Espaço vetorial topológico localmente convexo - Locally convex topological vector space

Na análise funcional e áreas relacionadas da matemática , os espaços vetoriais topológicos localmente convexos ( LCTVS ) ou espaços convexos localmente são exemplos de espaços vetoriais topológicos (TVS) que generalizam os espaços normados . Eles podem ser definidos como espaços vetoriais topológicos cuja topologia é gerada por translações de conjuntos balanceados , absorventes e convexos . Alternativamente, eles podem ser definidos como um espaço vetorial com uma família de seminormes , e uma topologia pode ser definida em termos dessa família. Embora, em geral, tais espaços não sejam necessariamente normatáveis , a existência de uma base local convexa para o vetor zero é forte o suficiente para o teorema de Hahn-Banach se manter, produzindo uma teoria suficientemente rica de funcionais lineares contínuos .

Os espaços Fréchet são espaços localmente convexos que são completamente metrizáveis (com opção de métrica completa). Eles são generalizações de espaços de Banach , que são espaços vetoriais completos em relação a uma métrica gerada por uma norma .

História

Topologias metrizáveis ​​em espaços vetoriais têm sido estudadas desde sua introdução na tese de doutorado de Maurice Fréchet de 1902, Sur quelques points du calcul fonctionnel (em que a noção de uma métrica foi introduzida pela primeira vez). Depois que a noção de um espaço topológico geral foi definida por Felix Hausdorff em 1914, embora topologias localmente convexas fossem implicitamente usadas por alguns matemáticos, até 1934 apenas John von Neumann pareceria ter definido explicitamente a topologia fraca em espaços de Hilbert e topologia de operador forte em operadores em espaços de Hilbert. Finalmente, em 1935, von Neumann introduziu a definição geral de um espaço localmente convexo (chamado por ele de espaço convexo ).

Um exemplo notável de um resultado que teve que esperar pelo desenvolvimento e disseminação de espaços gerais localmente convexos (entre outras noções e resultados, como redes , a topologia do produto e o teorema de Tychonoff ) para ser provado em sua generalidade completa, é o Banach-Alaoglu teorema que Stefan Banach estabeleceu pela primeira vez em 1932 por um argumento diagonal elementar para o caso de espaços normados separáveis ​​(caso em que a bola unitária do dual é metrizável ).

Definição

Suponha que X seja um espaço vetorial sobre um subcampo dos números complexos (normalmente ele mesmo ou ). Um espaço localmente convexo é definido em termos de conjuntos convexos ou de forma equivalente em termos de seminormas. ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Definição via conjuntos convexos

Um subconjunto C em X é chamado

1. Convexa se para todos os x , y em C e , tx + (1 - t ) y está no C . Em outras palavras, C contém todos os segmentos de linha entre os pontos em C .${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$
2. Circulado se para todo x em C , λx está em C se | λ | = 1 . Se isso significa que C é igual ao seu reflexo através da origem. Pois isso significa que para qualquer x em C , C contém o círculo por meio de x , centralizado na origem, no subespaço complexo unidimensional gerado por x .${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {C},}$
3. Um cone (quando o subjacente campo é ordenada ) para se tudo x em C e 0 ≤ X ≤ 1, λx é em C .
4. Equilibrado se para todo x em C , λx está em C se | λ | ≤ 1 . Se isso significa que se x está em C , C contém o segmento de reta entre x e - x . Pois significa que para qualquer x em C , C contém o disco com x em sua fronteira, centrado na origem, no subespaço complexo unidimensional gerado por x . Equivalentemente, um conjunto equilibrado é um cone circulado.${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {C},}$
5. Absorvente ou absorvente se para cada x em X , existe tal que x está em tC para todos que satisfazem O conjunto C pode ser escalado por qualquer valor "grande" para absorver todos os pontos no espaço. ${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {K}}$${\ displaystyle | t |> r.}$
   • Em qualquer TVS, todos os bairros da origem são absorventes.
6. Absolutamente convexo ou um disco se for balanceado e convexo. Isso é equivalente a ser fechado sob combinações lineares cujos coeficientes somam absolutamente ; um tal conjunto é absorvente se estende por toda a X .${\ displaystyle \ leq 1}$

Um espaço vetorial topológico é denominado localmente convexo se a origem tiver uma base de vizinhança (ou seja, uma base local) consistindo de conjuntos convexos.

