. (1983a), A análise de operadores diferenciais parciais lineares I , Grundl. Matemática. Wissenschaft., 256 , Springer, ISBN  978-3-540-00662-6
• Malgrange, Bernard (1962-1963), Le théorème de préparation en géométrie diferenciável I-IV , Séminaire Henri Cartan , 1962-1963, 11-14, mathématique Secrétariat, Paris, MR  0160234
• Malgrange, Bernard (1964), O teorema de preparação para funções diferenciáveis. 1964 Análise Diferencial, Bombay Colloq. , Londres: Oxford Univ. Press, pp. 203-208, MR  0182695
• Malgrange, Bernard (1967), Ideais de funções diferenciáveis , Tata Instituto de Estudos A investigação fundamental em matemática, 3 , Londres:. Oxford University Press, pp vii + 106, MR  0212575
• Mather, John N. (1968), "Estabilidade da C ^∞ mapeamentos. I. O teorema de divisão.", Ann. de matemática. , 2, The Annals of Mathematics, Vol. 87, No. 1, 87 (1): 89-104, doi : 10,2307 / 1970595 , JSTOR  1.970.595 , MR  0.232.401