Menor (álgebra linear) - Minor (linear algebra)

Na álgebra linear , um menor de uma matriz A é o determinante de alguma matriz quadrada menor , cortada de A removendo uma ou mais de suas linhas e colunas. Menores obtidos removendo apenas uma linha e uma coluna de matrizes quadradas ( primeiros menores ) são necessários para calcular os cofatores de matriz , que por sua vez são úteis para calcular o determinante e o inverso de matrizes quadradas.

Definição e ilustração

Primeiros menores

Se A for uma matriz quadrada, então o menor da entrada na i- ésima linha ej- ésima coluna (também chamado de ( i , j ) menor ou um primeiro menor ) é o determinante da submatriz formada pela exclusão do i- ésimo linha e j ésima coluna. Esse número é freqüentemente denotado como M _{i, j} . O cofator ( i , j ) é obtido multiplicando o menor por . ${\ displaystyle (-1) ^ {i + j}}$

Para ilustrar essas definições, considere a seguinte matriz 3 por 3,

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 e 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ - 1 & 9 e 11 \\\ end {bmatrix}}}

Para calcular o menor M _2,3 e o cofator C _2,3 , encontramos o determinante da matriz acima com a linha 2 e a coluna 3 removidas.

{\ displaystyle M_ {2,3} = \ det {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & \ Box \\\ Box & \ Box & \ Box \\ - 1 & 9 & \ Box \\\ end {bmatrix}} = \ det {\ começo {bmatriz} 1 e 4 \\ - 1 e 9 \\\ fim {bmatriz}} = 9 - (- 4) = 13}

Portanto, o cofator da entrada (2,3) é

{\ displaystyle \ C_ {2,3} = (- 1) ^ {2 + 3} (M_ {2,3}) = - 13.}

Definição geral

Seja A uma matriz m × n ek um inteiro com 0 < k ≤ m e k ≤ n . A k × k menor de A , também chamado de determinante menor de ordem k de A ou, se m = n , ( n - k ) ésimo determinante menor de A (a palavra "determinante" é frequentemente omitida, e a palavra "grau" é por vezes usado em vez de "fim") é o determinante de um k x k matriz obtida a partir de uma por exclusão m - k linhas e n - k colunas. Por vezes o termo é usado para se referir ao k x k matriz obtida a partir de A como acima (por exclusão m - k linhas e n - k colunas), mas esta matriz deve ser referido como uma submatriz (quadrado) de A , deixando a termo "menor" para se referir ao determinante desta matriz. Para uma matriz A como acima, há um total de menores de tamanho k × k . O menor de ordem zero é freqüentemente definido como 1. Para uma matriz quadrada, o zero menor é apenas o determinante da matriz. ${\ displaystyle {m \ escolha k} \ cdot {n \ escolha k}}$

Sejam e sejam sequências ordenadas (em ordem natural, como sempre se supõe quando se trata de menores, a menos que seja indicado o contrário) de índices, chame-os de I e J , respectivamente. O menor correspondente a essas escolhas de índices é denotado ou ou ou ou ou (onde o denota a seqüência de índices I , etc.), dependendo da fonte. Além disso, existem dois tipos de denotações em uso na literatura: pelo menor associado a sequências ordenadas de índices I e J , alguns autores significam o determinante da matriz que é formada como acima, tomando os elementos da matriz original do linhas cujos índices são em I e colunas cujos índices são em J , enquanto que alguns outros autores significar por um menor associado a I e J o determinante da matriz formada a partir da matriz original, eliminando as linhas em I e colunas em J . A notação usada deve ser sempre verificada na fonte em questão. Neste artigo, nós usamos a definição inclusiva de escolher os elementos de linhas de I e colunas de J . O caso excepcional é o caso do primeiro menor ou do ( i , j ) -menor descrito acima; nesse caso, o significado exclusivo é padrão em toda a literatura e também é usado neste artigo. ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq m}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ cdots <j_ {k} \ leq n}$ ${\ displaystyle \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ right)}$ ${\ displaystyle \ det _ {I, J} A}$ ${\ displaystyle \ det A_ {I, J}}$ ${\ displaystyle [A] _ {I, J}}$ ${\ displaystyle M_ {I, J}}$ ${\ displaystyle M_ {i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {k}, j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {k}}}$ ${\ displaystyle M _ {(i), (j)}}$ ${\ displaystyle (i)}$ ${\ displaystyle M_ {i, j} = \ det \ left (\ left (A_ {p, q} \ right) _ {p \ neq i, q \ neq j} \ right)}$

Complemento

O complemento, B _{ijk ..., pqr ...} , de um menor, M _{ijk ..., pqr ...} , de uma matriz quadrada, A , é formado pelo determinante da matriz A a partir da qual todas as linhas ( ijk ... ) e colunas ( pqr ... ) associadas a M _{ijk ..., pqr ...} foram removidas. O complemento do primeiro menor de um elemento a _ij é apenas esse elemento.

