Topologia do pedido (análise funcional) - Order topology (functional analysis)

Em matemática, especificamente em teoria ordem e análise funcional , a topologia da ordem de um espaço vectorial ordenada é a mais fina localmente convexa topológica de espaço vectorial (TVS) topologia em para que cada intervalo de ordem é delimitada, onde um intervalo de ordem em é um conjunto do formar onde e pertencer a${\ displaystyle (X, \ leq)}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle [a, b]: = \ left \ {z \ in X: a \ leq z {\ text {e}} z \ leq b \ right \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle X.}$

A topologia de ordem é uma topologia importante que é usada com frequência na teoria de espaços vetoriais topológicos ordenados porque a topologia se origina diretamente das propriedades algébricas e teóricas de ordem de, em vez de alguma topologia que começa tendo. Isso permite estabelecer conexões íntimas entre esta topologia e as propriedades algébricas e teóricas de ordem de. Para muitos espaços vetoriais topológicos ordenados que ocorrem na análise, suas topologias são idênticas à topologia de ordem. ${\ displaystyle (X, \ leq),}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ leq).}$

Definições

A família de todas as topologias localmente convexas nas quais cada intervalo de ordem é limitado não está vazia (uma vez que contém a topologia mais grosseira possível em ) e a topologia de ordem é o limite superior desta família. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Um subconjunto de é uma vizinhança da origem na topologia de ordem se e somente se for convexo e absorver todos os intervalos de ordem em A vizinhança da origem na topologia de ordem é necessariamente um conjunto absorvente porque para todos${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle [x, x]: = \ {x \}}$${\ displaystyle x \ in X.}$

Para cada deixar e dotar com sua topologia de ordem (o que o torna um espaço normalizado). O conjunto de todos é direcionado à inclusão e, se então, a inclusão natural de em é contínua. Se é um regularmente ordenado de espaço vectorial sobre os reais e se é qualquer subconjunto do cone positiva de que é Cofiñal em (por exemplo, poderia ser ), em seguida, com a sua topologia fim é o limite indutivo de (onde os mapas de ligação são as inclusões naturais) . ${\ displaystyle a \ geq 0,}$${\ displaystyle X_ {a} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} n [-a, a]}$${\ displaystyle X_ {a}}$${\ displaystyle X_ {a}}$${\ displaystyle X_ {a} \ subseteq X_ {b}}$${\ displaystyle X_ {a}}$${\ displaystyle X_ {b}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ left \ {X_ {a}: a \ geq 0 \ right \}}$

A estrutura de rede pode compensar em parte por qualquer falta de uma unidade de pedido:

Em particular, se for uma rede de Fréchet ordenada sobre os números reais, então a topologia ordenada será ativada se e somente se o cone positivo de for um cone normal em${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ tau).}$

Se for uma rede vetorial regularmente ordenada, então a topologia ordenada é a melhor topologia TVS localmente convexa na transformação em uma rede vetorial localmente convexa . Se, além disso, a ordem está completa, então com a topologia de ordem é um espaço em barril e cada decomposição de banda é uma soma direta topológica para esta topologia. Em particular, se a ordem de uma rede vetorial é regular, então a topologia da ordem é gerada pela família de todos os seminormas da rede em${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Propriedades

Em todo, será um espaço vetorial ordenado e denotará a topologia de ordem em${\ displaystyle (X, \ leq)}$${\ displaystyle \ tau _ {\ leq}}$${\ displaystyle X.}$

• O dual de é o dual vinculado à ordem de${\ displaystyle \ left (X, \ tau _ {\ leq} \ right)}$ ${\ displaystyle X_ {b}}$${\ displaystyle X.}$
• Se separa pontos em (como se for regular), então é um TVS localmente convexo bornológico .${\ displaystyle X_ {b}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ leq)}$${\ displaystyle \ left (X, \ tau _ {\ leq} \ right)}$
• Cada operador linear positivo entre dois espaços vetoriais ordenados é contínuo para as respectivas topologias de ordem.
• Cada unidade de pedido de um TVS pedido está dentro do cone positivo para a topologia do pedido.
• Se a ordem de um espaço vetorial ordenado é uma ordem regular e se cada sequência positiva do tipo in é somada em ordem , então dotado de sua topologia de ordem é um espaço em barril .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Se a ordem de um espaço vetorial ordenado é uma ordem regular e se para todos e se mantém, o cone positivo de é um cone normal em quando é dotado da topologia de ordem. Em particular, o espaço dual contínuo de com a topologia de ordem será a ordem dual ⁺ .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle y \ geq 0}$ ${\ displaystyle [0, x] + [0, y] = [0, x + y]}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$
• Se é um espaço vetorial ordenado arquimediano sobre os números reais tendo uma unidade de pedido e deixe denotar a topologia de pedido em Então é um TVS ordenado que é normalizado , é a topologia TVS localmente convexa mais fina em tal que o cone positivo é normal, e o seguinte são equivalentes:${\ displaystyle (X, \ leq)}$${\ displaystyle \ tau _ {\ leq}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle \ left (X, \ tau _ {\ leq} \ right)}$${\ displaystyle \ tau _ {\ leq}}$${\ displaystyle X}$

1. ${\ displaystyle \ left (X, \ tau _ {\ leq} \ right)}$ está completo.
2. Cada sequência positiva do tipo${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$ in é somada em ordem .${\ displaystyle X}$

• Em particular, se é um espaço vetorial ordenado arquimediano com uma unidade de ordem, então a ordem é uma ordem regular e${\ displaystyle (X, \ leq)}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle X_ {b} = X ^ {+}.}$
• Se for um espaço de Banach e um espaço vetorial ordenado com uma unidade de ordem, então a topologia de 'é idêntica à topologia de ordem se e somente se o cone positivo de for um cone normal em${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Um homomorfismo de rede vetorial de para é um homomorfismo topológico quando e recebe suas respectivas topologias de ordem.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Relação com subespaços, quocientes e produtos

Se for um subespaço de vetor sólido de uma rede vetorial, então a topologia de ordem de é o quociente da topologia de ordem em${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X / M}$${\ displaystyle X.}$

Exemplos

A topologia de ordem de um produto finito de espaços vetoriais ordenados (este produto tendo sua ordem canônica) é idêntica à topologia de produto do produto topológico dos espaços vetoriais ordenados constituintes (quando cada um recebe sua topologia de ordem).

Veja também

• Espaço vetorial topológico ordenado
• Espaço vetorial ordenado
• Estrutura vetorial

Referências

Bibliografia

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .