Conteúdo Minkowski - Minkowski content

O conteúdo de Minkowski (em homenagem a Hermann Minkowski ), ou medida de limite , de um conjunto é um conceito básico que usa conceitos da geometria e da teoria da medida para generalizar as noções de comprimento de uma curva suave no plano e área de uma superfície lisa no espaço , para conjuntos mensuráveis arbitrários .

É normalmente aplicado a limites fractais de domínios no espaço euclidiano , mas também pode ser usado no contexto de espaços gerais de medida métrica .

Está relacionado, embora diferente, da medida de Hausdorff .

Definição

Pois , e cada inteiro m com , o conteúdo de Minkowski superior m- dimensional é ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle 0 \ leq m \ leq n}$

${\ displaystyle M ^ {* m} (A) = \ limsup _ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ mu (\ {x: d (x, A) <r \})} { \ alpha (nm) r ^ {nm}}}}$

e o conteúdo de Minkowski inferior m- dimensional é definido como

${\ displaystyle M _ {*} ^ {m} (A) = \ liminf _ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ mu (\ {x: d (x, A) <r \}) } {\ alpha (nm) r ^ {nm}}}}$

onde é o volume da bola ( n - m ) de raio re é uma medida de Lebesgue -dimensional . ${\ displaystyle \ alpha (nm) r ^ {nm}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle n}$

Se o conteúdo de Minkowski m- dimensional superior e inferior de A são iguais, então seu valor comum é chamado de conteúdo de Minkowski M ^m ( A ).

Propriedades

• O conteúdo de Minkowski (geralmente) não é uma medida. Em particular, o conteúdo de Minkowski m- dimensional em R ⁿ não é uma medida a menos que m  = 0, caso em que é a medida de contagem . De fato, claramente o conteúdo de Minkowski atribui o mesmo valor ao conjunto A , bem como ao seu fechamento .
• Se A é um conjunto m - retificável fechado em R ⁿ , dado como a imagem de um conjunto limitado de R ^m sob uma função de Lipschitz , então o conteúdo de Minkowski m- dimensional de A existe e é igual à medida de Hausdorff m- dimensional de um .

Veja também

• Desigualdade isoperimétrica gaussiana
• Teoria da medida geométrica
• Desigualdade isoperimétrica em dimensões superiores
• Dimensão Minkowski-Bouligand

Notas de rodapé

Referências

• Federer, Herbert (1969), Teoria da medida geométrica , Springer-Verlag, ISBN   3-540-60656-4 .
• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (1999), The geometry of domains in space , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN   0-8176-4097-5 , MR   1730695 .