Quantificação plural - Plural quantification

Em matemática e lógica , quantificação plural é a teoria de que uma variável individual x pode assumir valores plurais , bem como singulares. Além de substituir objetos individuais como Alice, o número 1, o edifício mais alto de Londres etc. por x, podemos substituir Alice e Bob, ou todos os números entre 0 e 10, ou todos os edifícios em Londres com mais de 20 andares .

O objetivo da teoria é dar à lógica de primeira ordem o poder da teoria dos conjuntos , mas sem qualquer " compromisso existencial " com objetos como os conjuntos. As exposições clássicas são Boolos 1984 e Lewis 1991.

História

A visão é comumente associada a George Boolos , embora seja mais antiga (ver notavelmente Simons 1982), e está relacionada à visão de classes defendida por John Stuart Mill e outros filósofos nominalistas . Mill argumentou que universais ou "classes" não são um tipo peculiar de coisa, tendo uma existência objetiva distinta dos objetos individuais que se enquadram neles, mas "não são nem mais nem menos do que as coisas individuais na classe". (Mill 1904, II. Ii. 2, também I. iv. 3).

Uma posição semelhante também foi discutida por Bertrand Russell no capítulo VI de Russell (1903), mas depois abandonou em favor de uma teoria "sem classes". Veja também Gottlob Frege 1895 para uma crítica de uma visão anterior defendida por Ernst Schroeder .

A ideia geral pode ser rastreada até Leibniz . (Levey 2011, pp. 129-133)

O interesse reviveu nos plurais com o trabalho em linguística na década de 1970 por Remko Scha , Godehard Link , Fred Landman , Friederike Moltmann , Roger Schwarzschild , Peter Lasersohn e outros, que desenvolveram ideias para uma semântica de plurais.

Antecedentes e motivação

Predicados e relações multígrados (variavelmente poládicos)

Frases como

Alice e Bob cooperam.

Alice, Bob e Carol cooperam.

É dito que envolvem uma multigrade (também conhecido como variável poliádico , também anadic ) predicado ou relação ( "cooperar" neste exemplo), o que significa que eles representam o mesmo conceito, mesmo que eles não têm um fixo arity (cf. Linnebo & Nicolas 2008). A noção de relação / predicado multígrado apareceu já na década de 1940 e foi notavelmente usada por Quine (cf. Morton 1975). A quantificação plural trata de formalizar a quantificação sobre os argumentos de comprimento variável de tais predicados, por exemplo, " xx cooperar", onde xx é uma variável plural. Observe que, neste exemplo, não faz sentido, semanticamente, instanciar xx com o nome de uma única pessoa.

Nominalismo

Em termos gerais, o nominalismo nega a existência de universais ( entidades abstratas ), como conjuntos, classes, relações, propriedades, etc. Assim, a (s) lógica (s) plural (is) foram desenvolvidas como uma tentativa de formalizar o raciocínio sobre plurais, como aqueles envolvidos em predicados multígrados , aparentemente sem recorrer a noções que os nominalistas negam, por exemplo, conjuntos.

A lógica de primeira ordem padrão tem dificuldade em representar algumas sentenças com plurais. Mais conhecida é a frase de Geach-Kaplan "alguns críticos admiram apenas uns aos outros". Kaplan provou que não é encomendável pela primeira vez (a prova pode ser encontrada naquele artigo). Conseqüentemente, sua paráfrase em uma linguagem formal nos compromete com a quantificação sobre (isto é, a existência de) conjuntos. Mas alguns acham implausível que um compromisso com conjuntos seja essencial para explicar essas sentenças.

Observe que uma instância individual da frase, como "Alice, Bob e Carol admiram apenas um ao outro", não precisa envolver conjuntos e é equivalente à conjunção das seguintes frases de primeira ordem:

∀x (se Alice admira x, então x = Bob ou x = Carol)

∀x (se Bob admira x, então x = Alice ou x = Carol)

∀x (se Carol admira x, então x = Alice ou x = Bob)

onde x abrange todos os críticos (sendo lido que os críticos não podem se admirar). Mas esse parece ser um exemplo de "algumas pessoas se admiram apenas umas às outras", que não pode ser encomendado pela primeira vez.

