Função de propagação de pontos - Point spread function

Formação de imagens em um microscópio confocal : corte longitudinal central (XZ). A distribuição 3D adquirida surge da convolução das fontes de luz reais com o PSF.
Uma fonte pontual com imagem de um sistema com aberração esférica negativa (parte superior), zero (centro) e positiva (parte inferior) . Imagens à esquerda são desfocadas para dentro, imagens à direita para fora.

A função point spread ( PSF ) descreve a resposta de um sistema de imagem a uma fonte pontual ou objeto pontual. Um termo mais geral para o PSF é a resposta ao impulso de um sistema , sendo o PSF a resposta ao impulso de um sistema óptico focalizado. O PSF em muitos contextos pode ser considerado o blob estendido em uma imagem que representa um único objeto de ponto. Em termos funcionais, é a versão de domínio espacial da função de transferência óptica do sistema de imagem . É um conceito útil na óptica de Fourier , de imagem astronomia , imagiologia médica , microscopia electrónica e outras técnicas de imagiologia, tais como 3D microscopia (como em microscopia confocal de varrimento laser ) e microscopia de fluorescência .

O grau de propagação (embaçamento) do objeto pontual é uma medida para a qualidade de um sistema de imagem. Em sistemas de imagem não coerentes , como microscópios fluorescentes , telescópios ou microscópios ópticos, o processo de formação da imagem é linear na intensidade da imagem e descrito pela teoria do sistema linear . Isso significa que quando a imagem de dois objetos A e B é feita simultaneamente, a imagem resultante é igual à soma dos objetos de imagem independente. Em outras palavras: a imagem de A não é afetada pela imagem de B e vice-versa , devido à propriedade de não interação dos fótons. No sistema invariante de espaço, ou seja, o PSF é o mesmo em todo o espaço de imagem, a imagem de um objeto complexo é então a convolução do objeto verdadeiro e do PSF.

Introdução

Em virtude da propriedade de linearidade dos sistemas de imagens ópticas não coerentes, ou seja,

Imagem ( Objeto 1 + Objeto 2 ) = Imagem ( Objeto 1 ) + Imagem ( Objeto 2 )

a imagem de um objeto em um microscópio ou telescópio pode ser calculada expressando o campo do plano do objeto como uma soma ponderada sobre funções de impulso 2D e, em seguida, expressando o campo do plano de imagem como a soma ponderada sobre as imagens dessas funções de impulso. Isso é conhecido como princípio de superposição , válido para sistemas lineares . As imagens das funções individuais de impulso do plano do objeto são chamadas de funções de propagação de pontos, refletindo o fato de que um ponto matemático de luz no plano do objeto é espalhado para formar uma área finita no plano da imagem (em alguns ramos da matemática e da física, estes podem ser referidos como funções de Green ou funções de resposta ao impulso ).

Aplicação do PSF: A deconvolução do PSF modelado matematicamente e a imagem de baixa resolução melhora a resolução.

Quando o objeto é dividido em objetos pontuais discretos de intensidade variável, a imagem é calculada como a soma do PSF de cada ponto. Como o PSF é tipicamente determinado inteiramente pelo sistema de imagem (isto é, microscópio ou telescópio), a imagem inteira pode ser descrita conhecendo as propriedades ópticas do sistema. Este processo de imagem é geralmente formulado por uma equação de convolução . Em processamento de imagem de microscópio e astronomia , conhecer o PSF do dispositivo de medição é muito importante para restaurar o objeto (original) com deconvolução . Para o caso de feixes de laser, o PSF pode ser modelado matematicamente usando os conceitos de feixes gaussianos . Por exemplo, a deconvolução do PSF modelado matematicamente e da imagem, melhora a visibilidade dos recursos e remove o ruído da imagem.

Teoria

A função de propagação de pontos pode ser independente da posição no plano do objeto, caso em que é chamada de invariante de deslocamento . Além disso, se não houver distorção no sistema, as coordenadas do plano da imagem são linearmente relacionadas às coordenadas do plano do objeto por meio da ampliação M como:

.

