Medida aleatória - Random measure

Na teoria da probabilidade , uma medida aleatória é um elemento aleatório avaliado por medida . Medidas aleatórias são, por exemplo, usadas na teoria de processos aleatórios , onde formam muitos processos de pontos importantes , como processos de pontos de Poisson e processos de Cox .

Definição

As medidas aleatórias podem ser definidas como kernels de transição ou como elementos aleatórios . Ambas as definições são equivalentes. Para as definições, seja um espaço métrico completo separável e seja seu Borel -álgebra . (O exemplo mais comum de um espaço métrico completo separável é ) ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Como um kernel de transição

Uma medida aleatória é um kernel de transição localmente finito ( as ) de um espaço de probabilidade (abstrato) para . ${\ displaystyle \ zeta}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$

Ser um kernel de transição significa que

Para qualquer fixo , o mapeamento ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {\ mathcal {E}}}}$

{\ displaystyle \ omega \ mapsto \ zeta (\ omega, B)}

é mensurável de a

{\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}

{\ displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}

Para cada fixo , o mapeamento ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

{\ displaystyle B \ mapsto \ zeta (\ omega, B) \ quad (B \ in {\ mathcal {E}})}

é uma medida em

{\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}

Ser localmente finito significa que as medidas

{\ displaystyle B \ mapsto \ zeta (\ omega, B)}

satisfazer para todos os conjuntos mensuráveis limitados e para todos, exceto alguns - conjunto nulo ${\ displaystyle \ zeta (\ omega, {\ tilde {B}}) <\ infty}$ ${\ displaystyle {\ tilde {B}} \ in {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle P}$

Como um elemento aleatório

Definir

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}: = \ {\ mu \ mid \ mu {\ text {é medida}} (E, {\ mathcal {E}}) \}}

e o subconjunto de medidas localmente finitas por

{\ displaystyle {\ mathcal {M}}: = \ {\ mu \ in {\ tilde {\ mathcal {M}}} \ mid \ mu ({\ tilde {B}}) <\ infty {\ text {para todos mensuráveis ​​limitados}} {\ tilde {B}} \ in {\ mathcal {E}} \}}

Para todos os mensuráveis limitados , defina os mapeamentos ${\ displaystyle {\ tilde {B}}}$

{\ displaystyle I _ {\ tilde {B}} \ colon \ mu \ mapsto \ mu ({\ tilde {B}})}

de para . Seja a -álgebra induzida pelos mapeamentos em e a -álgebra induzida pelos mapeamentos em . Observe isso . ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbb {M}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle I _ {\ tilde {B}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle I _ {\ tilde {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbb {M}}} | _ {\ mathcal {M}} = \ mathbb {M}}$

Uma medida aleatória é um elemento aleatório de a que quase certamente assume valores em ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle ({\ tilde {\ mathcal {M}}}, {\ tilde {\ mathbb {M}}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {M}}, \ mathbb {M})}$

Conceitos básicos relacionados

Medida de intensidade

Para uma medida aleatória , a medida que satisfaz ${\ displaystyle \ zeta}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ zeta}$

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ int f (x) \; \ zeta (\ mathrm {d} x) \ right] = \ int f (x) \; \ operatorname {E} \ zeta (\ mathrm {d} x)}

pois cada função mensurável positiva é chamada de medida de intensidade de . A medida de intensidade existe para cada medida aleatória e é uma medida s-finita . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ zeta}$

Medida de apoio

Para uma medida aleatória , a medida que satisfaz ${\ displaystyle \ zeta}$ ${\ displaystyle \ nu}$

{\ displaystyle \ int f (x) \; \ zeta (\ mathrm {d} x) = 0 {\ text {as}} {\ text {iff}} \ int f (x) \; \ nu (\ mathrm {d} x) = 0}

para todas as funções mensuráveis positivas é chamada de medida de apoio de . A medida de suporte existe para todas as medidas aleatórias e pode ser escolhida para ser finita. ${\ displaystyle \ zeta}$

Transformada de Laplace

Para uma medida aleatória , a transformação de Laplace é definida como ${\ displaystyle \ zeta}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ zeta} (f) = \ operatorname {E} \ left [\ exp \ left (- \ int f (x) \; \ zeta (\ mathrm {d} x )\certo, certo]}

para cada função mensurável positiva . ${\ displaystyle f}$

Propriedades básicas

Mensurabilidade de integrais

Para uma medida aleatória , as integrais ${\ displaystyle \ zeta}$

{\ displaystyle \ int f (x) \ zeta (\ mathrm {d} x)}

e ${\ displaystyle \ zeta (A): = \ int \ mathbf {1} _ {A} (x) \ zeta (\ mathrm {d} x)}$

para positivo -measurable são mensuráveis, portanto, são variáveis aleatórias . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle f}$

Singularidade

A distribuição de uma medida aleatória é determinada exclusivamente pelas distribuições de

{\ displaystyle \ int f (x) \ zeta (\ mathrm {d} x)}

para todas as funções contínuas com suporte compacto ligado . Para um semiramento fixo que gera no sentido de que , a distribuição de uma medida aleatória também é determinada exclusivamente pela integral sobre todas as funções -mensuráveis simples positivas . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ subset {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}}) = {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle f}$

Decomposição

Uma medida geralmente pode ser decomposta como:

{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {d} + \ mu _ {a} = \ mu _ {d} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ kappa _ {n} \ delta _ {X_ {n}},}

Aqui está uma medida difusa sem átomos, enquanto é uma medida puramente atômica. ${\ displaystyle \ mu _ {d}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {a}}$

Medida de contagem aleatória

Uma medida aleatória do formulário:

{\ displaystyle \ mu = \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ delta _ {X_ {n}},}

onde está a medida de Dirac , e são variáveis aleatórias, é chamado de processo de ponto ou medida de contagem aleatória . Essa medida aleatória descreve o conjunto de N partículas, cujas localizações são fornecidas pelas variáveis aleatórias (geralmente com valor vetorial) . O componente difuso é nulo para uma medida de contagem. ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {d}}$

Na notação formal acima, uma medida de contagem aleatória é um mapa de um espaço de probabilidade para o espaço mensurável ( , ) ${\ displaystyle N_ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (N_ {X})}$ um espaço mensurável . Aqui está o espaço de todas as medidas de valor inteiro finitas e limitadas (chamadas de medidas de contagem). ${\ displaystyle N_ {X}}$ ${\ displaystyle N \ in M_ {X}}$

As definições de medida de expectativa, funcional de Laplace, medidas de momento e estacionariedade para medidas aleatórias seguem aquelas de processos pontuais . Medidas aleatórias são úteis na descrição e análise de métodos de Monte Carlo , como quadratura numérica de Monte Carlo e filtros de partículas .

Veja também

Referências

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^ ^a ^b Jan Grandell, Processos do ponto e medidas aleatórias, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR 0478331 JSTOR Uma introdução agradável e clara.
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^ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatórias, teoria e aplicações . Suíça: Springer. p. 52. doi : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .
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