Boolos argumentou que a quantificação monádica de 2ª ordem pode ser sistematicamente interpretada em termos de quantificação plural e que, portanto, a quantificação monádica de 2ª ordem é "ontologicamente inocente".

Mais tarde, Oliver & Smiley (2001), Rayo (2002), Yi (2005) e McKay (2006) argumentaram que frases como

Eles são companheiros de navio

Eles estão se encontrando

Eles levantaram um piano

Eles estão cercando um prédio

Eles admiram apenas um ao outro

também não pode ser interpretado na lógica monádica de segunda ordem. Isso ocorre porque predicados como "são marinheiros", "estão se reunindo", "estão ao redor de um prédio" não são distributivos . Um predicado F é distributivo se, sempre que algumas coisas são F, cada uma delas é F. Mas, na lógica padrão, todo predicado monádico é distributivo . No entanto, essas frases também parecem inocentes de quaisquer suposições existenciais e não envolvem quantificação.

Portanto, pode-se propor uma conta unificada de termos plurais que permite a satisfação distributiva e não distributiva de predicados, enquanto defende esta posição contra a suposição "singularista" de que tais predicados são predicados de conjuntos de indivíduos (ou de somas mereológicas).

Vários escritores sugeriram que a lógica plural abre a perspectiva de simplificar os fundamentos da matemática , evitando os paradoxos da teoria dos conjuntos e simplificando os conjuntos de axiomas complexos e não intuitivos necessários para evitá-los.

Recentemente, Linnebo & Nicolas (2008) sugeriram que as linguagens naturais geralmente contêm variáveis ​​superplurais (e quantificadores associados), como "essas pessoas, essas pessoas e essas outras pessoas competem entre si" (por exemplo, como equipes em um jogo online), enquanto Nicolas (2008) argumentou que a lógica plural deveria ser usada para dar conta da semântica de substantivos massivos, como "vinho" e "mobília".

Definição formal

Esta seção apresenta uma formulação simples de lógica / quantificação plural aproximadamente a mesma dada por Boolos em Nominalist Platonism (Boolos 1985).

Sintaxe

As unidades sub-sentenciais são definidas como

• Símbolos de predicados , etc. (com arities apropriados, que são deixadas implícito)${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$
• Símbolos variáveis singulares , etc.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• Símbolos variáveis plurais , , etc.${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ bar {y}}}$

Frases completas são definidas como

• Se é um símbolo de predicado n -ary e são símbolos de variáveis ​​singulares, então é uma frase.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle F (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}$
• Se é uma frase, então é${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ neg P}$
• Se e são sentenças, então também são${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P \ land Q}$
• Se é uma frase e é um símbolo de variável singular, então é uma frase${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ existe xP}$
• Se é um símbolo de variável singular e é um símbolo de variável plural, então é uma frase (onde ≺ é geralmente interpretado como a relação "é um de")${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ bar {y}}}$${\ displaystyle x \ prec {\ bar {y}}}$
• Se é uma frase e é um símbolo de variável no plural, então é uma frase${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle \ exists {\ bar {x}}. P}$

As duas últimas linhas são o único componente essencialmente novo para a sintaxe da lógica plural. Outros símbolos lógicos definíveis em termos destes podem ser usados ​​livremente como abreviações notacionais.

Essa lógica acaba sendo equi-interpretável com a lógica monádica de segunda ordem .