Na verdade, todo TVS localmente convexo tem uma base de vizinhança de origem que consiste em conjuntos absolutamente convexos (isto é, discos), onde essa base de vizinhança pode ainda ser escolhida para consistir inteiramente em conjuntos abertos ou inteiramente em conjuntos fechados. Cada TVS tem uma base de vizinhança na origem que consiste em conjuntos balanceados, mas apenas um TVS localmente convexo tem uma base de vizinhança na origem que consiste em conjuntos que são balanceados e convexos. É possível que um TVS tenha algumas vizinhanças da origem que são convexas, mas não localmente convexas.

Como a tradução é (por definição de "espaço vetorial topológico") contínua, todas as traduções são homeomorfismos , então cada base para as vizinhanças da origem pode ser traduzida para uma base para as vizinhanças de qualquer vetor dado.

Definição via seminorms

Um seminário em X é um mapa que ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$

1. p é positivo ou positivo semidefinido: ;${\ displaystyle p (x) \ geq 0}$
2. p é positivo homogêneo ou escalável positivo: para todo escalar So, em particular ,;${\ displaystyle p (sx) = | s | p (x)}$${\ displaystyle s.}$${\ displaystyle p (0) = 0}$
3. p é subaditivo. Ele satisfaz a desigualdade do triângulo:${\ displaystyle p (x + y) \ leq p (x) + p (y).}$

Se p satisfaz definição positiva, que afirma que se então , então p é uma norma . Embora em geral os seminários não precisem ser normas, existe um análogo desse critério para famílias de seminários, separação, definidos abaixo. ${\ displaystyle p (x) = 0}$${\ displaystyle x = 0}$

Definição : Se X é um espaço vetorial e é uma família de seminormes em X, então um subconjunto de é chamado de base de seminormas, pois se para todos existe um e um real tal que${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle p \ in {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle q \ in {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle p \ leq rq.}$

Definição (segunda versão): Uma localmente espaço convexo é definido como sendo um vector de espaço X , juntamente com uma família de seminorms em X .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Topologia Seminorm

Suponha que X seja um espaço vetorial sobre onde estão os números reais ou complexos e deixe (resp. Denotar a bola de raio aberta (resp. Fechada) em uma família de seminormas no espaço vetorial X induz uma topologia de espaço vetorial canônica em X , chamada de topologia inicial induzida pelos seminormas, tornando-a um espaço vetorial topológico (TVS). Por definição, é a topologia mais grosseira de X para a qual todos os mapas em são contínuos. ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle B_ {r}}$${\ displaystyle B _ {\ leq r}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Que as operações do espaço vetorial são contínuas nesta topologia segue das propriedades 2 e 3 acima. Pode ser facilmente visto que o espaço vetorial topológico resultante é "localmente convexo" no sentido da primeira definição dada acima porque cada um é absolutamente convexo e absorvente (e porque as últimas propriedades são preservadas por translações). ${\ displaystyle U_ {B, r} (0)}$

É possível para uma topologia localmente convexo em um espaço X ser induzida por uma família de normas mas para X para não ser normable (isto é, de ter sua topologia ser induzida por uma única norma).

Base e sub-base

Suponha que é uma família de seminorms em X que induz uma localmente convexo topologia τ em X . Um subbasis na origem é dada por todos os conjuntos da forma como p varia ao longo e r intervalos ao longo dos números reais positivos. Uma base na origem é dada pela coleção de todas as intersecções finitas possíveis de tais conjuntos de sub-bases. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle p ^ {- 1} \ left (B _ {<r} \ right) = \ left \ {x \ in X: p (x) <r \ right \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Lembre-se de que a topologia de um TVS é invariante à translação, o que significa que se S for qualquer subconjunto de X contendo a origem, então para qualquer S é uma vizinhança de 0 se e somente se for uma vizinhança de x ; portanto, é suficiente definir a topologia na origem. Uma base de vizinhanças de y para esta topologia é obtida da seguinte maneira: para cada subconjunto finito F de e cada let ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle x + S}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle r> 0,}$

${\ displaystyle U_ {F, r} (y): = \ left \ {x \ in X: p (xy) <r \ {\ text {for all}} p \ in F \ right \}.}$

Bases de seminormes e famílias saturadas

Se X é um espaço localmente convexo e se é uma coleção de seminorms contínuas em X , então é chamado de base da seminorms contínuas se é uma base de seminorms para a recolha de todos os seminorms contínuas em X . Explicitamente, isso significa que para todos os seminormas contínuos p em X , existe um e um real tal que${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle q \ in {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle p \ leq rq.}$

