Vetor coordenado - Coordinate vector

Na álgebra linear , um vetor de coordenadas é uma representação de um vetor como uma lista ordenada de números que descreve o vetor em termos de uma base ordenada particular . As coordenadas são sempre especificadas em relação a uma base ordenada. As bases e suas representações de coordenadas associadas permitem perceber espaços vetoriais e transformações lineares concretamente como vetores de coluna , vetores de linha e matrizes ; portanto, eles são úteis em cálculos.

A ideia de um vetor de coordenadas também pode ser usada para espaços vetoriais de dimensão infinita, conforme abordado a seguir.

Definição

Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um campo F e seja

${\ displaystyle B = \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \}}$

ser uma base ordenada para V . Então, para cada, há uma combinação linear única dos vetores de base que é igual a v : ${\ displaystyle v \ in V}$

${\ displaystyle v = \ alpha _ {1} b_ {1} + \ alpha _ {2} b_ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} b_ {n}.}$

O vetor de coordenadas de v em relação a B é a sequência de coordenadas

${\ displaystyle [v] _ {B} = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n}).}$

Isso também é chamado de representação de v em relação a B , ou a representação B de v . Os α-s são chamados de coordenadas de v . A ordem da base torna-se importante aqui, pois determina a ordem em que os coeficientes são listados no vetor de coordenadas.

Os vetores de coordenadas de espaços vetoriais de dimensão finita podem ser representados por matrizes como vetores de coluna ou linha . Na notação acima, pode-se escrever

${\ displaystyle [v] _ {B} = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {1} \\\ vdots \\\ alpha _ {n} \ end {bmatrix}}}$

e

${\ displaystyle [v] _ {B} ^ {T} = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ cdots & \ alpha _ {n} \ end {bmatrix}} }$

onde está a transposta da matriz . ${\ displaystyle [v] _ {B} ^ {T}}$${\ displaystyle [v] _ {B}}$

A representação padrão

Podemos mecanizar a transformação de cima, definindo uma função , o chamado padrão representação de V, com respeito a B , que leva cada vector para a sua representação de coordenadas: . Então é uma transformação linear de V para F ⁿ . Na verdade, é um isomorfismo , e seu inverso é simplesmente ${\ displaystyle \ phi _ {B}}$${\ displaystyle \ phi _ {B} (v) = [v] _ {B}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {B} ^ {- 1}: F ^ {n} \ a V}$

${\ displaystyle \ phi _ {B} ^ {- 1} (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) = \ alpha _ {1} b_ {1} + \ cdots + \ alpha _ {n} b_ {n}.}$

Alternativamente, poderíamos ter definido a função acima desde o início, percebido que é um isomorfismo e definido como sua inversa. ${\ displaystyle \ phi _ {B} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ phi _ {B} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$

Exemplos

Exemplo 1

Seja P3 o espaço de todos os polinômios algébricos de grau no máximo 3 (isto é, o maior expoente de x pode ser 3). Este espaço é linear e medido pelos seguintes polinômios:

${\ displaystyle B_ {P} = \ left \ {1, x, x ^ {2}, x ^ {3} \ right \}}$

Coincidindo

${\ displaystyle 1: = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}; \ quad x: = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatriz}}; \ quad x ^ {2}: = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}; \ quad x ^ {3}: = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

então o vetor de coordenadas correspondente ao polinômio

${\ displaystyle p \ left (x \ right) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3}}$

é

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {0} \\ a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {bmatrix}}.}$

De acordo com essa representação, o operador de diferenciação d / dx que marcaremos D será representado pela seguinte matriz :

${\ displaystyle Dp (x) = P '(x); \ quad [D] = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}$

Usando esse método é fácil explorar as propriedades do operador, tais como: invertibilidade , Hermitiana ou anti-Hermitiana ou nenhum , espectro e autovalores , e muito mais.

Exemplo 2

As matrizes de Pauli , que representam o operador de spin ao transformar os autoestados de spin em coordenadas vetoriais.

Matriz de transformação de base

Sejam B e C duas bases diferentes de um espaço vetorial V , e marcemos com a matriz que tem colunas que consistem na representação C dos vetores de base b ₁ , b ₂ ,…, b _n : ${\ displaystyle \ lbrack M \ rbrack _ {C} ^ {B}}$

${\ displaystyle \ lbrack M \ rbrack _ {C} ^ {B} = {\ begin {bmatrix} \ lbrack b_ {1} \ rbrack _ {C} & \ cdots & \ lbrack b_ {n} \ rbrack _ {C } \ end {bmatrix}}}$

Esta matriz é denominada matriz de transformação base de B para C . Ele pode ser considerado como um automorphism mais . Qualquer vetor v representado em B pode ser transformado em uma representação em C da seguinte maneira: ${\ displaystyle F ^ {n}}$

${\ displaystyle \ lbrack v \ rbrack _ {C} = \ lbrack M \ rbrack _ {C} ^ {B} \ lbrack v \ rbrack _ {B}.}$

Sob a transformação de base, observe que o sobrescrito na matriz de transformação, M , e o subscrito no vetor de coordenadas, v , são os mesmos e aparentemente cancelam, deixando o subscrito restante. Embora isso possa servir como um auxílio de memória, é importante notar que nenhum cancelamento, ou operação matemática semelhante, está ocorrendo.

Corolário

A matriz H é uma matriz invertível e M ^-1 é a matriz de transformação base de C para B . Em outras palavras,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {Id} & = \ lbrack M \ rbrack _ {C} ^ {B} \ lbrack M \ rbrack _ {B} ^ {C} = \ lbrack M \ rbrack _ { C} ^ {C} \\ [3pt] & = \ lbrack M \ rbrack _ {B} ^ {C} \ lbrack M \ rbrack _ {C} ^ {B} = \ lbrack M \ rbrack _ {B} ^ {B} \ end {alinhado}}}$

Espaços vetoriais de dimensão infinita

Suponhamos que V é um espaço infinito-dimensional vector sobre um campo F . Se a dimensão é κ , então existe alguma base de k elementos para V . Depois que um pedido é escolhido, a base pode ser considerada uma base de pedido. Os elementos de V são combinações lineares finitas de elementos na base, que dão origem a representações de coordenadas únicas exatamente como descrito antes. A única mudança é que o conjunto de indexação para as coordenadas não é finito. Como um dado vetor v é uma combinação linear finita de elementos de base, as únicas entradas diferentes de zero do vetor de coordenadas para v serão os coeficientes diferentes de zero da combinação linear que representa v . Assim, o vetor de coordenadas para v é zero, exceto em um número finito de entradas.

As transformações lineares entre (possivelmente) espaços vetoriais de dimensão infinita podem ser modeladas, analogamente ao caso de dimensão finita, com matrizes infinitas . O caso especial das transformações de V em V é descrito no artigo do anel linear completo .

Veja também

• Mudança de base

Referências