Análise de escala (matemática) - Scale analysis (mathematics)

Aproximação de ajuste
Conceitos
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v t e

A análise de escala (ou análise de ordem de magnitude ) é uma ferramenta poderosa usada nas ciências matemáticas para a simplificação de equações com muitos termos. Primeiro, a magnitude aproximada dos termos individuais nas equações é determinada. Então, alguns termos insignificantemente pequenos podem ser ignorados.

Exemplo: momento vertical em meteorologia em escala sinótica

Considere, por exemplo, a equação de momento das equações de Navier-Stokes na direção das coordenadas verticais da atmosfera

${\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + w {\ frac {\ parcial w} {\ parcial z}} - {\ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {R}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}}} - g + 2 {\ Omega u \ cos \ varphi} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial z ^ {2} }}\certo),}$

( A1 )

onde R é o raio da Terra , Ω é a frequência de rotação da Terra, g é a aceleração gravitacional , φ é a latitude, ρ é a densidade do ar e ν é a viscosidade cinemática do ar (podemos desprezar a turbulência na atmosfera livre ).

Na escala sinótica , podemos esperar velocidades horizontais de cerca de U = 10 ¹  ms ⁻¹ e verticais de cerca de W = 10 ⁻²  ms ⁻¹ . A escala horizontal é L = 10 ⁶  m e a escala vertical é H = 10 ⁴  m. A escala de tempo típica é T = L / U = 10 ⁵  s. As diferenças de pressão na troposfera são Δ P = 10 ⁴  Pa e densidade do ar ρ = 10 ⁰  kg⋅m ⁻³ . Outras propriedades físicas são aproximadamente:

R = 6,378 × 10 ⁶ m;

Ω = 7,292 × 10 ⁻⁵ rad⋅s ^−1;

ν = 1,46 × 10 ⁻⁵ m ² ⋅s ^−1;

g = 9,81 m⋅s ^−2.

As estimativas dos diferentes termos da equação ( A1 ) podem ser feitas usando suas escalas:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {\ parcial w} {\ parcial t}} & \ sim {\ frac {W} {T}} \\ [1.2ex] u {\ frac {\ parcial w } {\ parcial x}} & \ sim U {\ frac {W} {L}} & \ qquad v {\ frac {\ parcial w} {\ parcial y}} & \ sim U {\ frac {W} { L}} & \ qquad w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} & \ sim W {\ frac {W} {H}} \\ [1.2ex] {\ frac {u ^ {2} } {R}} & \ sim {\ frac {U ^ {2}} {R}} & \ qquad {\ frac {v ^ {2}} {R}} & \ sim {\ frac {U ^ {2 }} {R}} \\ [1.2ex] {\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} & \ sim {\ frac {1} {\ varrho} } {\ frac {\ Delta P} {H}} & \ qquad \ Omega u \ cos \ varphi & \ sim \ Omega U \\ [1.2ex] \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} { \ parcial x ^ {2}}} & \ sim \ nu {\ frac {W} {L ^ {2}}} & \ qquad \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial y ^ {2}}} & \ sim \ nu {\ frac {W} {L ^ {2}}} & \ qquad \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial z ^ {2}} } & \ sim \ nu {\ frac {W} {H ^ {2}}} \ end {alinhado}}}$

Agora podemos introduzir essas escalas e seus valores na equação ( A1 ):

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {5}}} + 10 {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6} }} + 10 {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6}}} + 10 ^ {- 2} {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {4}}} - {\ frac {10 ^ {2} + 10 ^ {2}} {10 ^ {6}}} \\ [12pt] & {} = - {{\ frac {1} {1}} {\ frac {10 ^ {4}} {10 ^ {4}}}} - 10 + 2 \ vezes 10 ^ {- 4} \ vezes 10 + 10 ^ {- 5} \ left ({\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {8}}} \ right ). \ end {alinhado}}}$

( A2 )

Podemos ver que todos os termos - exceto o primeiro e o segundo no lado direito - são insignificantemente pequenos. Assim, podemos simplificar a equação do momento vertical para a equação do equilíbrio hidrostático :

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = - g.}$

( A3 )

Regras de análise de escala

A análise de escala é uma ferramenta muito útil e amplamente utilizada para resolver problemas na área de transferência de calor e mecânica de fluidos, jato de parede acionado por pressão, separação de fluxos por trás de degraus voltados para trás, chamas de difusão a jato, estudo de dinâmica linear e não linear. A análise de escala é um atalho eficaz para obter soluções aproximadas para equações muitas vezes complicadas demais para serem resolvidas com exatidão. O objeto da análise em escala é usar os princípios básicos da transferência de calor por convecção para produzir estimativas de ordem de magnitude para as quantidades de interesse. A análise de escala antecipa, em um fator de ordem um, quando feita de maneira adequada, os resultados caros produzidos por análises exatas. A análise da escala governou da seguinte forma:

Regra 1 - O primeiro passo na análise de escala é definir o domínio de extensão em que aplicamos a análise de escala. Qualquer análise de escala de uma região de fluxo que não seja definida exclusivamente não é válida.

Regra 2 - Uma equação constitui uma equivalência entre as escalas de dois termos dominantes que aparecem na equação. Por exemplo,

${\ displaystyle \ rho c_ {P} {{\ parcial T} \ over {\ parcial t}} = k {\ frac {\ parcial ^ {2} T} {\ parcial x ^ {2}}}.}$

No exemplo acima, o lado esquerdo pode ser da mesma ordem de magnitude que o lado direito.