Se for uma base de seminormas contínuas para um TVS X localmente convexo, então a família de todos os conjuntos da forma conforme q varia e r varia sobre os números reais positivos, é uma base de vizinhanças da origem em X (não apenas uma sub-base , portanto, não há necessidade de fazer interseções finitas de tais conjuntos). ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ left \ {x \ in X: q \ left (x \ right) <r \ right \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Uma família de seminormes em um espaço vetorial X é chamada de saturada se, para qualquer p e q em , a seminormidade definida por pertence a . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle x \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Se é uma família saturada de seminorms contínuas que induz a topologia em X , em seguida, o conjunto de todos os conjuntos da forma como p varia ao longo e r gamas mais de todos os números reais positivos, forma uma base de vizinhança na origem consistindo de conjuntos abertos convexas; Isso forma uma base na origem em vez de meramente uma sub-base, de modo que, em particular, não há necessidade de fazer interseções finitas de tais conjuntos. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ {x \ in X: p (x) <r \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Base de normas

O seguinte teorema implica que se X é um espaço localmente convexo, então a topologia de X pode ser definida por uma família de normas contínuas em X (uma norma é uma seminorma onde implica ) se e somente se houver pelo menos uma norma contínua em X . Isso ocorre porque a soma de uma norma e uma seminorma é uma norma, então se um espaço localmente convexo é definido por alguma família de seminormas (cada uma é necessariamente contínua), então a família de normas (também contínuas) obtida pela adição de alguns dados contínuos norma para cada elemento, será necessariamente uma família de normas que define esta mesma topologia localmente convexa. Se existe uma norma contínua em um espaço vetorial topológico X, então X é necessariamente Hausdorff, mas o inverso não é em geral verdadeiro (nem mesmo para espaços localmente convexos ou espaços de Fréchet ). ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s (x) = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} + n: = \ left \ {p + n: p \ in {\ mathcal {P}} \ right \}}$${\ displaystyle n}$

Redes

Suponha-se que a topologia de um espaço localmente convexa X é induzida por uma família de seminorms contínuas em X . Se e se é uma rede em X , então em X se e somente se para todos Além disso, se é Cauchy em X , então o é para todos${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ a x}$${\ displaystyle p \ in {\ mathcal {P}},}$ ${\ displaystyle p \ left (x _ {\ bullet} -x \ right) = \ left (p \ left (x_ {i} \ right) -x \ right) _ {i \ in I}.}$${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$${\ displaystyle p \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ left (p \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle p \ in {\ mathcal {P}}.}$

Equivalência de definições

Embora a definição em termos de uma base de vizinhança forneça uma imagem geométrica melhor, a definição em termos de seminormes é mais fácil de trabalhar na prática. A equivalência das duas definições decorre de uma construção conhecida como funcional de Minkowski ou medidor de Minkowski. A principal característica do seminorms que garante a convexidade de sua ε - bolas é a desigualdade do triângulo .

Para um conjunto absorvente C tal que se x está em C , então tx está em C sempre que , defina o funcional de Minkowski de C como sendo ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$

${\ displaystyle \ mu _ {C} (x) = \ inf \ {\ lambda> 0: x \ in \ lambda C \}.}$

Desta definição segue-se que é uma seminorma se C for balanceado e convexo (também é absorvente por suposição). Por outro lado, dada uma família de seminários, os conjuntos ${\ displaystyle \ mu _ {C}}$

${\ displaystyle \ left \ {x: p _ {\ alpha _ {1}} (x) <\ varepsilon _ {1}, \ ldots, p _ {\ alpha _ {n}} (x) <\ varepsilon _ {n }\direito\}}$

formam uma base de conjuntos balanceados absorventes convexos.

Maneiras de definir uma topologia localmente convexa

Outras definições

• Uma família de seminormes é chamada de total ou separada ou diz- se que separa pontos se sempre que for válido para cada α, então x for necessariamente 0 . Um espaço localmente convexo é Hausdorff se, e somente se , tiver uma família separada de seminormes. Muitos autores usam o critério de Hausdorff na definição.${\ displaystyle \ left (p _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha}}$${\ displaystyle p _ {\ alpha} (x) = 0}$
• Um pseudométrico é uma generalização de uma métrica que não satisfaz a condição de que somente quando Um espaço localmente convexo é pseudometrizável, o que significa que sua topologia surge de um pseudométrico, se e somente se ele tiver uma família contável de seminormas. Na verdade, uma indução pseudométrica da mesma topologia é então dada por${\ displaystyle d (x, y) = 0}$${\ displaystyle x = y.}$
  $${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {p_ {n} (xy)} {1+ p_ {n} (xy)}}}$$