Se o sistema de imagem produz uma imagem invertida, podemos simplesmente considerar os eixos de coordenadas do plano da imagem como sendo invertidos dos eixos do plano do objeto. Com essas duas suposições, ou seja, que o PSF é invariante ao deslocamento e que não há distorção, o cálculo da integral de convolução do plano da imagem é um processo direto.

Matematicamente, podemos representar o campo do plano do objeto como:

ou seja, como uma soma sobre as funções de impulso ponderadas, embora isso também esteja realmente apenas declarando a propriedade de peneiramento das funções delta 2D (discutidas mais adiante). Reescrever a função de transmitância do objeto na forma acima nos permite calcular o campo do plano da imagem como a sobreposição das imagens de cada uma das funções de impulso individuais, ou seja, como uma superposição sobre as funções de propagação do ponto ponderado no plano da imagem usando a mesma função de ponderação como no plano do objeto, ou seja ,. Matematicamente, a imagem é expressa como:

em que está a imagem da função impulso δ ( x o  -  u , y o  -  v ).

A função de impulso 2D pode ser considerada como o limite (já que a dimensão do lado w tende a zero) da função "poste quadrado", mostrada na figura abaixo.

Função Poste Quadrado

Imaginamos o plano do objeto sendo decomposto em áreas quadradas como esta, com cada uma tendo sua própria função quadrada associada. Se a altura, h , do poste for mantida em 1 / w 2 , então como a dimensão lateral w tende a zero, a altura, h , tende ao infinito de tal forma que o volume (integral) permanece constante em 1. Isso dá ao impulso 2D a propriedade de peneiramento (que está implícita na equação acima), que diz que quando a função de impulso 2D, δ ( x  -  u , y  -  v ), é integrada contra qualquer outra função contínua, f ( u , v ) , ele "peneirou" o valor de f no local do impulso, i . e ., no ponto ( x , y ) .

O conceito de um objeto de fonte pontual perfeito é central para a ideia de PSF. No entanto, não existe na natureza um radiador de fonte pontual matemático perfeito; o conceito é completamente não físico e é antes uma construção matemática usada para modelar e compreender sistemas de imagem ótica. A utilidade do conceito de fonte pontual vem do fato de que uma fonte pontual no plano do objeto 2D só pode irradiar uma onda esférica de amplitude uniforme perfeita - uma onda tendo frentes de fase de deslocamento para fora perfeitamente esféricas com intensidade uniforme em todas as esferas ( ver princípio de Huygens-Fresnel ). Essa fonte de ondas esféricas uniformes é mostrada na figura abaixo. Notamos também que um radiador de fonte pontual perfeito não apenas irradiará um espectro uniforme de ondas planas em propagação, mas também um espectro uniforme de ondas exponencialmente decadentes ( evanescentes ), e são estas as responsáveis ​​pela resolução mais fina do que um comprimento de onda (ver Óptica de Fourier ). Isso segue da seguinte expressão de transformada de Fourier para uma função de impulso 2D,

Truncamento de onda esférica por lente

A lente quadrática intercepta uma parte dessa onda esférica e a focaliza em um ponto borrado no plano da imagem. Para uma única lente , uma fonte pontual no eixo no plano do objeto produz um disco de Airy PSF no plano da imagem. Pode ser mostrado (ver óptica de Fourier , princípio de Huygens-Fresnel , difração de Fraunhofer ) que o campo irradiado por um objeto plano (ou, por reciprocidade, o campo convergindo para uma imagem plana) está relacionado ao seu plano de fonte (ou imagem) correspondente distribuição através de uma relação de transformada de Fourier (FT). Além disso, uma função uniforme sobre uma área circular (em um domínio FT) corresponde à função Airy , J 1 ( x ) / x no outro domínio FT, onde J 1 ( x ) é a função de Bessel de primeira ordem do primeiro tipo. Ou seja, uma abertura circular uniformemente iluminada que passa por uma onda esférica uniforme convergente produz uma imagem da função Airy no plano focal. Um gráfico de uma função de Airy 2D de amostra é mostrado na figura ao lado.

