Embalagem quadrada em quadrada - Square packing in a square

Empacotamento quadrado em um quadrado é um problema de empacotamento em que o objetivo é determinar quantos quadrados de um lado (quadrados unitários) podem ser empacotados em um quadrado de lado . Se for um número inteiro, a resposta é , mas a quantidade precisa, ou mesmo assintótica , de espaço desperdiçado para números não inteiros é uma questão em aberto. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {2}}$${\ displaystyle a}$

Pequenos números de quadrados

5 quadrados unitários em um quadrado de comprimento lateral ${\ displaystyle 2 + 1 / {\ sqrt {2}} \ aproximadamente 2.707}$

10 quadrados unitários em um quadrado de comprimento lateral ${\ displaystyle 3 + 1 / {\ sqrt {2}} \ aproximadamente 3,707}$

O menor valor de que permite o empacotamento de quadrados unitários é conhecido quando é um quadrado perfeito (caso em que é ), bem como para 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15, 24, 34, 35, 46, 47 e 48. Para a maioria desses números (com as exceções apenas de 5 e 10), o empacotamento é o natural com quadrados alinhados ao eixo, e é . A figura mostra os pacotes ideais para 5 e 10 quadrados, os dois menores números de quadrados para os quais o pacote ideal envolve quadrados inclinados. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$${\ displaystyle n = {}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ lceil {\ sqrt {n}} \ rceil}$

O menor caso não resolvido envolve o empacotamento de 11 quadrados de unidades em um quadrado maior. 11 quadrados de unidade não podem ser embalados em um quadrado de lado menor que . Em contraste, o empacotamento conhecido mais apertado de 11 quadrados está dentro de um quadrado de comprimento lateral de aproximadamente 3,877084, melhorando ligeiramente um empacotamento semelhante encontrado anteriormente por Walter Trump . ${\ displaystyle \ textstyle 2 + 2 {\ sqrt {4/5}} \ aproximadamente 3,789}$

Resultados assintóticos

Para valores maiores do comprimento do lado , o número exato de quadrados unitários que podem embalar um quadrado permanece desconhecido. Sempre é possível embalar uma grade de quadrados unitários alinhados ao eixo, mas isso pode deixar uma grande área, aproximadamente , descoberta e desperdiçada. Em vez disso, Paul Erdős e Ronald Graham mostraram que para uma embalagem diferente por quadrados unitários inclinados, o espaço desperdiçado poderia ser significativamente reduzido a (aqui escrito em pequena notação o ). Mais tarde, Graham e Fan Chung reduziram ainda mais o espaço desperdiçado para . No entanto, como Klaus Roth e Bob Vaughan provaram, todas as soluções devem desperdiçar espaço, pelo menos . Em particular, quando é um meio inteiro , o espaço desperdiçado é pelo menos proporcional à sua raiz quadrada. A taxa de crescimento assintótica precisa do espaço desperdiçado, mesmo para comprimentos laterais de meio inteiro, permanece um problema aberto . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a \ times a}$${\ displaystyle \ lfloor a \ rfloor \ times \ lfloor a \ rfloor}$${\ displaystyle 2a (a- \ lfloor a \ rfloor)}$${\ displaystyle o (a ^ {7/11})}$${\ displaystyle O (a ^ {3/5})}$${\ displaystyle \ Omega {\ bigl (} a ^ {1/2} (a- \ lfloor a \ rfloor) {\ bigr)}}$${\ displaystyle a}$

Alguns números de quadrados unitários nunca são o número ideal em uma embalagem. Em particular, se um quadrado de tamanho permite o empacotamento de quadrados unitários, então deve ser o caso em que um empacotamento de quadrados unitários também é possível. ${\ displaystyle a \ times a}$${\ displaystyle n ^ {2} -2}$${\ displaystyle a \ geq n}$${\ displaystyle n ^ {2}}$

Empacotamento quadrado em um círculo

Um problema relacionado é o de empacotar n quadrados unitários em um círculo com o raio o menor possível. Para este problema, boas soluções são conhecidas para n até 35. Aqui estão as soluções mínimas para n até 12:

Veja também

• Círculo embalando em um quadrado
• Quadrando o quadrado
• Embalagem retangular

Referências

links externos

• Squares in Squares , Erich's Packing Center, Erich Friedman, Stetson University