  
  (onde 1/2 ⁿ pode ser substituído por qualquer sequência somativa positiva ). Este pseudométrico é invariante à translação, mas não homogêneo, o que significa e, portanto, não define uma (pseudo) norma. A pseudométrica é uma métrica honesta se e somente se a família de seminormes for separada, pois este é o caso se e somente se o espaço for de Hausdorff. Além disso, se o espaço estiver completo, o espaço é denominado espaço Fréchet .${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle d (kx, ky) \ neq | k | d (x, y),}$
• Como acontece com qualquer espaço vetorial topológico, um espaço localmente convexo também é um espaço uniforme . Assim, pode-se falar de continuidade uniforme , convergência uniforme , e sequências de Cauchy .
• Uma rede de Cauchy em um espaço localmente convexo é uma rede { x _κ } _κ tal que para cada ε > 0 e cada seminorm p _α , existe um κ tal que para todo λ , μ > κ , p _α ( x _λ - x _μ ) < ε . Em outras palavras, a rede deve ser Cauchy em todos os seminários simultaneamente. A definição de completude é dada aqui em termos de redes em vez de sequências mais familiares porque, ao contrário dos espaços de Fréchet que são metrizáveis, os espaços gerais podem ser definidos por uma família incontável de pseudometria. As sequências, que são contáveis ​​por definição, não podem ser suficientes para caracterizar a convergência em tais espaços. Um espaço localmente convexo é completo se e somente se todas as redes de Cauchy convergem.
• Uma família de seminormes torna-se um conjunto pré - ordenado sob a relação p _α ≤ p _β se e somente se existe um M > 0 tal que para todo x , p _α ( x ) ≤ Mp _β ( x ) . Diz-se que é uma família dirigida de seminormes se a família é um conjunto dirigido com adição como junção , ou seja, se para todo α e β existe um γ tal que p _α + p _β ≤ p _γ . Cada família de seminormes tem uma família dirigida equivalente, ou seja, uma que define a mesma topologia. De fato, dada uma família { p _α } _{α ∈ I} , seja Φ o conjunto de subconjuntos finitos de I , então para cada F em Φ , defina
  $${\ displaystyle q_ {F} = \ sum _ {\ alpha \ in F} p _ {\ alpha}.}$$

  
  Pode-se verificar que { q _F } _{F ∈ Φ} é uma família dirigida equivalente.
• Se a topologia do espaço for induzida a partir de uma única seminorma, então o espaço é seminormável . Qualquer espaço localmente convexo com uma família finita de seminormes é seminormável. Além disso, se o espaço for Hausdorff (a família é separada), então o espaço é normatável, com a norma dada pela soma dos seminormas. Em termos de conjuntos abertos, um espaço vetorial topológico localmente convexo é seminormable se e somente se 0 tiver uma vizinhança limitada .

Condições suficientes

Propriedade de extensão Hahn-Banach

Seja X um TVS. Dizer que um vector subespaço M de X tem a propriedade de extensão se qualquer funcional linear contínuo em H pode ser estendido para uma funcional linear contínua no X . Digamos que X tenha a propriedade de extensão Hahn-Banach ( HBEP ) se todo subespaço vetorial de X tiver a propriedade de extensão.

O teorema de Hahn-Banach garante que todo espaço localmente convexo de Hausdorff possui o HBEP. Para TVSs metrizáveis ​​completos, há um inverso:

Se um espaço vetorial X tem dimensão incontável e se o dotamos da melhor topologia vetorial, então este é um TVS com o HBEP que não é localmente convexo ou metrizável.

Propriedades

Durante todo, é uma família de seminorms contínuas que geram a topologia de X . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Propriedades topológicas

• Suponha que Y seja um TVS (não necessariamente localmente convexo ou Hausdorff) sobre os números reais ou complexos. Em seguida, os subconjuntos convexas abertas de Y são exactamente aqueles que são da forma para algumas e alguns contínua positiva funcional sublinear p em Y .${\ displaystyle z + \ {y \ in Y: p (y) <1 \} = \ {y \ in Y: p (yz) <1 \}}$${\ displaystyle z \ in Y}$
• Se e então se e somente se para toda e qualquer coleção finita , existe alguma tal que${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} S}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ in {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (xs) <r.}$
• O fechamento de em X é igual a${\ displaystyle \ {0 \}}$${\ displaystyle \ bigcap _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {- 1} (0).}$
• Cada TVS localmente convexo de Hausdorff é homeomórfico a um subespaço de um produto dos espaços de Banach .

