Anel de matriz - Matrix ring

Na álgebra abstrata , um anel de matriz é um conjunto de matrizes com entradas em um anel R que formam um anel sob adição e multiplicação de matrizes ( Lam 1999 ). O conjunto de todos os n × n matrizes com entradas em R é um anel de matriz denotado H _N ( R ) (notações alternativos: Mat _N ( R ) e R ^{n x n} ). Alguns conjuntos de matrizes infinitas formam anéis de matriz infinita . Qualquer subanela de um anel de matriz é um anel de matriz. Sobre um anel , pode-se formar anéis de matriz.

Quando R é um anel comutativo, o anel da matriz M _n ( R ) é uma álgebra associativa sobre R e pode ser chamada de álgebra da matriz . Nesse cenário, se M é uma matriz er está em R , então a matriz rM é a matriz M com cada uma de suas entradas multiplicada por r .

Exemplos

• O conjunto de todos os n × n matrizes sobre R , denotado H _N ( R ). Isso às vezes é chamado de "anel cheio de n -by- n matrizes".
• O conjunto de todos os superiores matrizes triangulares mais de R .
• O conjunto de todos os menores matrizes triangulares mais de R .
• O conjunto de todas as matrizes diagonais mais de R . Este subálgebra de M _n ( R ) é isomorfo para o produto directo de n cópias de R .
• Para qualquer conjunto de índices I , o anel de endomorfismos do módulo R direito é isomórfico ao anel de matrizes finitas de coluna cujas entradas são indexadas por I × I e cujas colunas cada uma contém apenas entradas finitas diferentes de zero. O anel de endomorfismos de M considerado como um módulo R esquerdo é isomórfico ao anel de matrizes finitas de linha . ${\ textstyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} R}$${\ displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (R)}$${\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (R)}$
• Se R for uma álgebra de Banach , então a condição de finitude de linha ou coluna no ponto anterior pode ser relaxada. Com a norma em vigor, séries absolutamente convergentes podem ser usadas em vez de somas finitas. Por exemplo, as matrizes cujas somas das colunas são sequências absolutamente convergentes formam um anel. De forma análoga, é claro, as matrizes cujas somas de linhas são séries absolutamente convergentes também formam um anel. Essa ideia pode ser usada para representar operadores em espaços de Hilbert , por exemplo.
• A interseção dos anéis da matriz finita da linha e da coluna finita forma um anel . ${\ displaystyle \ mathbb {RCFM} _ {I} (R)}$
• Se R for comutativo , então M _n ( R ) tem uma estrutura de * -álgebra sobre R , onde a involução * em M _n ( R ) é a transposição da matriz .
• Se A for uma C * -álgebra , então M _n ( A ) é outra C * -álgebra. Se A for não unital, então M _n ( A ) também é não unital. Pelo teorema de Gelfand-Naimark , existe um espaço de Hilbert H e um isomorfismo * isométrico de A para uma subálgebra fechada por norma da álgebra B ( H ) de operadores contínuos; isso identifica M _n ( A ) com uma subálgebra de B ( H ). Para simplificar, se ainda supormos que H é separável e A B ( H ) é uma C * -álgebra unital, podemos dividir A em um anel de matriz sobre uma C * -álgebra menor. Pode-se fazer isso fixando uma projeção p e, portanto, sua projeção ortogonal 1 -  p ; pode-se identificar A com , onde a multiplicação de matrizes funciona como pretendido por causa da ortogonalidade das projeções. Para identificar A com um anel de matriz sobre uma C * -álgebra, exigimos que p e 1 -  p tenham a mesma ″ classificação ″; mais precisamente, precisamos que p e 1 -  p sejam equivalentes de Murray-von Neumann, ou seja, existe uma isometria parcial u tal que p = uu * e 1 -  p = u * u . Pode-se facilmente generalizar isso para matrizes de tamanhos maiores. ^{${\ displaystyle \ oplus n}$} ${\ displaystyle \ subseteq}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} pAp & pA (1-p) \\ (1-p) Ap & (1-p) A (1-p) \ end {pmatrix}}}$
• As álgebras de matrizes complexas M _n ( C ) são, até o isomorfismo, as únicas álgebras associativas simples de dimensão finita sobre o corpo C de números complexos . Antes da invenção da álgebra de matrizes, Hamilton em 1853 introduziu um anel, cujos elementos que chamou biquaternions e autores modernos chamaria tensores em , que foi mais tarde demonstrado ser isomorfa a H ₂ ( C ). Uma base de H ₂ ( C ) é composto por quatro unidades de matrizes (matrizes com um 1 e todas as outras entradas 0); outra base é dada pela matriz de identidade e as três matrizes de Pauli . ${\ displaystyle \ mathbf {C} \ otimes _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {H}}$
• Um anel de matriz sobre um campo é uma álgebra de Frobenius , com a forma de Frobenius dada pelo traço do produto: σ ( A , B ) = tr ( AB ) .