Função arejada

Portanto, a onda esférica convergente ( parcial ) mostrada na figura acima produz um disco de Airy no plano da imagem. O argumento da função de Airy é importante, pois determina o dimensionamento do disco de Airy (em outras palavras, o tamanho do disco no plano da imagem). Se Θ max é o ângulo máximo que as ondas convergentes fazem com o eixo da lente, r é a distância radial no plano da imagem e o número de onda k  = 2π / λ onde λ = comprimento de onda, então o argumento da função Airy é: kr tan ( Θ max ) . Se Θ max for pequeno (apenas uma pequena porção da onda esférica convergente está disponível para formar a imagem), então a distância radial, r, deve ser muito grande antes que o argumento total da função Airy se afaste do ponto central. Em outras palavras, se Θ max é pequeno, o disco de Airy é grande (o que é apenas outra declaração do princípio de incerteza de Heisenberg para pares de transformada de Fourier, ou seja, que pequena extensão em um domínio corresponde a grande extensão no outro domínio, e os dois são relacionados por meio do produto de largura de banda espacial ). Em virtude disso, sistemas de alta ampliação , que normalmente têm valores pequenos de Θ max (pela condição senoidal de Abbe ), podem ter mais desfoque na imagem, devido ao PSF mais amplo. O tamanho do PSF é proporcional à ampliação , de modo que o desfoque não é pior em um sentido relativo, mas é definitivamente pior em um sentido absoluto.

A figura acima ilustra o truncamento da onda esférica incidente pela lente. Para medir a função de difusão de ponto - ou função de resposta ao impulso - da lente, não é necessária uma fonte de ponto perfeita que irradie uma onda esférica perfeita em todas as direções do espaço. Isso ocorre porque a lente tem apenas uma largura de banda finita (angular) ou ângulo de interceptação finito. Portanto, qualquer largura de banda angular contida na fonte, que se estende além do ângulo da borda da lente (ou seja, está fora da largura de banda do sistema), é essencialmente largura de banda da fonte desperdiçada porque a lente não pode interceptá-la para processá-la. Como resultado, uma fonte de ponto perfeito não é necessária para medir uma função de espalhamento de ponto perfeito. Tudo o que precisamos é de uma fonte de luz que tenha pelo menos a mesma largura de banda angular da lente que está sendo testada (e, claro, que seja uniforme nesse setor angular). Em outras palavras, exigimos apenas uma fonte pontual que é produzida por uma onda esférica convergente (uniforme) cujo meio ângulo é maior do que o ângulo da borda da lente.

Devido à resolução limitada intrínseca dos sistemas de imagem, PSFs medidos não estão livres de incerteza. Na imagem, é desejado suprimir os lóbulos laterais do feixe de imagem por meio de técnicas de apodização . No caso de sistemas de transmissão de imagens com distribuição de feixe gaussiano, o PSF é modelado pela seguinte equação:

onde o fator k depende da razão de truncamento e do nível de irradiância, NA é a abertura numérica, c é a velocidade da luz, f é a frequência de fótons do feixe de imagem, I r é a intensidade do feixe de referência, a é um ajuste fator e é a posição radial do centro da viga no plano z correspondente .

História e métodos

A teoria da difração das funções de propagação de pontos foi estudada pela primeira vez por Airy no século XIX. Ele desenvolveu uma expressão para a amplitude e intensidade da função point spread de um instrumento perfeito, livre de aberrações (o chamado disco de Airy ). A teoria das funções de dispersão de pontos aberradas perto do plano focal ótimo foi estudada por Zernike e Nijboer na década de 1930–40. Um papel central em sua análise é desempenhado pelos polinômios de círculo de Zernike que permitem uma representação eficiente das aberrações de qualquer sistema óptico com simetria rotacional. Resultados analíticos recentes tornaram possível estender a abordagem de Nijboer e Zernike para avaliação da função de propagação de pontos para um grande volume em torno do ponto focal ideal. Esta teoria Nijboer-Zernike (ENZ) estendida permite estudar a imagem imperfeita de objetos tridimensionais em microscopia confocal ou astronomia sob condições de imagem não ideais. A teoria ENZ também foi aplicada à caracterização de instrumentos ópticos com relação à sua aberração medindo a distribuição de intensidade de foco e resolvendo um problema inverso apropriado .

