Split-biquaternion - Split-biquaternion

Em matemática , um biquatérnio dividido é um número hipercomplexo da forma

${\ displaystyle q = w + xi + yj + zk}$

onde w , x , y e z são números complexos divididos e i, j e k se multiplicam como no grupo de quatérnio . Uma vez que cada coeficiente w , x , y , z abrange duas dimensões reais , o biquatérnion dividido é um elemento de um espaço vetorial de oito dimensões . Considerando que carrega uma multiplicação, este espaço vetorial é uma álgebra sobre o campo real, ou uma álgebra sobre um anel onde os números complexos divididos formam o anel. Esta álgebra foi introduzida por William Kingdon Clifford em um artigo de 1873 para a London Mathematical Society . Tem sido repetidamente observado na literatura matemática desde então, variando como um desvio na terminologia, uma ilustração do produto tensorial das álgebras e como uma ilustração da soma direta das álgebras . Os biquaternions divididos foram identificados de várias maneiras por algebraistas; veja § Sinônimos abaixo.

Definição moderna

Um biquaternion dividido é um anel isomórfico à álgebra de Clifford C ℓ _0,3 ( R ). Esta é a álgebra geométrica gerada por três direções de base da unidade imaginária ortogonal, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } sob a regra de combinação

${\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = {\ begin {cases} -1 & i = j, \\ - e_ {j} e_ {i} & i \ neq j \ end {cases}}}$

dando uma álgebra abrangida pelos 8 elementos de base {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ }, com ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 e ω ² = ( e ₁ e ₂ e ₃ ) ² = +1. A subálgebra abrangida pelos 4 elementos {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ } é o anel de divisão dos quatérnios de Hamilton , H = C ℓ _0,2 ( R ) . Portanto, pode-se ver que

${\ displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {D}}$

onde D = C ℓ _1,0 ( R ) é a álgebra gerada por {1, ω}, a álgebra dos números complexos divididos . Equivalentemente,

${\ displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Grupo biquaternion dividido

Os biquatérnions divididos formam um anel associativo, como fica claro ao se considerar as multiplicações em sua base {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Quando ω é adicionado ao grupo do quatérnio obtém-se um grupo de 16 elementos

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Soma direta de dois anéis de quatérnio

A soma direta do anel de divisão dos quatérnios consigo mesmo é denotada . O produto de dois elementos e está nesta álgebra de soma direta . ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$${\ displaystyle (a \ oplus b)}$${\ displaystyle (c \ oplus d)}$${\ displaystyle ac \ oplus bd}$

Proposição: A álgebra de biquatérnions de divisão é isomórfica a ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

prova: Todo biquatérnion dividido tem uma expressão q = w + z ω onde w e z são quatérnions e ω ² = +1. Agora, se p = u + v ω é outro biquatérnion dividido, seu produto é

${\ displaystyle pq = uw + vz + (uz + vw) \ omega.}$

O mapeamento de isomorfismo de split-biquaternions para é dado por ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle p \ mapsto (u + v) \ oplus (uv), \ quad q \ mapsto (w + z) \ oplus (wz).}$

Em , o produto dessas imagens, de acordo com o produto álgebra indicado acima, é ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle (u + v) (w + z) \ oplus (uv) (wz).}$

Esse elemento também é a imagem de pq sob o mapeamento em Assim, os produtos concordam, o mapeamento é um homomorfismo; e por ser bijetivo , é um isomorfismo. ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Embora os biquatérnios divididos formem um espaço de oito dimensões como os biquatérnios de Hamilton, com base na proposição é evidente que essa álgebra se divide na soma direta de duas cópias dos quatérnios reais.

Biquatérnio de hamilton

Os biquaternions divididos não devem ser confundidos com os biquaternions (comuns) previamente introduzidos por William Rowan Hamilton . Os biquaternions de Hamilton são elementos da álgebra

${\ displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C}.}$

${\ displaystyle C \ ell _ {3,0} (\ mathbb {R}) = \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C}.}$

Sinônimos

Os seguintes termos e compostos referem-se à álgebra de divisão-biquaternion:

• biquaternions elípticos - Clifford 1873 , Rooney 2007 erro harvnb: sem alvo: CITEREFClifford1873 ( ajuda )
• Biquaternion de Clifford - Joly 1902 , van der Waerden 1985 erro harvnb: sem alvo: CITEREFJoly1902 ( ajuda )
• dyquaternions - Rosenfeld 1997
• ${\ displaystyle \ mathbb {D} \ otimes \ mathbb {H}}$ onde D = números complexos divididos - Bourbaki 1994 , Rosenfeld 1997 erro harvnb: sem alvo: CITEREFBourbaki1994 ( ajuda )
• ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ , a soma direta de duas álgebras de quaternion - van der Waerden 1985

Veja também

• Split-octonions

Referências