Aplicações de menores e cofatores

Expansão de cofator do determinante

Os cofatores aparecem com destaque na fórmula de Laplace para a expansão dos determinantes, que é um método de calcular determinantes maiores em termos de determinantes menores. Dado um n × n matriz , o determinante de A , det designado por ( A ), pode ser escrita como a soma dos cofactores de qualquer linha ou coluna da matriz multiplicada pelas entradas que lhes deram origem. Em outras palavras, definir então a expansão do cofator ao longo da j- ésima coluna dá: ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ ${\ displaystyle C_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}$

{\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A}) = a_ {1j} C_ {1j} + a_ {2j} C_ {2j} + a_ {3j} C_ {3j} + \ cdots + a_ {nj} C_ { nj} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

A expansão do cofator ao longo da i- ésima linha dá:

{\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A}) = a_ {i1} C_ {i1} + a_ {i2} C_ {i2} + a_ {i3} C_ {i3} + \ cdots + a_ {em} C_ { in} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

Inverso de uma matriz

Pode-se escrever o inverso de uma matriz invertível calculando seus cofatores usando a regra de Cramer , como segue. A matriz formada por todos os cofatores de uma matriz quadrada A é chamada de matriz de cofator (também chamada de matriz de cofatores ou, às vezes, comatriz ):

{\ displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & \ cdots & C_ {1n} \\ C_ {21} & C_ {22} & \ cdots & C_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ C_ {n1} & C_ {n2} & \ cdots & C_ {nn} \ end {bmatrix}}}

Então, o inverso de A é a transposta da matriz do cofator vezes o recíproco do determinante de A :

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ operatorname {det} (\ mathbf {A})}} \ mathbf {C} ^ {\ mathsf {T}}.}

A transposição da matriz de cofactor é chamado o adjugate matriz (também chamado o adjunta clássica ) de um .

A fórmula acima pode ser generalizado como se segue: deixou-nos e ser encomendado sequências (de forma natural), de índices (aqui Uma é uma N × n matriz). Então ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ ldots <i_ {k} \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ ldots <j_ {k} \ leq n}$

{\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} = \ pm {\ frac {[\ mathbf {A}] _ {J ', I'}} {\ det \ mathbf { UMA} }},}

onde I ′ , J ′ denotam as sequências ordenadas de índices (os índices estão em ordem natural de magnitude, como acima) complementares a I , J , de modo que todo índice 1, ..., n apareça exatamente uma vez em I ou I ' , mas não em ambos (de modo semelhante para a J e J' ) e indica o determinante da submatriz de uma formada por escolha das linhas do índice fixado I e colunas de índice conjunto J . Além disso, . Uma prova simples pode ser fornecida usando um produto em cunha. De fato, ${\ displaystyle [\ mathbf {A}] _ {I, J}}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {A}] _ {I, J} = \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ direita)}$

{\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}) = \ pm (\ mathbf {A} ^ {- 1 } e_ {j_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (\ mathbf {A} ^ {- 1} e_ {j_ {k}}) \ wedge e_ {i '_ {1}} \ wedge \ ldots \ cunha e_ {i '_ {nk}},}

onde estão os vetores de base. Atuando por A em ambos os lados, obtém-se ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$

{\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} \ det \ mathbf {A} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}) = \ pm (e_ { j_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (e_ {j_ {k}}) \ wedge (\ mathbf {A} e_ {i '_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (\ mathbf {A } e_ {i '_ {nk}}) = \ pm [\ mathbf {A}] _ {J', I '} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}).}

O sinal pode ser trabalhado para fora para ser , de modo que o sinal é determinada pelas somas de elementos em I e J . ${\ displaystyle (-1) ^ {\ sum _ {s = 1} ^ {k} i_ {s} - \ sum _ {s = 1} ^ {k} j_ {s}}}$

Outras aplicações

Dado um m × n matriz com reais entradas (ou entradas de qualquer outro campo ) e classificação R , então existe pelo menos um diferente de zero r × R menor, enquanto que todos os menores maiores são zero.

Usaremos a seguinte notação para menores: se A é uma matriz m × n , I é um subconjunto de {1, ..., m } com k elementos e J é um subconjunto de {1, ..., n } com k elementos, então escrever [ a ] _{I , J} para o k x k menor de um que corresponde às linhas com índice em I e as colunas com índice em J .

Se I = J , então [ A ] _{I , J} é chamado de principal menor .
Se a matriz que corresponde a um principal menor é uma parte superior esquerda quadrática da matriz maior (ou seja, consiste em elementos da matriz em linhas e colunas de 1 a k ), então o principal menor é chamado de principal principal menor (de ordem k) ou canto (principal) menor (da ordem k) . Para um N × n matriz quadrada, não são n conduzindo menores principais.
O menor básico de uma matriz é o determinante de uma submatriz quadrada de tamanho máximo com determinante diferente de zero.
Para matrizes Hermitianas , os menores principais podem ser usados para testar a definição positiva e os menores principais podem ser usados para testar a semidefinidade positiva . Veja o critério de Sylvester para mais detalhes.

Tanto a fórmula para ordinária multiplicação de matrizes ea fórmula de Cauchy-Binet para o determinante do produto de duas matrizes são casos especiais da seguinte declaração geral sobre os menores de um produto de duas matrizes. Suponha que A é uma matriz m × n , B é uma matriz n × p , I é um subconjunto de {1, ..., m } com k elementos e J é um subconjunto de {1, ..., p } com k elementos. Então

{\ displaystyle [\ mathbf {AB}] _ {I, J} = \ sum _ {K} [\ mathbf {A}] _ {I, K} [\ mathbf {B}] _ {K, J} \ ,}

onde a soma se estende por todos os subconjuntos K de {1, ..., n } com k elementos. Esta fórmula é uma extensão direta da fórmula de Cauchy-Binet.

Abordagem de álgebra multilinear

Um tratamento algébrico mais sistemático de menores é dado em álgebra multilinear , usando o produto de cunha : os k- menores de uma matriz são as entradas no k- ésimo mapa de poder externo .

Se as colunas de uma matriz são encaixadas k de uma vez, os k × k menores aparecem como os componentes dos k- vetores resultantes . Por exemplo, os 2 × 2 menores da matriz

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 e 4 \\ 3 & \! \! - 1 \\ 2 & 1 \\\ end {pmatrix}}}

são −13 (das duas primeiras linhas), −7 (da primeira e última linha) e 5 (das duas últimas linhas). Agora considere o produto de cunha

{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1} +3 \ mathbf {e} _ {2} +2 \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge (4 \ mathbf {e} _ {1} - \ mathbf {e} _ {2} + \ mathbf {e} _ {3})}

onde as duas expressões correspondem às duas colunas de nossa matriz. Usando as propriedades do produto em cunha, ou seja, que é bilinear e alternado ,

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ wedge \ mathbf {e} _ {i} = 0,}

e anti - simétrico ,

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ wedge \ mathbf {e} _ {j} = - \ mathbf {e} _ {j} \ wedge \ mathbf {e} _ {i},}

podemos simplificar esta expressão para

{\ displaystyle -13 \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} -7 \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} +5 \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}}

onde os coeficientes concordam com os menores calculados anteriormente.

Uma observação sobre notação diferente

Em alguns livros, em vez de co - fator, o termo adjunto é usado. Além disso, é denotado como A _ij e definido da mesma forma que o cofator:

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {ij} = (- 1) ^ {i + j} \ mathbf {M} _ {ij}}

Usando esta notação, a matriz inversa é escrita desta forma:

{\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (M)}} {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {21} & \ cdots & A_ {n1} \ \ A_ {12} & A_ {22} & \ cdots & A_ {n2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1n} & A_ {2n} & \ cdots & A_ {nn} \ end {bmatrix }}}

Tenha em mente que complemento não é adjugate ou adjunta . Na terminologia moderna, o "adjunto" de uma matriz geralmente se refere ao operador adjunto correspondente .

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