Independência de pares - Pairwise independence

Na teoria da probabilidade , uma coleção independente de pares de variáveis ​​aleatórias é um conjunto de variáveis ​​aleatórias quaisquer duas das quais são independentes . Qualquer coleção de variáveis ​​aleatórias mutuamente independentes é independente de pares, mas algumas coleções independentes de pares não são mutuamente independentes. Variáveis ​​aleatórias independentes de pares com variância finita não são correlacionadas .

Um par de variáveis ​​aleatórias X e Y são independentes se e somente se o vetor aleatório ( X , Y ) com função de distribuição cumulativa conjunta (CDF) satisfaz ${\ displaystyle F_ {X, Y} (x, y)}$

${\ displaystyle F_ {X, Y} (x, y) = F_ {X} (x) F_ {Y} (y),}$

ou equivalentemente, sua densidade de junta satisfaz ${\ displaystyle f_ {X, Y} (x, y)}$

${\ displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y).}$

Ou seja, a distribuição conjunta é igual ao produto das distribuições marginais.

A menos que não esteja claro no contexto, na prática, o modificador "mútuo" é geralmente descartado, de modo que independência significa independência mútua . Uma declaração como " X , Y , Z são variáveis ​​aleatórias independentes" significa que X , Y , Z são mutuamente independentes.

Exemplo

A independência dos pares não implica independência mútua, como mostra o seguinte exemplo atribuído a S. Bernstein.

Suponha que X e Y sejam dois lançamentos independentes de uma moeda justa, onde designamos 1 para cara e 0 para coroa. Deixe a terceira variável aleatória Z ser igual a 1 se exatamente um dos lançamentos de moeda resultou em "cara", e 0 caso contrário. Então, conjuntamente, o triplo ( X , Y , Z ) tem a seguinte distribuição de probabilidade :

${\ displaystyle (X, Y, Z) = \ left \ {{\ begin {matrix} (0,0,0) & {\ text {with probabilidade}} \ 1/4, \\ (0,1,1 ) & {\ text {com probabilidade}} \ 1/4, \\ (1,0,1) & {\ text {com probabilidade}} \ 1/4, \\ (1,1,0) & {\ texto {com probabilidade}} \ 1/4. \ end {matriz}} \ right.}$

Aqui, as distribuições de probabilidade marginal são idênticas: e As distribuições bivariadas também concordam: onde${\ displaystyle f_ {X} (0) = f_ {Y} (0) = f_ {Z} (0) = 1/2,}$${\ displaystyle f_ {X} (1) = f_ {Y} (1) = f_ {Z} (1) = 1/2.}$${\ displaystyle f_ {X, Y} = f_ {X, Z} = f_ {Y, Z},}$${\ displaystyle f_ {X, Y} (0,0) = f_ {X, Y} (0,1) = f_ {X, Y} (1,0) = f_ {X, Y} (1,1) = 1/4.}$

Uma vez que cada uma das distribuições conjuntas de pares é igual ao produto de suas respectivas distribuições marginais, as variáveis ​​são independentes de pares:

• X e Y são independentes, e
• X e Z são independentes e
• Y e Z são independentes.

No entanto, X , Y e Z não são mutuamente independentes , uma vez que o lado esquerdo é igual, por exemplo, 1/4 para ( x , y , z ) = (0, 0, 0) enquanto o lado direito é igual a 1/8 para ( x , y , z ) = (0, 0, 0). Na verdade, qualquer um de é completamente determinado pelos outros dois (qualquer um de X , Y , Z é a soma (módulo 2) dos outros). Isso é o mais longe da independência que as variáveis ​​aleatórias podem chegar. ${\ displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) \ neq f_ {X} (x) f_ {Y} (y) f_ {Z} (z),}$${\ displaystyle \ {X, Y, Z \}}$

