Número sociável - Sociable number

Em matemática , os números sociáveis são números cujas alíquotas somam uma sequência cíclica que começa e termina com o mesmo número. Eles são generalizações dos conceitos de números amigáveis e números perfeitos . As duas primeiras sequências sociáveis, ou cadeias sociáveis, foram descobertas e nomeadas pelo matemático belga Paul Poulet em 1918. Em um conjunto de números sociáveis, cada número é a soma dos fatores próprios do número anterior, ou seja, a soma exclui o o próprio número anterior. Para que a sequência seja sociável, ela deve ser cíclica e retornar ao seu ponto de partida.

O período da sequência, ou ordem do conjunto de números sociáveis, é o número de números neste ciclo.

Se o período da sequência é 1, o número é um número sociável de ordem 1, ou um número perfeito - por exemplo, os divisores adequados de 6 são 1, 2 e 3, cuja soma é novamente 6. Um par de amigos números é um conjunto de números sociáveis ​​de ordem 2. Não há números sociáveis ​​conhecidos de ordem 3 e as pesquisas por eles foram feitas até 1970. ${\ displaystyle 5 \ times 10 ^ {7}}$

É uma questão em aberto se todos os números terminam em um número sociável ou em um primo (e, portanto, 1), ou, equivalentemente, se existem números cuja seqüência de alíquota nunca termina e, portanto, cresce sem limites.

Exemplo

Um exemplo com período 4:

A soma dos divisores adequados de ( ) é ${\ displaystyle 1264460}$${\ displaystyle = 2 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 17 \ cdot 3719}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,

a soma dos divisores adequados de ( ) é ${\ displaystyle 1547860}$${\ displaystyle = 2 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 193 \ cdot 401}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,

a soma dos divisores adequados de ( ) é ${\ displaystyle 1727636}$${\ displaystyle = 2 ^ {2} \ cdot 521 \ cdot 829}$

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, e

a soma dos divisores adequados de ( ) é ${\ displaystyle 1305184}$${\ displaystyle = 2 ^ {5} \ cdot 40787}$

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Lista de números sociáveis ​​conhecidos

Os números sociáveis ​​(duração do ciclo ≥3) são

12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 15472, 17716, 19116, 19916, 22744, 22976, 31704, 45946, 47616, 48976, 83328, 97946, 122410, 152990, 177792, 243760, 274924, 275444, 285778, 294896, 275444, 285778, 294896 295488,… (sequência A122726 no OEIS )

Os números sociáveis ​​(incluem a duração do ciclo 1 e 2, ou seja, incluem números perfeitos e números amigáveis) são

6, 28, 220, 284, 496, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, 8128, 10744, 10856, 12285, 12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 14595, 15472, 17296, 17716, 18416, 19116, 19916, 22744, 22976, 31704, 45946, 47616, 48976, ... (sequência A347770 no OEIS )

O menor membro dos ciclos sociáveis ​​com comprimento ≥3 são

12496, 14316, 1264460, 2115324, 2784580, 4938136, 7169104, 18048976, 18656380, 28158165, 46722700, 81128632, 174277820, 209524210, 330003580, 498215416, 805984760, ... (sequência A003416 no OEIS )

A duração do ciclo ≥3 dos números sociáveis ​​são

5, 28, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 9, 8, 4, 8, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 4, 4, 4,… (sequência A052470 no OEIS )

O seguinte categoriza todos os números sociáveis ​​conhecidos a partir de julho de 2018 pelo comprimento da sequência de alíquota correspondente:

É conjecturado que se n é congruente a 3 módulo 4, então não existe tal sequência com comprimento n .

A sequência de 5 ciclos é: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264

O único ciclo 28 conhecido é: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 38241028, 285778, 152990, 12241028, 285778, 152990, 122410 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716. (sequência A072890 no OEIS ).

Essas duas sequências fornecem os únicos números sociáveis ​​abaixo de 1 milhão (além dos números perfeitos e amigáveis).

Procurando por números sociáveis

A sequência alíquota pode ser representada como um grafo orientado , , para um determinado número inteiro , em que denota a soma dos divisores apropriados de . Ciclos em representar números sociáveis dentro do intervalo . Dois casos especiais são loops que representam números perfeitos e ciclos de comprimento dois que representam pares amigáveis . ${\ displaystyle G_ {n, s}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s (k)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle G_ {n, s}}$${\ displaystyle [1, n]}$

Conjectura da soma dos ciclos de números sociáveis

Conjectura-se que, à medida que o número de ciclos de números sociáveis ​​com comprimento maior que 2 se aproxima do infinito, a porcentagem das somas dos ciclos de números sociáveis ​​divisíveis por 10 se aproxima de 100%. (sequência A292217 no OEIS ).

Referências

• H. Cohen, On amicable and sociable numbers, Math. Comp. 24 (1970), pp. 423-429

links externos

• Uma lista de números sociáveis ​​conhecidos
• Mesas extensas de números perfeitos, amigáveis ​​e sociáveis
• Weisstein, Eric W. "Sociable numbers" . MathWorld .
• A003416 (menor número sociável de cada ciclo) e A122726 (todos os números sociáveis) em OEIS