Projeção escalar - Scalar projection

Se 0 ° ≤ θ ≤ 90 °, como neste caso, a projeção escalar de a sobre b coincide com o comprimento da projeção vetorial .

Projeção vetorial de a em b ( a ₁ ) e rejeição vetorial de a a partir de b ( a ₂ ).

Em matemática, a projeção escalar de um vetor sobre (ou sobre) um vetor , também conhecido como o escalar resoluto de na direção de , é dada por: ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$

{\ displaystyle s = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}},}

onde o operador denota um produto escalar , é o vetor unitário na direção de , é o comprimento de e é o ângulo entre e . ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {b}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$

O termo componente escalar se refere às vezes à projeção escalar, pois, nas coordenadas cartesianas , os componentes de um vetor são as projeções escalares nas direções dos eixos coordenados .

A projeção escalar é um escalar , igual ao comprimento da projeção ortogonal de on , com sinal negativo se a projeção tiver direção oposta em relação a . ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$

Multiplicar a projeção escalar de on por converte-a na projeção ortogonal mencionada acima, também chamada de projeção vetorial de on . ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$

Definição baseada no ângulo θ

Se o ângulo entre e for conhecido, a projeção escalar de on pode ser calculada usando ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$

{\ displaystyle s = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta.}

( na figura)

{\ displaystyle s = \ left \ | \ mathbf {a} _ {1} \ right \ |}

Definição em termos de a e b

Quando não é conhecido, o cosseno de pode ser calculado em termos de e , pela seguinte propriedade do produto escalar : ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = \ cos \ theta}

Por esta propriedade, a definição da projeção escalar passa a ser: ${\ displaystyle s \,}$

{\ displaystyle s = \ left \ | \ mathbf {a} _ {1} \ right \ | = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} \,}

Propriedades

A projeção escalar tem sinal negativo se . Ele coincide com o comprimento da projeção vetorial correspondente se o ângulo for menor que 90 °. Mais exatamente, se a projeção do vetor for denotada e seu comprimento : ${\ displaystyle 90 ^ {\ circ} <\ theta \ leq 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} _ {1} \ right \ |}$