Utilidade ordinal - Ordinal utility

Em economia , uma função de utilidade ordinal é uma função que representa as preferências de um agente em uma escala ordinal . A teoria da utilidade ordinal afirma que só faz sentido perguntar qual opção é melhor do que a outra, mas não faz sentido perguntar o quanto é melhor ou quão boa é. Toda a teoria da tomada de decisão do consumidor sob condições de certeza pode ser, e normalmente é, expressa em termos de utilidade ordinal.

Por exemplo, suponha que George nos diga que "Prefiro A a B e B a C". As preferências de George podem ser representadas por uma função u tal que:

${\ displaystyle u (A) = 9, u (B) = 8, u (C) = 1}$

Mas os críticos da utilidade cardinal afirmam que a única mensagem significativa dessa função é a ordem ; os números reais não têm sentido. Portanto, as preferências de George também podem ser representadas pela seguinte função v : ${\ displaystyle u (A)> u (B)> u (C)}$

${\ displaystyle v (A) = 9, v (B) = 2, v (C) = 1}$

As funções u e v são ordinally equivalente - eles representam preferências de George igualmente bem.

A utilidade ordinal contrasta com a teoria da utilidade cardinal : a última assume que as diferenças entre as preferências também são importantes. Em u, a diferença entre A e B é muito menor do que entre B e C, enquanto em v o oposto é verdadeiro. Assim, u e v são não cardinally equivalente.

O conceito de utilidade ordinal foi introduzido pela primeira vez por Pareto em 1906.

Notação

Suponha que o conjunto de todos os estados do mundo seja e um agente tenha uma relação de preferência sobre . É comum marcar a relação de preferência fraca por , de modo que se lê "o agente quer B pelo menos tanto quanto A". ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle A \ preceq B}$

O símbolo é usado como uma abreviatura para a relação de indiferença:, onde se lê "O agente é indiferente entre B e A". ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle A \ sim B \ iff (A \ preceq B \ land B \ preceq A)}$

O símbolo é usado como uma abreviatura para a relação de preferência forte:, que diz "O agente prefere estritamente B a A". ${\ displaystyle \ prec}$${\ displaystyle A \ prec B \ iff (A \ preceq B \ land B \ not \ preceq A)}$

Diz-se que uma função representa a relação se: ${\ displaystyle u: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ preceq}$

${\ displaystyle A \ preceq B \ iff u (A) \ leq u (B)}$

Conceitos relacionados

Mapeamentos de curva de indiferença

Em vez de definir uma função numérica, a relação de preferência de um agente pode ser representada graficamente por curvas de indiferença. Isso é especialmente útil quando há dois tipos de bens, x e y . Então, cada curva de indiferença mostra um conjunto de pontos tais que, se e estiverem na mesma curva, então . ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ sim (x_ {2}, y_ {2})}$

Um exemplo de curva de indiferença é mostrado abaixo:

Cada curva de indiferença é um conjunto de pontos, cada um representando uma combinação de quantidades de dois bens ou serviços, cujas combinações o consumidor está igualmente satisfeito. Quanto mais longe uma curva está da origem, maior é o nível de utilidade.

A inclinação da curva (o negativo da taxa marginal de substituição de X por Y) em qualquer ponto mostra a taxa na qual o indivíduo está disposto a trocar o bem X pelo bem Y, mantendo o mesmo nível de utilidade. A curva é convexa à origem, conforme mostrado, assumindo que o consumidor tem uma taxa marginal de substituição decrescente. Pode ser mostrado que a análise do consumidor com curvas de indiferença (uma abordagem ordinal) dá os mesmos resultados que aquela baseada na teoria da utilidade cardinal - ou seja, os consumidores irão consumir no ponto onde a taxa marginal de substituição entre quaisquer dois bens é igual à razão do preços desses bens (o princípio equi-marginal).

Preferência revelada

A teoria da preferência revelada aborda o problema de como observar as relações de preferência ordinal no mundo real. O desafio da teoria da preferência revelada reside em parte em determinar quais pacotes de bens foram abandonados, com base no fato de serem menos apreciados, quando os indivíduos são observados escolhendo pacotes específicos de bens.

Condições necessárias para existência de função de utilidade ordinal

Algumas condições são necessárias para garantir a existência de uma função representativa: ${\ displaystyle \ preceq}$

• Transitividade : se e então . ${\ displaystyle A \ preceq B}$${\ displaystyle B \ preceq C}$${\ displaystyle A \ preceq C}$
• Completude: para todos os pacotes : um ou ou ambos. ${\ displaystyle A, B \ in X}$${\ displaystyle A \ preceq B}$${\ displaystyle B \ preceq A}$
  • Completude também implica reflexividade: para cada : . ${\ displaystyle A \ in X}$${\ displaystyle A \ preceq A}$

Quando essas condições são atendidas e o conjunto é finito, é fácil criar uma função que represente apenas atribuindo um número apropriado a cada elemento de , como exemplificado no parágrafo inicial. O mesmo é verdade quando X é infinito contável . Além disso, é possível construir indutivamente uma função de utilidade representativa cujos valores estão na faixa . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ prec}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (-1,1)}$

Quando é infinito, essas condições são insuficientes. Por exemplo, as preferências lexicográficas são transitivas e completas, mas não podem ser representadas por nenhuma função de utilidade. A condição adicional necessária é a continuidade . ${\ displaystyle X}$

Continuidade

Uma relação de preferência é chamada de contínua se, sempre que B é preferido a A, pequenos desvios de B ou A não inverterão a ordem entre eles. Formalmente, uma relação de preferência em um conjunto X é chamada contínua se satisfizer uma das seguintes condições equivalentes:

1. Para cada , o conjunto é topologicamente fechada em com a topologia de produto (esta definição requer para ser um espaço topológico ). ${\ displaystyle A \ in X}$${\ displaystyle \ {(A, B) | A \ preceq B \}}$${\ displaystyle X \ times X}$${\ displaystyle X}$
2. Para cada sequência , se para todos os i e e , então . ${\ displaystyle (A_ {i}, B_ {i})}$ ${\ displaystyle A_ {i} \ preceq B_ {i}}$${\ displaystyle A_ {i} \ para A}$${\ displaystyle B_ {i} \ a B}$${\ displaystyle A \ preceq B}$
3. Para cada um desses , existe uma bola ao redor e uma bola ao redor tal que, para cada na bola ao redor e cada na bola ao redor , (esta definição requer um espaço métrico ). ${\ displaystyle A, B \ in X}$${\ displaystyle A \ prec B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a \ prec b}$${\ displaystyle X}$

Se uma relação de preferência é representada por uma função de utilidade contínua, então é claramente contínua. Pelos teoremas de Debreu (1954) , o oposto também é verdadeiro:

Cada relação de preferência completa contínua pode ser representada por uma função de utilidade ordinal contínua.

Observe que as preferências lexicográficas não são contínuas. Por exemplo ,, mas em todas as bolas ao redor (5,1) há pontos com e esses pontos são inferiores a . Isso está de acordo com o fato, afirmado acima, de que essas preferências não podem ser representadas por uma função de utilidade. ${\ displaystyle (5,0) \ prec (5,1)}$${\ displaystyle x <5}$${\ displaystyle (5,0)}$

Singularidade

Para cada função de utilidade v , há uma relação de preferência única representada por v . No entanto, o oposto não é verdadeiro: uma relação de preferência pode ser representada por muitas funções de utilidade diferentes. As mesmas preferências podem ser expressas como qualquer função de utilidade que seja uma transformação monotonicamente crescente de v . Por exemplo, se

${\ displaystyle v (A) \ equiv f (v (A))}$

onde existe qualquer função monotonicamente crescente, então as funções v e v dão origem a mapeamentos de curvas de indiferença idênticos. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

Essa equivalência é descrita sucintamente da seguinte maneira:

Uma função de utilidade ordinal é exclusiva para aumentar a transformação monótona .

Em contraste, uma função de utilidade cardinal é única até aumentar a transformação afim . Cada transformação afim é monótona; portanto, se duas funções são cardinalmente equivalentes, também são ordinalmente equivalentes, mas não vice-versa.

Monotonicidade

Suponha, a partir de agora, que o conjunto é o conjunto de todos os vetores bidimensionais reais não negativos. Portanto, um elemento de é um par que representa as quantidades consumidas de dois produtos, por exemplo, maçãs e bananas. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x, y)}$

Então, sob certas circunstâncias, uma relação de preferência é representada por uma função de utilidade . ${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle v (x, y)}$

Suponha que a relação de preferência esteja aumentando monotonicamente , o que significa que "mais é sempre melhor":

${\ displaystyle x <x '\ implica (x, y) \ prec (x', y)}$

${\ displaystyle y <y '\ implica (x, y') \ prec (x, y ')}$

Então, ambas as derivadas parciais, se existirem, de v são positivas. Em resumo:

Se uma função de utilidade representa uma relação de preferência monotonicamente crescente, então a função de utilidade está aumentando monotonicamente.

Taxa marginal de substituição

Suponha que uma pessoa tenha um pacote e afirme que é indiferente entre esse pacote e o pacote . Isso significa que ele está disposto a fornecer unidades de x para obter unidades de y. Se esta relação é mantida como , dizemos que é a taxa marginal de substituição (MRS) entre x e y no ponto . ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle (x_ {0} - \ lambda \ cdot \ delta, y_ {0} + \ delta)}$${\ displaystyle \ lambda \ cdot \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta \ to 0}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

Esta definição do MRS é baseada apenas na relação de preferência ordinal - não depende de uma função de utilidade numérica. Se a relação de preferência é representada por uma função de utilidade e a função é diferenciável, então o MRS pode ser calculado a partir das derivadas dessa função:

${\ displaystyle MRS = {\ frac {v '_ {x}} {v' _ {y}}}.}$

Por exemplo, se a relação de preferência é representada por then . O MRS é o mesmo para a função . Isso não é uma coincidência, pois essas duas funções representam a mesma relação de preferência - cada uma é uma transformação monótona crescente da outra. ${\ displaystyle v (x, y) = x ^ {a} \ cdot y ^ {b}}$${\ displaystyle MRS = {\ frac {a \ cdot x ^ {a-1} \ cdot y ^ {b}} {b \ cdot y ^ {b-1} \ cdot x ^ {a}}} = {\ frac {ay} {bx}}}$${\ displaystyle v (x, y) = a \ cdot \ log {x} + b \ cdot \ log {y}}$

Em geral, o MRS pode ser diferente em pontos diferentes . Por exemplo, é possível que no MRS seja baixo porque a pessoa tem muito x e apenas um y , mas no ou o MRS é maior. Alguns casos especiais são descritos a seguir. ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle (9,1)}$${\ displaystyle (9,9)}$${\ displaystyle (1,1)}$

Linearidade

Quando o MRS de uma determinada relação de preferência independe do bundle, ou seja, o MRS é igual para todos , as curvas de indiferença são lineares e da forma: ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

${\ displaystyle x + \ lambda y = {\ text {const}},}$

e a relação de preferência pode ser representada por uma função linear:

${\ displaystyle v (x, y) = x + \ lambda y.}$

(Claro, a mesma relação pode ser representada por muitas outras funções não lineares, como ou , mas a função linear é a mais simples.) ${\ displaystyle {\ sqrt {x + \ lambda y}}}$${\ displaystyle (x + \ lambda y) ^ {2}}$

Quase-linearidade

Quando a MRS depende de mas não depende , a relação de preferência pode ser representada por uma função de utilidade quase - linear , da forma ${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle v (x, y) = x + \ gamma v_ {Y} (y)}$

onde está uma certa função monotonicamente crescente. Como o MRS é uma função , uma função possível pode ser calculada como uma integral de : ${\ displaystyle v_ {Y}}$${\ displaystyle \ lambda (y)}$${\ displaystyle v_ {Y}}$${\ displaystyle \ lambda (y)}$

${\ displaystyle v_ {Y} (y) = \ int _ {0} ^ {y} {\ lambda (y ') dy'}}$

Nesse caso, todas as curvas de indiferença são paralelas - são transferências horizontais umas das outras.

Aditividade com dois bens

Um tipo mais geral de função de utilidade é uma função aditiva :

${\ displaystyle v (x, y) = v_ {X} (x) + v_ {Y} (y)}$

Existem várias maneiras de verificar se as preferências fornecidas são representáveis ​​por uma função de utilidade aditiva.

Propriedade de cancelamento duplo

Se as preferências forem aditivas, um cálculo aritmético simples mostra que

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ successq (x_ {2}, y_ {2})}$ e

${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {3}) \ successq (x_ {3}, y_ {1})}$ implica

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {3}) \ successq (x_ {3}, y_ {2})}$

portanto, essa propriedade de "cancelamento duplo" é uma condição necessária para a aditividade.

Debreu (1960) mostrou que essa propriedade também é suficiente: ou seja, se uma relação de preferência satisfaz a propriedade de duplo cancelamento, ela pode ser representada por uma função de utilidade aditiva.

Propriedade de compensações correspondente

Se as preferências são representadas por uma função aditiva, um cálculo aritmético simples mostra que

${\ displaystyle MRS (x_ {2}, y_ {2}) = {\ frac {MRS (x_ {1}, y_ {2}) \ cdot MRS (x_ {2}, y_ {1})} {MRS ( x_ {1}, y_ {1})}}}$

portanto, essa propriedade de "compensações correspondentes" é uma condição necessária para a aditividade. Essa condição também é suficiente.

Aditividade com três ou mais bens

Quando há três ou mais mercadorias, a condição para a aditividade da função de utilidade é surpreendentemente mais simples do que para duas mercadorias. Este é um resultado do Teorema 3 de Debreu (1960) . A condição necessária para aditividade é a independência preferencial .

Diz-se que um subconjunto A de mercadorias é preferencialmente independente de um subconjunto B de mercadorias, se a relação de preferência no subconjunto A, dados valores constantes para o subconjunto B, é independente desses valores constantes. Por exemplo, suponha que existam três mercadorias: x y e z . O subconjunto { x , y } é preferencialmente independente do subconjunto { z }, se para todos : ${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z, z '}$

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z) \ preceq (x_ {2}, y_ {2}, z) \ iff (x_ {1}, y_ {1}, z ') \ preceq ( x_ {2}, y_ {2}, z ')}$ .

Nesse caso, podemos simplesmente dizer que:

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ preceq (x_ {2}, y_ {2})}$ para z constante .

A independência preferencial faz sentido no caso de bens independentes . Por exemplo, as preferências entre maços de maçãs e bananas são provavelmente independentes do número de sapatos e meias que um agente possui e vice-versa.

Pelo teorema de Debreu, se todos os subconjuntos de mercadorias são preferencialmente independentes de seus complementos, então a relação de preferência pode ser representada por uma função de valor aditiva. Aqui, fornecemos uma explicação intuitiva desse resultado, mostrando como essa função de valor aditivo pode ser construída. A prova pressupõe três mercadorias: x , y , z . Mostramos como definir três pontos para cada uma das três funções de valor : o ponto 0, o ponto 1 e o ponto 2. Outros pontos podem ser calculados de maneira semelhante, e então a continuidade pode ser usada para concluir que as funções estão bem definidas em todo o seu intervalo. ${\ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$

0 ponto : escolha arbitrário e atribua-os como o zero da função de valor, ou seja: ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}}$

${\ displaystyle v_ {x} (x_ {0}) = v_ {y} (y_ {0}) = v_ {z} (z_ {0}) = 0}$

1 ponto : escolha arbitrário tal que . Defina-o como a unidade de valor, ou seja: ${\ displaystyle x_ {1}> x_ {0}}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) \ succ (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

${\ displaystyle v_ {x} (x_ {1}) = 1}$

Escolha e de modo que as seguintes relações de indiferença sejam mantidas: ${\ displaystyle y_ {1}}$${\ displaystyle z_ {1}}$

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) \ sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {0}) \ sim (x_ {0}, y_ {0}, z_ {1})}$ .

Essa indiferença serve para dimensionar as unidades de y e z para coincidir com as de x . O valor nesses três pontos deve ser 1, então atribuímos

${\ displaystyle v_ {y} (y_ {1}) = v_ {z} (z_ {1}) = 1}$

2 pontos : agora usamos a suposição de independência preferencial. A relação entre e é independente de z , e da mesma forma a relação entre e é independente de x e a relação entre e é independente de y . Conseqüentemente ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0})}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {1})}$${\ displaystyle (y_ {1}, z_ {0})}$${\ displaystyle (y_ {0}, z_ {1})}$${\ displaystyle (z_ {1}, x_ {0})}$${\ displaystyle (z_ {0}, x_ {1})}$

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {1}) \ sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {1}) \ sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0}).}$

Isso é útil porque significa que a função v pode ter o mesmo valor - 2 - nesses três pontos. Selecione tal que ${\ displaystyle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}}$

${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ {0}) \ sim (x_ {0}, y_ {2}, z_ {0}) \ sim (x_ {0}, y_ {0}, z_ {2}) \ sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0})}$

e atribuir

${\ displaystyle v_ {x} (x_ {2}) = v_ {x} (y_ {2}) = v_ {x} (z_ {2}) = 2.}$

3 pontos : para mostrar que nossas atribuições até agora são consistentes, devemos mostrar que todos os pontos que recebem um valor total de 3 são pontos de indiferença. Aqui, novamente, a suposição de independência preferencial é usada, uma vez que a relação entre e é independente de z (e de forma semelhante para os outros pares); conseqüentemente ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {0})}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$

${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ {1}) \ sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$

e da mesma forma para os outros pares. Portanto, o ponto 3 é definido de forma consistente.

Podemos continuar assim por indução e definir as funções por mercadoria em todos os pontos inteiros e, em seguida, usar a continuidade para defini-la em todos os pontos reais.

Uma suposição implícita no ponto 1 da prova acima é que todas as três mercadorias são essenciais ou preferencialmente relevantes . Isso significa que existe um pacote tal que, se a quantidade de uma determinada mercadoria for aumentada, o novo pacote é estritamente melhor.

A prova para mais de 3 produtos é semelhante. Na verdade, não precisamos verificar se todos os subconjuntos de pontos são preferencialmente independentes; é suficiente verificar um número linear de pares de mercadorias. Por exemplo, se houver mercadorias diferentes , então é suficiente verificar que para todas as duas mercadorias são preferencialmente independentes das outras mercadorias. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle j = 1, ..., m}$${\ displaystyle j = 1, ..., m-1}$${\ displaystyle \ {x_ {j}, x_ {j + 1} \}}$${\ displaystyle m-2}$

Singularidade de representação aditiva

Uma relação de preferência aditiva pode ser representada por muitas funções de utilidade aditiva diferentes. No entanto, todas essas funções são semelhantes: elas não são apenas transformações monótonas crescentes umas das outras ( como são todas as funções de utilidade que representam a mesma relação ); eles são transformações lineares crescentes entre si. Em resumo,

Uma função de utilidade ordinal aditiva é exclusiva para aumentar a transformação linear .

Construindo funções utilitárias aditivas e quadráticas a partir de dados ordinais

Os fundamentos matemáticos dos tipos mais comuns de funções de utilidade - quadrática e aditiva - estabelecidos por Gérard Debreu permitiram que Andranik Tangian desenvolvesse métodos para sua construção a partir de dados puramente ordinais. Em particular, as funções de utilidade aditiva e quadrática em variáveis ​​podem ser construídas a partir de entrevistas com tomadores de decisão, onde as perguntas são destinadas a traçar curvas de indiferença totalmente 2D em planos de coordenadas sem referência a estimativas de utilidade cardinais. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-1}$

Comparação entre funções de utilidade ordinal e cardinal

A tabela a seguir compara os dois tipos de funções de utilidade comuns na economia:

	Nível de medição	Representa preferências em	Único até	Existência comprovada por	Principalmente usado em
Utilidade ordinal	Escala ordinal	Resultados certos	Aumentando a transformação monótona	Debreu (1954)	Teoria do consumidor sob certeza
Utilidade Cardinal	Escala de intervalo	Resultados aleatórios (loterias)	Aumentando a transformação linear monótona	Von Neumann-Morgenstern (1947)	Teoria dos jogos , escolha sob incerteza

Veja também

Referências

links externos

• A relação de preferência lexicográfica não pode ser representada por uma função de utilidade . In Economics.SE
• Reconhecendo ordens lineares incorporáveis ​​em R2 ordenadas lexicograficamente . Em Math.SE.
• Murray N. Rothbard , "Towards a Reconstruction of Utility and Welfare Economics"