Teoria do modelo

A teoria / semântica do modelo da lógica plural é onde a falta de conjuntos da lógica é descartada. Um modelo é definido como uma tupla onde é o domínio, é uma coleção de avaliações para cada nome de predicado no sentido usual, e é uma sequência tarskiana (atribuição de valores a variáveis) no sentido usual (ou seja, um mapa de símbolos de variáveis ​​singulares aos elementos de ). O novo componente é uma relação binária que relaciona valores no domínio a símbolos de variáveis ​​plurais. ${\ displaystyle (D, V, s, R)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V_ {F}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle R}$

A satisfação é dada como

• ${\ displaystyle (D, V, s, R) \ models F (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}$ sse ${\ displaystyle (s_ {x_ {0}}, \ ldots, s_ {x_ {n}}) \ in V_ {F}}$
• ${\ displaystyle (D, V, s, R) \ models \ neg P}$ sse ${\ displaystyle (D, V, s, R) \ nvDash P}$
• ${\ displaystyle (D, V, s, R) \ models P \ land Q}$se e${\ displaystyle (D, V, s, R) \ modelos P}$${\ displaystyle (D, V, s, R) \ modelos Q}$
• ${\ displaystyle (D, V, s, R) \ modelos \ existe xP}$se existe tal que${\ displaystyle s '\ approx _ {x} s}$${\ displaystyle (D, V, s ', R) \ modelos P}$
• ${\ displaystyle (D, V, s, R) \ models x \ prec {\ bar {y}}}$ sse ${\ displaystyle s_ {x} R {\ bar {y}}}$
• ${\ displaystyle (D, V, s, R) \ models \ exists {\ bar {x}}. P}$se existe tal que${\ displaystyle R '\ approx _ {\ bar {x}} R}$${\ displaystyle (D, V, s, R ') \ modelos P}$

Onde, para símbolos de variáveis ​​singulares, significa que para todos os símbolos de variáveis ​​singulares exceto , ele mantém isso , e para símbolos de variáveis ​​plurais, significa que para todos os símbolos de variáveis ​​plurais exceto , e para todos os objetos do domínio , ele mantém isso . ${\ displaystyle s \ approx _ {x} s '}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s_ {y} = s '_ {y}}$${\ displaystyle R \ approx _ {\ bar {x}} R '}$${\ displaystyle {\ bar {y}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle dR {\ bar {y}} = dR '{\ bar {y}}}$

Como na sintaxe, apenas os dois últimos são verdadeiramente novos na lógica plural. Boolos observa que, ao usar relações de atribuição , o domínio não precisa incluir conjuntos e, portanto, a lógica plural atinge a inocência ontológica, embora ainda retenha a capacidade de falar sobre as extensões de um predicado. Assim, o esquema de compreensão da lógica plural não produz o paradoxo de Russell porque a quantificação de variáveis ​​plurais não quantifica sobre o domínio. Outro aspecto da lógica como Boolos a define, crucial para contornar o paradoxo de Russell, é o fato de que as sentenças da forma não são bem formadas: nomes de predicados só podem se combinar com símbolos de variáveis ​​singulares, não símbolos de variáveis ​​plurais. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ exists {\ bar {x}}. \ forall yy \ prec {\ bar {x}} \ leftrightarrow F (y)}$${\ displaystyle F ({\ bar {x}})}$

Isso pode ser considerado o argumento mais simples e óbvio de que a lógica plural, como Boolos a definiu, é ontologicamente inocente.