Regra 3 - Se na soma de dois termos dados por

${\ displaystyle c = a + b}$

a ordem de magnitude de um termo é maior do que a ordem de magnitude do outro termo

${\ displaystyle O (a)> O (b)}$

então a ordem de magnitude da soma é ditada pelo termo dominante

${\ displaystyle O (c) = O (a)}$

A mesma conclusão é válida se tivermos a diferença de dois termos

${\ displaystyle c = ab}$

Regra 4 - Na soma de dois termos, se dois termos são da mesma ordem de magnitude,

${\ displaystyle c = a + b}$

${\ displaystyle O (a) = O (b)}$

então a soma também é da mesma ordem de magnitude:

${\ displaystyle O (a) \ thicksim O (b) \ thicksim O (c)}$

Regra 5 - Em caso de produto de dois termos

${\ displaystyle p = ab}$

a ordem de magnitude do produto é igual ao produto das ordens de magnitude dos dois fatores

${\ displaystyle O (p) = O (a) O (b)}$

para proporções

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {b}}}$

então

${\ displaystyle O (r) = {\ frac {O (a)} {O (b)}}}$

aqui O (a) representa a ordem de magnitude de a.

~ representa dois termos da mesma ordem de magnitude.

> representa maior que, no sentido de ordem de magnitude.

Análise de escala de fluxo totalmente desenvolvido

Considere o fluxo laminar constante de um fluido viscoso dentro de um tubo circular. Deixe o fluido entrar com uma velocidade uniforme sobre o fluxo através da seção. À medida que o fluido desce pelo tubo, uma camada limite de fluido de baixa velocidade se forma e cresce na superfície porque o fluido imediatamente adjacente à superfície tem velocidade zero. Uma característica particular e simplificadora do fluxo viscoso dentro de tubos cilíndricos é o fato de que a camada limite deve se encontrar na linha central do tubo, e a distribuição de velocidade então estabelece um padrão fixo que é invariante. O comprimento de entrada hidrodinâmica é a parte do tubo em que a camada limite do momento cresce e a distribuição da velocidade muda com o comprimento. A distribuição de velocidade fixa na região totalmente desenvolvida é chamada de perfil de velocidade totalmente desenvolvido. A continuidade de estado estacionário e a conservação das equações de momento em duas dimensões são

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} = 0,}$

( 1 )

${\ displaystyle u {{\ parcial u} \ over {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ parcial P} {\ parcial x}}} + \ nu \ esquerda ({\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ { 2} u} {\ parcial y ^ {2}}} \ direita),}$

( 2 )

${\ displaystyle u {{\ partial v} \ over {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ parcial P} {\ parcial y}}} + \ nu \ esquerda ({\ frac {\ parcial ^ {2} v} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ { 2} v} {\ parcial y ^ {2}}} \ direita),}$

( 3 )

Essas equações podem ser simplificadas usando a análise de escala. Em qualquer ponto da zona totalmente desenvolvida, temos e . Agora, a partir da equação ( 1 ), o componente de velocidade transversal na região totalmente desenvolvida é simplificado usando escala como ${\ displaystyle x \ sim L}$${\ displaystyle y \ sim \ delta}$${\ displaystyle u \ sim U _ {\ infty}}$

${\ displaystyle v \ sim {\ frac {U _ {\ infty} \ delta} {L}}}$

( 4 )

Na região totalmente desenvolvida , de modo que a escala da velocidade transversal é desprezível pela equação ( 4 ). Portanto, em um fluxo totalmente desenvolvido, a equação de continuidade requer que ${\ displaystyle L \ gg \ delta}$

${\ displaystyle v = 0, {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}$

( 5 )

Com base na equação ( 5 ), a equação de momento y ( 3 ) se reduz a

${\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} = 0}$

( 6 )

isso significa que P é função de x apenas. A partir disso, a equação de momento x torna-se

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dx}} = \ mu {\ frac {d ^ {2} u} {dy ^ {2}}} = {\ text {constant}}}$

( 7 )

Cada termo deve ser constante, porque o lado esquerdo é função de x apenas e o direito é função de y . Resolvendo a equação ( 7 ) sujeita à condição de contorno

${\ displaystyle u = 0, y = \ pm {\ frac {D} {2}}}$

( 8 )

isto resulta na conhecida solução Hagen-Poiseuille para um fluxo totalmente desenvolvido entre placas paralelas.

${\ displaystyle u = {\ frac {3} {2}} U \ left [1 - {\ left ({\ frac {y} {D / 2}} \ right)} ^ {2} \ right]}$

( 9 )

${\ displaystyle U = {\ frac {D ^ {2}} {12 \ mu}} \ left (- {\ frac {dP} {dx}} \ right)}$

( 10 )

onde y é medido longe do centro do canal. A velocidade deve ser parabólica e é proporcional à pressão por unidade de comprimento do duto na direção do fluxo.

Veja também

• Aproximação
• Análise dimensional

Referências

• Barenblatt, GI (1996). Dimensionamento, auto-similaridade e assintóticos intermediários . Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6.
• Tennekes, H .; Lumley, John L. (1972). Um primeiro curso em turbulência . MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 0-262-20019-8.
• Bejan, A. (2004). Transferência de calor por convecção . John Wiley e filhos. ISBN 978-81-265-0934-8.
• Kays, WM, Crawford ME (2012). Calor convectivo e transferência de massa . McGraw Hill Education (Índia). ISBN 978-1-25-902562-4.CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )

links externos

• Análise de escala e números de Reynolds