Propriedades topológicas de subconjuntos convexos

• O interior e o fechamento de um subconjunto convexo de um TVS são novamente convexos.
• A soma de Minkowski de dois conjuntos convexos é convexa; além disso, o múltiplo escalar de um conjunto convexo é novamente convexo.
• Se C é um conjunto convexo com interior não vazio, então o fechamento de C é igual ao fechamento do interior de C ; Além disso, o interior do C é igual ao interior do fecho de C .
  • Portanto, se um conjunto convexo C tem um interior não vazio, então C é um conjunto fechado (resp. Aberto) se e somente se for um conjunto fechado regular (resp. Aberto regular).
• Se C é um convexo subconjunto de um TVS X (não necessariamente Hausdorff), x pertence ao interior de S , e y pertence ao encerramento de S , em seguida, o segmento de linha aberto conjunta x e y (isto é, ) pertence à interior de S .${\ displaystyle \ {tx + (1-t) y: 0 <t <1 \}}$
• Se X é um espaço localmente convexa (não necessariamente Hausdorff), M é um subespaço fechado vector de X , V é um bairro convexa de 0 em H , e se é um vector não em V , então existe uma vizinhança convexa L de 0 em X tal que e${\ displaystyle z \ in X}$${\ displaystyle V = U \ cap M}$${\ displaystyle z \ not \ in U.}$
• O fechamento de um subconjunto convexo de um TVS X localmente convexo de Hausdorff é o mesmo para todas as topologias TVS de Hausdorff localmente convexas em X que são compatíveis com a dualidade entre X e seu espaço dual contínuo.
• Em um espaço localmente convexo, o casco convexo e o casco em disco de um conjunto totalmente limitado são totalmente limitados.
• Em um espaço localmente convexo completo, o casco convexo e o casco com disco de um conjunto compacto são compactos.
  • Mais geralmente, se K é um subconjunto compacto de um espaço localmente convexo, então o casco convexo (resp. O casco com disco ) é compacto se e somente se estiver completo.${\ displaystyle \ operatorname {co} K}$${\ displaystyle \ operatorname {cobal} K}$
• Em um espaço localmente convexo, os cascos convexos de conjuntos limitados são limitados. Isso não é verdade para TVSs em geral.
• Em um espaço Fréchet , o casco convexo fechado de um conjunto compacto é compacto.
• Em um espaço localmente convexo, qualquer combinação linear de conjuntos totalmente limitados é totalmente limitada.

Propriedades de cascos convexos

Para qualquer subconjunto S de um TVS X , o casco convexo (resp. Casco convexo fechado , casco balanceado , resp. Casco balanceado convexo ) de S , denotado por (resp. , ), É o menor convexo (resp. Convexo fechado, balanceado , convexa em relação) subconjunto de X contendo S . ${\ displaystyle \ operatorname {co} S}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} S,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {bal} S}$${\ displaystyle \ operatorname {cobal} S}$