Estrutura

• O anel de matriz M _n ( R ) pode ser identificado com o anel de endomorfismos do módulo R direito livre de classificação n ; isto é, M _n ( R ) ≅ Fim _R ( R ⁿ ) . A multiplicação da matriz corresponde à composição dos endomorfismos.
• O anel M _n ( D ) sobre um anel de divisão D é um anel simples Artinian , um tipo especial de anel semi-simples . Os anéis e não são simples e não artinianos se o conjunto I for infinito, mas eles ainda são anéis lineares completos . ${\ displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (D)}$${\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (D)}$
• O teorema de Artin-Wedderburn afirma que todo anel semisimples é isomórfico a um produto direto finito , para algum inteiro não negativo r , inteiros positivos n _i e anéis de divisão D _i . ${\ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ operatorname {M} _ {n_ {i}} (D_ {i})}$
• Quando vemos M _n ( C ) como o anel de endomorfismos lineares de C ⁿ , aquelas matrizes que desaparecem em um dado subespaço V formam um ideal à esquerda . Inversamente, para um dado ideal de esquerda I de M _n ( C ), a interseção de espaços nulos de todas as matrizes em I dá um subespaço de C ⁿ . Sob essa construção, os ideais de esquerda de M _n ( C ) estão em bijeção com os subespaços de C ⁿ .
• Há um bijeç~ao entre os dois lados ideais de M _n ( R ) e os ideais de dois lados de R . Ou seja, para cada ideal I de R , o conjunto de todos os n × n matrizes com entradas em I é um ideal de M _n ( R ), e cada ideal de M _n ( R ) surge deste modo. Isso implica que M _n ( R ) é simples se e somente se R é simples. Para n ≥ 2 , nem todos os ideal esquerda ou direita ideal de M _n ( R ) surge pela construção anterior de um ideal esquerda ou para a direita em um ideal R . Por exemplo, o conjunto de matrizes cujas colunas com índices 2 a n são todas zero forma um ideal à esquerda em M _n ( R ).
• A correspondência ideal anterior na verdade surge do fato de que os anéis R e M _n ( R ) são equivalentes de Morita . Grosso modo, isso significa que a categoria dos módulos R esquerdos e a categoria dos módulos M _n ( R ) esquerdos são muito semelhantes. Por causa disso, há uma correspondência bijetiva natural entre as classes de isomorfismo dos módulos R esquerdos e dos módulos M _n ( R ) esquerdos, e entre as classes de isomorfismo dos ideais esquerdos de R e os ideais esquerdos de M _n ( R ). Declarações idênticas são válidas para módulos certos e ideais certos. Por meio da equivalência de Morita, M _n ( R ) herda quaisquer propriedades invariantes de Morita de R , como ser simples , Artiniano , Noetheriano , primo .

Propriedades

• Se S é um subanel de R , então M _n ( S ) é um subanel de M _n ( R ). Por exemplo, M _n ( Z ) é um subanel de M _n ( Q ).
• O anel de matriz M _n ( R ) é comutativo se e somente se n = 0 , R = 0 ou R é comutativo e n = 1 . Na verdade, isso também é verdadeiro para o subanel de matrizes triangulares superiores. Aqui está um exemplo que mostra duas matrizes triangulares 2 × 2 superiores que não comutam, assumindo 1 ≠ 0 :

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}}$

  e

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}.}$

• Para n ≥ 2, o anel da matriz M _n ( R ) sobre um anel diferente de zero tem divisores zero e elementos nilpotentes ; o mesmo vale para o anel de matrizes triangulares superiores. Um exemplo em matrizes 2 × 2 seria

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}.}$

• O centro de M _n ( R ) consiste dos múltiplos escalares da matriz de identidade em que a escalar pertence ao centro de R .
• O grupo de unidades de M _n ( R ), que consiste nas matrizes invertíveis sob multiplicação, é denotado GL _n ( R ).
• Se F for um campo, então para quaisquer duas matrizes A e B em M _n ( F ), a igualdade AB = 1 implica BA = 1 . No entanto, isso não é verdade para todos os anéis R. Um anel R cujos anéis de matriz têm todos a propriedade mencionada é conhecido como um anel finito de forma estável ( Lam 1999 , p. 5).

Matrix semiring

Na verdade, R precisa ser apenas uma semirreção para que M _n ( R ) seja definido. Nesse caso, M _n ( R ) é um semiramento, denominado semiramento de matriz . Da mesma forma, se R é uma semialgebra comutativa, então M _n ( R ) é uma semialgebra de matriz .

Por exemplo, se R é a semifiação booleana (a álgebra booleana de dois elementos R  = {0,1} com 1 + 1 = 1), então M _n ( R ) é a semifiação de relações binárias em um conjunto de n- elementos com união como adição, composição de relações como multiplicação, a relação vazia ( matriz zero ) como zero e a relação de identidade ( matriz identidade ) como unidade.

Veja também

• Álgebra central simples
• Álgebra de Clifford
• Teorema de Hurwitz (álgebras de divisão normada)
• Anel de matriz genérico
• Lei da inércia de silvestre

Referências