Probabilidade de união de eventos independentes de pares

Limites na probabilidade de que a soma das variáveis ​​aleatórias de Bernoulli seja pelo menos um, comumente conhecido como limite de união , são fornecidos pelas desigualdades de Boole-Fréchet . Enquanto esses limites assumem apenas informações univariadas , vários limites com o conhecimento de probabilidades bivariadas gerais também foram propostos. Denote por um conjunto de eventos de Bernoulli com probabilidade de ocorrência para cada um . Suponha que as probabilidades bivariadas sejam fornecidas por para cada par de índices . Kounias derivou o seguinte limite superior :${\ displaystyle \ {{A} _ {i}, i \ in \ {1,2, ..., n \} \}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {i}) = p_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {i} \ cap A_ {j}) = p_ {ij}}$${\ displaystyle (i, j)}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ displaystyle {\ cup} _ {i} A_ {i}) \ leq \ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} - {\ underset {j \ in \ {1,2, .., n \}} {\ max}} \ sum _ {i \ neq j} p_ {ij},}$

que subtrai o peso máximo de uma árvore estelar em um gráfico completo com nós (onde os pesos das arestas são dados por ) da soma das probabilidades marginais . Hunter-Worsley apertou este limite superior otimizando da seguinte forma:${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p_ {ij}}$${\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i}}$
${\ displaystyle \ tau \ in T}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ displaystyle {\ cup} _ {i} A_ {i}) \ leq \ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} - {\ underset {\ tau \ in T} {\ max}} \ sum _ {(i, j) \ in \ tau} p_ {ij},}$

onde está o conjunto de todas as árvores abrangentes no gráfico. Esses limites não são os mais estreitos possíveis com bivariadas gerais, mesmo quando a viabilidade é garantida, conforme mostrado em Boros et.al. No entanto, quando as variáveis ​​são independentes entre pares ( ), Ramachandra-Natarajan mostrou que o limite de Kounias-Hunter-Worsley é estreito , provando que a probabilidade máxima de união de eventos admite uma expressão de forma fechada dada como:${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle p_ {ij}}$${\ displaystyle p_ {ij} = p_ {i} p_ {j}}$

${\ displaystyle \ max \ mathbb {P} (\ displaystyle {\ cup} _ {i} A_ {i}) = \ displaystyle \ min \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} -p_ {n} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n-1} p_ {i} \ right), 1 \ right)}$

( 1 )

onde as probabilidades são classificadas em ordem crescente como . É interessante notar que o limite estreito na Eq. 1 depende apenas da soma das menores probabilidades e da maior probabilidade . Assim, embora a ordenação das probabilidades desempenhe um papel na derivação do limite, a ordenação entre as menores probabilidades é irrelevante, uma vez que apenas sua soma é usada. ${\ displaystyle 0 \ leq p_ {1} \ leq p_ {2} \ leq \ ldots \ leq p_ {n} \ leq 1}$${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} p_ {i}}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle \ {p_ {1}, p_ {2}, ..., p_ {n-1} \}}$

Comparação com o limite sindical Boole-Fréchet

É útil comparar os menores limites da probabilidade de união com dependência arbitrária e independência de pares, respectivamente. O limite de união superior de Boole-Fréchet mais estreito (assumindo apenas informações univariadas ) é dado como:

${\ displaystyle \ displaystyle \ max \ mathbb {P} (\ displaystyle {\ cup} _ {i} A_ {i}) = \ displaystyle \ min \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ { i}, 1 \ direita)}$

( 2 )

Conforme mostrado em Ramachandra-Natarajan, pode ser facilmente verificado que a razão dos dois limites restritos na Eq. 2 e Eq. 1 é o limite superior de onde o valor máximo de é atingido quando${\ displaystyle 4/3}$${\ displaystyle 4/3}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} p_ {i} = 1/2}$, ${\ displaystyle p_ {n} = 1/2}$

onde as probabilidades são classificadas em ordem crescente como . Em outras palavras, no melhor cenário, a independência dos pares limitada na Eq. 1 fornece uma melhoria em relação ao limite univariado na Eq. 2 . ${\ displaystyle 0 \ leq p_ {1} \ leq p_ {2} \ leq \ ldots \ leq p_ {n} \ leq 1}$${\ displaystyle 25 \%}$

Generalização

De forma mais geral, podemos falar sobre independência k -wise, para qualquer k  ≥ 2. A ideia é semelhante: um conjunto de variáveis ​​aleatórias é independente k -wise se cada subconjunto de tamanho k dessas variáveis ​​for independente. A independência k -wise tem sido usada na ciência da computação teórica, onde foi usada para provar um teorema sobre o problema MAXEkSAT .

A independência k -wise é usada na prova de que as funções de hash independentes de k são códigos de autenticação de mensagem não passíveis de segurança .

Veja também

• Emparelhados
• Disjunto aos pares

Referências