Veja também

• Quantificador generalizado
• Função Variadic

Notas

Referências

• George Boolos , 1984, "Ser é ser o valor de uma variável (ou ser alguns valores de algumas variáveis)," Journal of Philosophy 81: 430–449. Em Boolos 1998, 54-72.
• --------, 1985, "nominalist platonism." Philosophical Review 94: 327-344. Em Boolos 1998, 73–87.
• --------, 1998. Logic, Logic e Logic . Harvard University Press.
• Burgess, JP, "From Frege to Friedman: A Dream Come True?"
• --------, 2004, “E Pluribus Unum: Plural Logic and Set Theory,” Philosophia Mathematica 12 (3): 193–221.
• Cameron, JR, 1999, "Plural Reference," Ratio .
• Cocchiarella, Nino (2002). "Sobre a lógica das classes como muitos". Studia Logica . 70 (3): 303–338. doi : 10.1023 / A: 1015190829525 .
• De Rouilhan, P., 2002, "On What There Are", Proceedings of the Aristotelian Society : 183–200.
• Gottlob Frege , 1895, "Uma elucidação crítica de alguns pontos no Vorlesungen Ueber Die Algebra der Logik de E. Schroeder ", Archiv für sistemamatische Philosophie : 433-456.
• Fred Landman 2000. Eventos e pluralidade . Kluwer.
• Laycock, Henry (2006), Words without Objects , Oxford: Clarendon Press, doi : 10.1093 / 0199281718.001.0001 , ISBN 9780199281718
• David K. Lewis , 1991. Parts of Classes . Londres: Blackwell.
• Linnebo, Øystein; Nicolas, David (2008). "Superplurals in English" (PDF) . Análise . 68 (3): 186–97. doi : 10.1093 / analys / 68.3.186 . Arquivado do original (PDF) em 20/07/2011 . Página visitada em 29/11/2008 .
• McKay, Thomas J. (2006), Plural Predication , Nova York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927814-5
• John Stuart Mill , 1904, A System of Logic , 8ª ed. Londres:.
• Moltmann, Friederike , 1997, Parts and Wholes in Semantics . Oxford University Press, Nova York. ISBN  9780195154931
• Moltmann, Friederike , 'Plural Reference and Reference to a Plurality. Fatos lingüísticos e análises semânticas '. Em M. Carrara, A. Arapinis e F. Moltmann (eds.): Unity and Plurality. Lógica, filosofia e semântica. Oxford University Press, Oxford, 2016, pp. 93-120.
• Nicolas, David (2008). "Substantivos massivos e lógica plural" (PDF) . Lingüística e Filosofia . 31 (2): 211–244. CiteSeerX  10.1.1.510.3305 . doi : 10.1007 / s10988-008-9033-2 . Arquivado do original (PDF) em 19/02/2012.
• Oliver, Alex; Smiley, Timothy (2001). "Estratégias para uma lógica dos plurais". Philosophical Quarterly . 51 (204): 289–306. doi : 10.1111 / j.0031-8094.2001.00231.x .
• Oliver, Alex (2004). "Predicados multigraduados". Mente . 113 (452): 609–681. doi : 10.1093 / mind / 113.452.609 .
• Rayo, Agustín (2002). "Palavra e objetos". Não . 36 (3): 436–64. doi : 10.1111 / 1468-0068.00379 .
• --------, 2006, “Beyond Plurals,” in Rayo e Uzquiano (2006).
• --------, 2007, “Plurals,” a ser publicado na Philosophy Compass .
• --------, e Gabriel Uzquiano, eds., 2006. Absolute Generality Oxford University Press.
• Bertrand Russell , B., 1903. The Principles of Mathematics . Oxford Univ. Pressione.
• Peter Simons , 1982, "Plural Reference and Set Theory", em Barry Smith , ed., Parts and Moments: Studies in Logic and Formal Ontology . Munique: Philosophia Verlag.
• --------, 1987. Parts . Imprensa da Universidade de Oxford.
• Uzquiano, Gabriel (2003). "Quantificação Plural e Classes". Philosophia Mathematica . 11 (1): 67–81. doi : 10.1093 / philmat / 11.1.67 .
• Yi, Byeong-Uk (1999). "Dois é uma propriedade?". Journal of Philosophy . 95 (4): 163–190. doi : 10.2307 / 2564701 . JSTOR  2564701 .
• --------, 2005, “The Logic and Meaning of Plurals, Part I,” Journal of Philosophical Logic 34: 459–506.
• Adam Morton . "Indivíduos complexos e relações multígradas." Noûs (1975): 309-318. JSTOR  2214634
• Samuel Levey (2011) "Teoria lógica em Leibniz" em Brandon C. Look (ed.) The Continuum Companion to Leibniz , Continuum International Publishing Group, ISBN  0826429750

links externos

• Linnebo, Øystein. "Quantificação plural" . Em Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Moltmann, Friederike . (Agosto de 2012) " Referência plural e referência a uma pluralidade. Uma reavaliação dos fatos linguísticos "
• Uma bibliografia mais extensa
• https://web.archive.org/web/20150211224457/http://lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf