Lâmina plana - Planar lamina

Em matemática , uma lâmina plana (ou lâmina plana ) é uma figura que representa uma camada fina, geralmente uniforme e plana do sólido. Ele também serve como um modelo idealizado de uma seção transversal plana de um corpo sólido em integração .

As lâminas planas podem ser utilizadas para determinar momentos de inércia , ou centro de massa de figuras planas, bem como auxiliar nos cálculos correspondentes para corpos 3D.

Definição

Basicamente, uma lâmina plana é definida como uma figura (um conjunto fechado ) D de uma área finita em um plano, com alguma massa m .

Isso é útil no cálculo de momentos de inércia ou centro de massa para uma densidade constante, porque a massa de uma lâmina é proporcional à sua área. Em um caso de densidade variável, dada por alguma função de densidade de superfície (não negativa), a massa da lâmina plana D é uma integral plana de ρ sobre a figura: ${\ displaystyle \ rho (x, y),}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

Propriedades

O centro de massa da lâmina está no ponto

${\ displaystyle \ left ({\ frac {M_ {y}} {m}}, {\ frac {M_ {x}} {m}} \ right)}$

onde é o momento de toda a lâmina em torno do eixo y e é o momento de toda a lâmina em torno do eixo x: ${\ displaystyle M_ {y}}$${\ displaystyle M_ {x}}$

${\ displaystyle M_ {y} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, x {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} x \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

${\ displaystyle M_ {x} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, y {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} y \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

com soma e integração assumida em um domínio planar . ${\ displaystyle D}$

Exemplo

Encontre o centro de massa de uma lâmina com arestas dadas pelas linhas e onde a densidade é dada como . ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle y = 4-x}$${\ displaystyle \ rho \ (x, y) \, = 2x + 3y + 2}$

Para isso, a massa deve ser encontrada, bem como os momentos e . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M_ {y}}$${\ displaystyle M_ {x}}$

Massa é que pode ser expressa de forma equivalente como uma integral iterativa : ${\ displaystyle m = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

${\ displaystyle m = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x} ^ {4-x} \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx}$

A integral interna é:

${\ displaystyle \ int _ {y = x} ^ {4-x} \, (2x + 3y + 2) \, dy}$

${\ displaystyle \ qquad = \ left. \ left (2xy + {\ frac {3y ^ {2}} {2}} + 2y \ right) \ right | _ {y = x} ^ {4-x}}$

${\ displaystyle \ qquad = \ left [2x (4-x) + {\ frac {3 (4-x) ^ {2}} {2}} + 2 (4-x) \ right] - \ left [2x (x) + {\ frac {3 (x) ^ {2}} {2}} + 2 (x) \ direita]}$

${\ displaystyle \ qquad = -4x ^ {2} -8x + 32}$

Conectar isso ao integral externo resulta em:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} m & = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ left (-4x ^ {2} -8x + 32 \ right) \, dx \\ & = \ left. \ esquerda (- {\ frac {4x ^ {3}} {3}} - 4x ^ {2} + 32x \ direita) \ direita | _ {x = 0} ^ {2} \\ & = {\ frac {112 } {3}} \ end {alinhado}}}$

Da mesma forma são calculados os dois momentos:

${\ displaystyle M_ {y} = \ iint _ {D} x \, \ rho (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x } ^ {4-x} x \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx}$

com a integral interna:

${\ displaystyle \ int _ {y = x} ^ {4-x} x \, (2x + 3y + 2) \, dy}$

${\ displaystyle \ qquad = \ left. \ left (2x ^ {2} y + {\ frac {3xy ^ {2}} {2}} + 2xy \ right) \ right | _ {y = x} ^ {4- x}}$

${\ displaystyle \ qquad = -4x ^ {3} -8x ^ {2} + 32x}$

que faz:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} M_ {y} & = \ int _ {x = 0} ^ {2} (- 4x ^ {3} -8x ^ {2} + 32x) \, dx \\ & = \ left. \ left (-x ^ {4} - {\ frac {8x ^ {3}} {3}} + 16x ^ {2} \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \ \ & = {\ frac {80} {3}} \ end {alinhado}}}$

e

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} M_ {x} & = \ iint _ {D} y \, \ rho (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x} ^ {4-x} y \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {2} (xy ^ {2} + y ^ {3} + y ^ {2}) {\ Big |} _ {y = x} ^ {4-x} \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {2} (- 2x ^ {3} + 4x ^ {2} -40x + 80) \, dx \\ & = \ left. \ Left (- {\ frac {x ^ {4}} {2}} + {\ frac {4x ^ {3}} {3}} - 20x ^ {2} + 80x \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \\ & = {\ frac {248} {3}} \ end {alinhados }}}$

Finalmente, o centro de massa é

${\ displaystyle \ left ({\ frac {M_ {y}} {m}}, {\ frac {M_ {x}} {m}} \ right) = \ left ({\ frac {\ frac {80} { 3}} {\ frac {112} {3}}}, {\ frac {\ frac {248} {3}} {\ frac {112} {3}}} \ right) = \ left ({\ frac { 5} {7}}, {\ frac {31} {14}} \ right)}$

Referências