Formulários

Microscopia

Um exemplo de uma função de propagação de ponto derivada experimentalmente de um microscópio confocal usando uma objetiva de óleo 63x 1.4NA. Ele foi gerado usando o software de deconvolução Huygens Professional. São mostradas vistas em xz, xy, yz e uma representação 3D.

Em microscopia, a determinação experimental de PSF requer fontes de radiação de sub-resolução (semelhantes a pontos). Pontos quânticos e contas fluorescentes são geralmente considerados para esse propósito. Os modelos teóricos descritos acima, por outro lado, permitem o cálculo detalhado do PSF para várias condições de imagem. A forma limitada de difração mais compacta do PSF é geralmente preferida. No entanto, usando elementos ópticos apropriados (por exemplo, um modulador de luz espacial ), a forma do PSF pode ser projetada para diferentes aplicações.

Astronomia

A função de contagem de pontos de telescópio Hubble 's WFPC câmara antes correcções foram aplicadas ao seu sistema óptico.

Na astronomia observacional , a determinação experimental de um PSF é freqüentemente muito simples devido ao amplo suprimento de fontes pontuais ( estrelas ou quasares ). A forma e a fonte do PSF podem variar amplamente, dependendo do instrumento e do contexto em que é usado.

Para telescópios de rádio e limitado por difração de espaço telescópios , os termos dominantes no PSF pode ser inferida a partir da configuração da abertura no domínio de Fourier . Na prática, pode haver vários termos contribuídos pelos vários componentes em um sistema óptico complexo. Uma descrição completa do PSF também incluirá a difusão de luz (ou fotoelétrons) no detector, bem como erros de rastreamento na espaçonave ou telescópio.

Para telescópios óticos baseados em terra, a turbulência atmosférica (conhecida como visão astronômica ) domina a contribuição para o PSF. Em imagens de alta resolução baseadas no solo, o PSF costuma variar de acordo com a posição na imagem (um efeito denominado anisoplanatismo). Em sistemas óticos adaptativos baseados em solo , o PSF é uma combinação da abertura do sistema com os termos atmosféricos residuais não corrigidos.

Litografia

Picos de PSF sobrepostos. Quando os picos estão próximos de ~ 1 comprimento de onda / NA, eles são efetivamente mesclados. O FWHM é ~ 0,6 comprimento de onda / NA neste ponto.

O PSF também é um limite fundamental para a imagem convencional focada de um orifício, com o tamanho mínimo de impressão estando na faixa de 0,6-0,7 comprimento de onda / NA, com NA sendo a abertura numérica do sistema de imagem. Por exemplo, no caso de um sistema EUV com comprimento de onda de 13,5 nm e NA = 0,33, o tamanho mínimo do orifício individual que pode ser obtido por imagem está na faixa de 25-29 nm. Uma máscara de deslocamento de fase tem bordas de fase de 180 graus que permitem uma resolução mais precisa.

Oftalmologia

As funções de disseminação de pontos tornaram-se recentemente uma ferramenta diagnóstica útil em oftalmologia clínica . Os pacientes são medidos com um sensor de frente de onda Shack-Hartmann e um software especial calcula o PSF para o olho desse paciente. Este método permite ao médico simular tratamentos potenciais em um paciente e estimar como esses tratamentos alterariam o PSF do paciente. Além disso, uma vez medido, o PSF pode ser minimizado usando um sistema de óptica adaptativa. Isso, em conjunto com uma câmera CCD e um sistema de óptica adaptativa, pode ser usado para visualizar estruturas anatômicas não visíveis de outra forma in vivo , como fotorreceptores de cone.

Veja também

Referências