• Em um TVS localmente convexo quase completo , o fechamento do casco convexo de um subconjunto compacto é novamente compacto.
• Em um TVS localmente convexo de Hausdorff, o casco convexo de um conjunto pré - compacto é novamente pré-compactado. Consequentemente, em um TVS de Hausdorff localmente convexo completo , o casco convexo fechado de um subconjunto compacto é novamente compacto.
• Em qualquer TVS, o casco convexo de uma união finita de conjuntos convexos compactos é compacto (e convexo).
  • Isso implica que em qualquer TVS de Hausdorff, o casco convexo de uma união finita de conjuntos convexos compactos é fechado (além de ser compacto e convexo); em particular, o casco convexo de tal união é igual ao casco convexo fechado dessa união.
  • Em geral, o casco convexo fechado de um conjunto compacto não é necessariamente compacto.
  • Em qualquer TVS não Hausdorff, existem subconjuntos que são compactos (e, portanto, completos), mas não fechados.
• O teorema bipolar afirma que o bipolar (isto é, o polar do polar) de um subconjunto de um TVS de Hausdorff localmente convexo é igual ao casco balanceado convexo fechado desse conjunto.
• O casco balanceado de um conjunto convexo não é necessariamente convexo.
• Se C e D são subconjuntos convexos de um espaço vetorial topológico (TVS) X e se , então existe e um número real r satisfazendo tal que${\ displaystyle \ operatorname {co} \ left (C \ cup D \ right)}$${\ displaystyle c \ in C,}$ ${\ displaystyle d \ in D,}$${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq 1}$${\ displaystyle x = rc + (1-r) d.}$
• Se M é um subespaço vetorial de um TVS X , C um subconjunto convexo de M e D um subconjunto convexo de X tal que , então .${\ displaystyle D \ cap M \ subseteq C}$${\ displaystyle C = M \ cap \ operatorname {co} \ left (C \ cup D \ right)}$
• Lembre-se de que o menor subconjunto balanceado de X contendo um conjunto S é chamado de casco balanceado de S e é denotado por Para qualquer subconjunto S de X , o casco balanceado convexo de S , denotado por , é o menor subconjunto de X contendo S que é convexo e equilibrado. O casco balanceado convexo de S é igual ao casco convexo do casco balanceado de S (ie ), mas o casco balanceado convexo de S não é necessariamente igual ao casco balanceado do casco convexo de S (ie não é necessariamente igual a )${\ displaystyle \ operatorname {bal} S.}$${\ displaystyle \ operatorname {cobal} S}$${\ displaystyle \ operatorname {cobal} S = \ operatorname {co} \ left (\ operatorname {bal} S \ right)}$${\ displaystyle \ operatorname {cobal} S}$${\ displaystyle \ operatorname {bal} \ left (\ operatorname {co} S \ right)}$
• Se A e B são subconjuntos de um TVS X e se r é um escalar , então , e Além disso, se for compacto, então${\ displaystyle \ operatorname {co} \ left (A \ cup B \ right) = \ operatorname {co} (A) \ cup \ operatorname {co} (B)}$${\ displaystyle \ operatorname {co} (rA) = r \ operatorname {co} A}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (rA) = r {\ overline {\ operatorname {co}}} (A).}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (A)}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (A + B) = {\ overline {\ operatorname {co}}} (A) + {\ overline {\ operatorname {co}}} (B)}$
• Se A e B são subconjuntos de um TVS X cujos cascos convexos fechados são compactos, então${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (A \ cup B) = {\ overline {\ operatorname {co}}} \ left ({\ overline {\ operatorname {co}}} (A) \ xícara {\ overline {\ operatorname {co}}} (B) \ direita).}$
• Se S é um conjunto convexo em um complexo de espaço vectorial X e existe alguma de tal modo que , em seguida, para tudo real de tal modo que , em particular, para todas as escalares um tal que${\ displaystyle z \ in X}$${\ displaystyle z, iz, -z, -iz \ in S,}$${\ displaystyle rz + siz \ in S}$${\ displaystyle r, s}$${\ displaystyle | r | + | s | \ leq 1.}$${\ displaystyle az \ in S}$${\ displaystyle | a | ^ {2} \ leq {\ frac {1} {2}}.}$

Exemplos e não exemplos

Topologia local convexa mais fina e mais grosseira

Topologia de vetor mais grosseira

Qualquer espaço vetorial X dotado de topologia trivial (ou seja, a topologia indiscreta) é um TVS localmente convexo (e é claro, é a topologia mais grosseira). Esta topologia é Hausdorff se e somente A topologia indiscreta torna qualquer espaço vetorial em um TVS localmente convexo pseudometrizável completo . ${\ displaystyle X = \ {0 \}.}$

Em contraste, a topologia discreta forma uma topologia vetorial em X se e somente Isso decorre do fato de que todo espaço vetorial topológico é um espaço conectado . ${\ displaystyle X = \ {0 \}.}$

Topologia localmente convexa mais fina

Se X é um espaço real ou complexo vector e se é o conjunto de todos os seminorms em X , em seguida, o local topologia convexa TVS, denotado por τ _lc , que induz em X é chamado o melhor topologia localmente convexo em X . Esta topologia pode também ser descrito como o TVS-topologia em X tendo como base a 0 vizinhança do conjunto de todos os absorventes discos em X . Qualquer topologia TVS localmente convexa em X é necessariamente um subconjunto de 𝜏 _lc . ( X , 𝜏 _lc ) é Hausdorff . Cada mapa linear de ( X , 𝜏 _lc ) em outro TVS localmente convexo é necessariamente contínuo. Em particular, todo funcional linear em ( X , 𝜏 _lc ) é contínuo e todo subespaço vetorial de X é fechado em ( X , 𝜏 _lc ) . portanto, se X tem dimensão infinita, então ( X , 𝜏 _lc ) não é pseudometrizável (e, portanto, não é metrizável). Além disso, 𝜏 _lc é a única topologia localmente convexa de Hausdorff em X com a propriedade de que qualquer mapa linear dela em qualquer espaço localmente convexo de Hausdorff é contínuo. O espaço ( X , 𝜏 _lc ) é um espaço bornológico . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Exemplos de espaços localmente convexos

Todo espaço normatizado é um espaço localmente convexo de Hausdorff, e grande parte da teoria dos espaços localmente convexos generaliza partes da teoria dos espaços normados. A família de seminários pode ser considerada a única norma. Todo espaço de Banach é um espaço completo de Hausdorff localmente convexo, em particular, os espaços L ^p com p ≥ 1 são localmente convexos.

