Multiplicação e adição repetida - Multiplication and repeated addition

Na educação matemática , houve um debate sobre a questão de saber se a operação de multiplicação deveria ser ensinada como uma forma de adição repetida . Os participantes do debate trouxeram múltiplas perspectivas, incluindo axiomas de aritmética, pedagogia, aprendizagem e design instrucional, história da matemática, filosofia da matemática e matemática baseada em computador.

Antecedentes do debate

No início da década de 1990, Leslie Steffe propôs o esquema de contagem que as crianças usam para assimilar a multiplicação em seu conhecimento matemático. Jere Confrey contrastou o esquema de contagem com a conjectura de divisão. Confrey sugeriu que contar e dividir são dois primitivos cognitivos separados e independentes. Isso gerou discussões acadêmicas na forma de apresentações em conferências, artigos e capítulos de livros.

O debate originou-se com a disseminação mais ampla de currículos que enfatizavam dimensionar, ampliar, dobrar e medir tarefas matemáticas nos primeiros anos. Essas tarefas requerem e suportam modelos de multiplicação que não são baseados em contagem ou adição repetida. Debates em torno da questão "A multiplicação é realmente adição repetida?" apareceu em fóruns de discussão de pais e professores em meados da década de 1990.

Keith Devlin escreveu uma coluna da Mathematical Association of America intitulada, "It Ain't No Repeated Addition", que seguiu suas trocas de e-mail com professores, depois que ele mencionou o tópico brevemente em um artigo anterior. A coluna ligou os debates acadêmicos aos debates práticos. Isso gerou várias discussões em blogs e fóruns de pesquisas e profissionais. Keith Devlin continuou a escrever sobre este tópico.

Perspectivas pedagógicas

Da contagem à multiplicação

Em currículos e padrões típicos de matemática, como a Common Core State Standards Initiative , o significado do produto de números reais passa por uma série de noções geralmente começando com adições repetidas e, finalmente, residindo na escala. Uma vez que os números naturais (ou inteiros) tenham sido definidos e entendidos como um meio de contar, a criança é apresentada às operações básicas da aritmética, nesta ordem: adição, subtração, multiplicação e divisão. Essas operações, embora introduzidas em um estágio muito inicial da educação matemática de uma criança, têm um impacto duradouro no desenvolvimento do senso numérico dos alunos como habilidades numéricas avançadas. Nesses currículos, a multiplicação é introduzida imediatamente após colocar questões relacionadas à adição repetida, como: "São 3 sacos de 8 maçãs cada. Quantas maçãs existem ao todo? Um aluno pode fazer:

${\ displaystyle 8 + 8 + 8 = 24,}$

ou escolha a alternativa

${\ displaystyle 3 \ times 8 = 24.}$

Esta abordagem é apoiada por vários anos de ensino e aprendizagem, e estabelece a percepção de que a multiplicação é apenas uma forma mais eficiente de somar. Uma vez que 0 é trazido, ele não afeta nenhuma mudança significativa porque

${\ displaystyle 3 \ times 0 = 0 + 0 + 0,}$

que é 0, e a propriedade comutativa nos levaria também a definir

${\ displaystyle 0 \ times 3 = 0.}$

Assim, a adição repetida estende-se aos números inteiros (0, 1, 2, 3, 4, ...). O primeiro desafio à crença de que a multiplicação é adição repetida surge quando os alunos começam a trabalhar com frações. Do ponto de vista matemático, a multiplicação como adição repetida pode ser estendida em frações. Por exemplo,

${\ displaystyle 7/4 \ times 5/6}$

pede literalmente “um e três quartos dos cinco sextos”. Isso é significativo posteriormente porque os alunos aprendem que, em problemas de palavras, a palavra “de” geralmente indica uma multiplicação. No entanto, essa extensão é problemática para muitos alunos, que começam a ter problemas com a matemática quando as frações são introduzidas. Além disso, o modelo de adição repetida deve ser substancialmente modificado quando números irracionais são colocados em jogo.

Em relação a essas questões, os educadores matemáticos têm debatido se as dificuldades dos alunos com frações e números irracionais são exacerbadas ao ver a multiplicação como uma adição repetida por um longo tempo antes que esses números sejam introduzidos, e relacionado se é aceitável modificar significativamente a matemática rigorosa para o ensino fundamental as crianças acreditem em afirmações que mais tarde se revelam incorretas.

Da escala à multiplicação

A multiplicação também pode ser considerada uma escala. Na animação acima, vemos 3 sendo multiplicado por 2, resultando em 6.

Uma teoria da multiplicação da aprendizagem deriva do trabalho dos educadores matemáticos russos do Círculo de Vygotsky, que atuou na União Soviética entre as guerras mundiais. Sua contribuição é conhecida como conjectura da divisão.

Outra teoria da multiplicação da aprendizagem deriva daqueles que estudam a cognição incorporada , que examinou as metáforas subjacentes à multiplicação.

Juntas, essas investigações inspiraram currículos com tarefas "inerentemente multiplicativas" para crianças pequenas. Exemplos dessas tarefas incluem: alongamento elástico, zoom, dobradura, projeção de sombras ou queda de sombras. Essas tarefas não dependem de contagem e não podem ser facilmente conceituadas em termos de adição repetida.

Questões de debate relacionadas a esses currículos incluem:

O que pode ser multiplicado?

A multiplicação é freqüentemente definida para números naturais e depois estendida para números inteiros, frações e números irracionais. No entanto, a álgebra abstrata tem uma definição mais geral de multiplicação como uma operação binária em alguns objetos que podem ou não ser números. Notavelmente, pode-se multiplicar números complexos , vetores , matrizes e quatérnions . Alguns educadores acreditam que ver a multiplicação exclusivamente como uma adição repetida durante o ensino fundamental pode interferir na compreensão posterior desses aspectos da multiplicação.

Modelos e metáforas que fundamentam a multiplicação

No contexto da educação matemática, os modelos são representações concretas de ideias matemáticas abstratas que refletem algumas ou todas as qualidades essenciais da ideia. Os modelos são freqüentemente desenvolvidos como manipuladores físicos ou virtuais e materiais curriculares que os acompanham. Uma parte do debate sobre multiplicação e adição repetida é a comparação de diferentes modelos e seus materiais curriculares. Modelos diferentes podem ou não suportar a multiplicação de diferentes tipos de números; por exemplo, o modelo de conjunto no qual os números são apresentados como coleções de objetos e a multiplicação como a união de vários conjuntos com o mesmo número de objetos em cada um não pode ser estendido à multiplicação de números fracionários ou reais. Diferentes modelos também podem ser relevantes para aplicações específicas da aritmética; por exemplo, modelos de combinação surgem em probabilidade e biologia.

Referências