Anel de inteiros - Ring of integers

Em matemática , o anel de inteiros de um campo de número algébrico é o anel de todos os inteiros algébricos contidos em . Um inteiro algébrico é uma raiz de um polinômio monic com inteiros coeficientes: . Este anel é freqüentemente denotado por ou . Uma vez que qualquer inteiro pertence a e é um elemento integral de , o anel é sempre um subanel de . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle x ^ {n} + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + c_ {0}}$ ${\ displaystyle O_ {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle O_ {K}}$

O anel de inteiros é o anel de inteiros mais simples possível. Ou seja, onde está o campo dos números racionais . E, de fato, na teoria algébrica dos números, os elementos de são freqüentemente chamados de "inteiros racionais" por causa disso. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} = O _ {\ mathbb {Q}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

O próximo exemplo mais simples é o anel de inteiros gaussianos , consistindo em números complexos cujas partes reais e imaginárias são inteiros. É o anel de inteiros no campo numérico dos racionais gaussianos , consistindo em números complexos cujas partes reais e imaginárias são números racionais. Como os inteiros racionais, é um domínio euclidiano . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [i \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [i \ right]}$

O anel de inteiros de um campo de número algébrico é a ordem máxima única no campo. É sempre um domínio de Dedekind .

Propriedades

O anel de números inteiros $O K$ é um número finito-gerado $Z$ - módulo . Na verdade, é um módulo $Z$ livre e, portanto, tem uma base integral , que é uma base $b$ $1$ $, ...,$ $b$ $n$ $\in O$ $K$ do espaço vetorial $Q$ $K$ tal que cada elemento $x$ em $O$ $K$ pode ser representado exclusivamente como

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i},}

com $um i \in Z$ . A patente $n$ de $S K$ como um livre $Z$ -module é igual ao grau de $K$ sobre $Q$ .

Exemplos

Ferramenta computacional

Uma ferramenta útil para calcular o fechamento integral do anel de inteiros em um campo algébrico $K / Q$ é usar o discriminante. Se $K$ for de grau $n$ sobre $Q$ e formar uma base de $K$ sobre $Q$ , defina . Então, é um submódulo do módulo $Z$ medido por ^pg.³³ . Na verdade, se $d$ for livre de quadrados, isso forma uma base integral para a ^pg.³⁵ . ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ in {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle d = \ Delta _ {K / \ mathbb {Q}} (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} / d, \ ldots, \ alpha _ {n} / d}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Extensões ciclotômicas

Se $p$ é um primo , $ζ$ é uma $p$ ésima raiz da unidade e $K = Q (ζ)$ é o campo ciclotômico correspondente , então uma base integral de $O K = Z [ζ]$ é dada por $(1, ζ, ζ 2, ..., ζ p -2)$ .

Extensões quadráticas

Se é um inteiro livre de quadrados e é o campo quadrático correspondente , então é um anel de inteiros quadráticos e sua base integral é dada por $(1, (1 +$ $\sqrt$ $d$ $) / 2)$ se $d$ $\equiv 1 ($ $mod$ $4)$ e por $(1,$ $\sqrt$ $d$ $)$ se $d$ $\equiv 2, 3 (mod 4)$ . Isso pode ser encontrado calculando o polinômio mínimo de um elemento arbitrário onde . ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}} \ in \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbf {Z}}$

Estrutura multiplicativa

Em um anel de inteiros, cada elemento tem uma fatoração em elementos irredutíveis , mas o anel não precisa ter a propriedade de fatoração única : por exemplo, no anel de inteiros $Z [\sqrt -5]$ , o elemento 6 tem duas fatorações essencialmente diferentes em irredutíveis:

{\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (1 + {\ sqrt {-5}}) (1 - {\ sqrt {-5}}) \.}

Um anel de inteiros é sempre um domínio de Dedekind e, portanto, tem uma fatoração única de ideais em ideais primos .

As unidades de um anel de inteiros $O K$ é um grupo abeliano finitamente gerado pelo teorema da unidade de Dirichlet . O subgrupo de torção consiste nas raízes da unidade de $K$ . Um conjunto de geradores sem torção é denominado conjunto de unidades fundamentais .

Generalização

Um define o anel de inteiros de um campo local não arquimediano $F$ como o conjunto de todos os elementos de $F$ com valor absoluto $\leq 1$ ; este é um anel por causa da forte desigualdade do triângulo. Se $F$ é a conclusão de um campo de número algébrico, seu anel de inteiros é a conclusão do anel de inteiros deste último. O anel de inteiros de um campo de número algébrico pode ser caracterizado como os elementos que são inteiros em cada completamento não arquimediano.

Por exemplo, os inteiros $p$ -adicos $Z p$ são o anel de inteiros dos números $p$ -adicos $Q p$ .

Veja também

Polinômio mínimo (teoria de campo)
Fechamento integral - fornece uma técnica para calcular fechamentos integrais

Notas

Citações

Referências

Alaca, Saban; Williams, Kenneth S. (2003). Teoria Introdutória dos Números Algébricos . Cambridge University Press . ISBN 9780511791260.
Cassels, JWS (1986). Campos locais . Textos dos alunos da London Mathematical Society. 3 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006 .
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . 322 . Berlim: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Samuel, Pierre (1972). Teoria dos números algébricos . Hermann / Kershaw.

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