De maneira mais geral, cada espaço Fréchet é localmente convexo. Um espaço Fréchet pode ser definido como um espaço localmente convexo completo com uma família de seminários contável separada.

O espaço de sequências reais valorizadas com a família de seminários dada por ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$

${\ displaystyle p_ {i} \ left (\ left \ {x_ {n} \ right \} _ {n} \ right) = \ left | x_ {i} \ right |, \ qquad i \ in \ mathbf {N }}$

é localmente convexo. A família contável de seminormes é completa e separável, por isso este é um espaço Fréchet, o que não é normalizado. Esta também é a topologia limite dos espaços , embutidos na forma natural, ao completar sequências finitas com infinitos . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$${\ displaystyle 0}$

Dado qualquer espaço vetorial X e uma coleção F de funcionais lineares nele, X pode ser transformado em um espaço vetorial topológico localmente convexo, dando-lhe a topologia mais fraca, tornando todos os funcionais lineares em F contínuos. Isto é conhecido como a topologia fraco ou a topologia inicial determinado por F . A coleção F pode ser o dual algébrico de X ou qualquer outra coleção. A família de seminorms neste caso é dada por para todo f em F . ${\ displaystyle p_ {f} (x) = | f (x) |}$

Os espaços de funções diferenciáveis ​​fornecem outros exemplos não normaíveis. Considere o espaço de funções suaves de modo que , onde a e b são multi-índices . A família de seminormas definida por é separada, e contável, e o espaço é completo, então este espaço metrizável é um espaço Fréchet. É conhecido como espaço de Schwartz , ou espaço de funções de diminuição rápida, e seu espaço dual é o espaço de distribuições temperadas . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ sup _ {x} \ left | x ^ {a} D_ {b} f \ right | <\ infty}$${\ displaystyle p_ {a, b} (f) = \ sup _ {x} \ left | x ^ {a} D_ {b} f (x) \ right |}$

Um espaço de função importante na análise funcional é o espaço D ( U ) de funções suaves com suporte compacto em. Uma construção mais detalhada é necessária para a topologia deste espaço porque o espaço C${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}.}$^∞
₀( U ) não está completo na norma uniforme. A topologia em D ( U ) é definida como segue: para qualquer conjunto compacto fixo K ⊂ U , o espaço das funções f ∈ C${\ displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (K)}$^∞
₀( U ) com supp (  f  ) ⊂ K é um espaço de Fréchet com família contável de seminormes || f || _m = sup _k≤m sup _x | D ^k f  ( x ) |    (essas são, na verdade, normas, e a conclusão do espaço com a norma ||  ⋅  || _m é um espaço de Banach D ^m ( K ) ). Dada qualquer coleção { K _λ } _λ de conjuntos compactos, dirigida pela inclusão e tal que sua união seja igual a U , o C${\ displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (K)}$^∞
₀( K _λ ) formam um sistema direto , e D ( U ) é definido como o limite desse sistema. Esse limite de espaços Fréchet é conhecido como um espaço LF . Mais concretamente, D ( U ) é a união de todos os C^∞
₀( K _λ ) com a topologia localmente convexa mais forte, o que torna cada mapa de inclusão C^∞
₀( K _λ ) ↪ D ( U ) contínuo. Este espaço é localmente convexo e completo. No entanto, não é metrizável e, portanto, não é um espaço Fréchet. O espaço dual de é o espaço de distribuições em${\ displaystyle D \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Mais abstratamente, dado um espaço topológico X , o espaço de funções contínuas (não necessariamente limitadas) em X pode receber a topologia de convergência uniforme em conjuntos compactos. Esta topologia é definida por semi-normas φ _K (  f  ) = max {| f  ( x ) | : x ∈ K } (como K varia ao longo do conjunto direcionado de todos os subconjuntos compactos de X ). Quando X é localmente compacto (por exemplo, um conjunto aberto em ), o teorema de Stone-Weierstrass se aplica - no caso de funções de valor real, qualquer subálgebra de que separa pontos e contém as funções constantes (por exemplo, a subálgebra de polinômios) é densa . ${\ displaystyle C (X)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle C (X)}$

Exemplos de espaços sem convexidade local

Muitos espaços vetoriais topológicos são localmente convexos. Exemplos de espaços sem convexidade local incluem o seguinte:

• Os espaços L ^p ([0, 1]) para estão equipados com a norma F${\ displaystyle 0 <p <1}$
  $${\ displaystyle \ | f \ | _ {p} ^ {p} = \ int _ {0} ^ {1} | f (x) | ^ {p} \, dx.}$$

  
  Eles não são localmente convexos, uma vez que a única vizinhança convexa de zero é todo o espaço. Mais geralmente, os espaços L ^p ( μ ) com uma medida finita e atômica μ e não são localmente convexos.${\ displaystyle 0 <p <1}$
• O espaço de funções mensuráveis no intervalo de unidade (onde identificamos duas funções que são iguais em quase todos os lugares ) tem uma topologia de espaço vetorial definida pela métrica invariante de translação: (que induz a convergência em medida de funções mensuráveis; para variáveis ​​aleatórias , convergência em medida é convergência em probabilidade )${\ displaystyle [0,1]}$
  $${\ displaystyle d (f, g) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {| f (x) -g (x) |} {1+ | f (x) -g (x) | }} \, dx.}$$

  
  Este espaço é frequentemente denotado ${\ displaystyle L_ {0}.}$

Ambos os exemplos têm a propriedade de que qualquer mapa linear contínuo para os números reais é 0 . Em particular, seu espaço dual é trivial, ou seja, contém apenas o funcional zero.

• O espaço sequência ℓ ^p ( N ) , e não é localmente convexa.${\ displaystyle 0 <p <1}$

Mapeamentos contínuos

Como os espaços localmente convexos são espaços topológicos, bem como espaços vetoriais, as funções naturais a serem consideradas entre dois espaços localmente convexos são mapas lineares contínuos . Usando os seminorms, um critério necessário e suficiente para a continuidade de um mapa linear pode ser dado que se assemelha muito à condição de limite mais familiar encontrada para espaços de Banach.

Dados os espaços localmente convexos X e Y com famílias de seminormas { p _α } _α e { q _β } _β respectivamente, um mapa linear é contínuo se e somente se para cada β existir α ₁ , α ₂ ,…, α _n e M > 0 tal que para todo v em X${\ displaystyle T: X \ a Y}$

${\ displaystyle q _ {\ beta} (Tv) \ leq M \ left (p _ {\ alpha _ {1}} (v) + \ dotsb + p _ {\ alpha _ {n}} (v) \ right).}$

Em outras palavras, cada seminorma do intervalo de T é limitada acima por alguma soma finita de seminormes no domínio . Se a família { p _α } _α é uma família dirigida, e sempre pode ser escolhida para ser dirigida conforme explicado acima, então a fórmula se torna ainda mais simples e mais familiar:

${\ displaystyle q _ {\ beta} (Tv) \ leq Mp _ {\ alpha} (v).}$

A classe de todos os espaços vetoriais topológicos localmente convexos forma uma categoria com mapas lineares contínuos como morfismos .

Funcionais lineares

Se X é um espaço vetorial real ou complexo, f é um funcional linear em X e p é uma seminorma em X , então se e somente se Se f for um funcional linear não 0 em um espaço vetorial real X e se p for um seminário sobre X , então se e somente se${\ displaystyle | f | \ leq p}$${\ displaystyle f \ leq p.}$${\ displaystyle f \ leq p}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) \ cap \ left \ {x \ in X: p (x) <1 \ right \} = \ varnothing.}$

Mapas multilineares

Seja um inteiro, seja TVSs (não necessariamente localmente convexo), seja Y um TVS localmente convexo cuja topologia seja determinada por uma família de seminormas contínuas e seja um operador multilinear que é linear em cada uma de suas n coordenadas. Os seguintes são equivalentes: ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle M: ​​\ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ para Y}$

1. M é contínuo.
2. Para cada , existem seminários contínuos em respectivamente, de modo que para todos${\ displaystyle q \ in {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n},}$${\ displaystyle q (M (x)) \ leq p_ {1} \ left (x_ {1} \ right) \ cdots p_ {n} \ left (x_ {n} \ right)}$${\ displaystyle x = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ in \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}.}$
3. Para cada , existe alguma vizinhança de 0 in na qual é limitada.${\ displaystyle q \ in {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$${\ displaystyle q \ circ M}$

Veja também

• Conjunto convexo  - Na geometria, conjunto que cruza todas as linhas em um único segmento de linha
• Teorema de Kerin-Milman  - Ativado quando um espaço é igual ao casco convexo fechado de seus pontos extremos
• Forma linear  - Mapa linear de um espaço vetorial para seu campo de escalares
• Rede vetorial localmente convexa
• Minkowski funcional
• Seminorm
• Sublinear funcional
• Grupo topológico  - Grupo que é um espaço topológico com ação de grupo contínua
• Espaço vetorial topológico  - espaço vetorial com noção de proximidade
• Espaço vetorial  - estrutura algébrica básica da álgebra linear

Notas

Referências

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