Estratificação (matemática) - Stratification (mathematics)

A estratificação tem vários usos na matemática.

Na lógica matemática

Na lógica matemática , estratificação é qualquer atribuição consistente de números a símbolos predicados garantindo que existe uma interpretação formal única de uma teoria lógica. Especificamente, dizemos que um conjunto de cláusulas da forma é estratificado se e somente se houver uma atribuição de estratificação S que preencha as seguintes condições: ${\ displaystyle Q_ {1} \ wedge \ dots \ wedge Q_ {n} \ wedge \ neg Q_ {n + 1} \ wedge \ dots \ wedge \ neg Q_ {n + m} \ rightarrow P}$

1. Se um predicado P é derivado positivamente de um predicado Q (ou seja, P é o chefe de uma regra, e Q ocorre positivamente no corpo da mesma regra), então o número de estratificação de P deve ser maior ou igual à estratificação número de Q, em suma . ${\ displaystyle S (P) \ geq S (Q)}$
2. Se um predicado P é derivado de um predicado negado Q (ou seja, P é a cabeça de uma regra, e Q ocorre negativamente no corpo da mesma regra), então o número de estratificação de P deve ser maior do que o número de estratificação de Q , em suma . ${\ displaystyle S (P)> S (Q)}$

A noção de negação estratificada leva a uma semântica operacional muito eficaz para programas estratificados em termos do mínimo ponto fixo estratificado, que é obtida aplicando iterativamente o operador de ponto fixo a cada estrato do programa, do mais baixo para cima. A estratificação não é útil apenas para garantir uma interpretação única das teorias das cláusulas de Horn .

Em uma teoria de conjunto específica

Em New Foundations (NF) e teorias de conjuntos relacionadas, uma fórmula na linguagem da lógica de primeira ordem com igualdade e filiação é considerada estratificada se e somente se houver uma função que envia cada variável que aparece em (considerada como um item de sintaxe) para um número natural (isso funciona igualmente bem se todos os inteiros forem usados) de tal forma que qualquer fórmula atômica que apareça em satisfaça e qualquer fórmula atômica que apareça em satisfaça . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle x \ in y}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ sigma (x) + 1 = \ sigma (y)}$ ${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ sigma (x) = \ sigma (y)}$

Acontece que é suficiente exigir que essas condições sejam satisfeitas apenas quando ambas as variáveis ​​em uma fórmula atômica são limitadas no conjunto abstrato em consideração. Um conjunto abstrato que satisfaz essa condição mais fraca é considerado fracamente estratificado . ${\ displaystyle \ {x \ mid \ phi \}}$

A estratificação de Novos Fundamentos generaliza prontamente para linguagens com mais predicados e com construções de termos. Cada predicado primitivo precisa ter especificado os deslocamentos necessários entre os valores de seus argumentos (limitados) em uma fórmula estratificada (fracamente). Em uma linguagem com construções de termos, os próprios termos precisam receber valores sob , com deslocamentos fixos dos valores de cada um de seus argumentos (ligados) em uma fórmula estratificada (fracamente). As construções de termos definidos são cuidadosamente tratadas (possivelmente apenas implicitamente) usando a teoria das descrições: um termo (ax tal que ) deve receber o mesmo valor que a variável x. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle (\ iota x. \ phi)}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ sigma}$

Uma fórmula é estratificada se e somente se for possível atribuir tipos a todas as variáveis ​​que aparecem na fórmula de tal forma que faça sentido em uma versão TST da teoria dos tipos descrita no artigo New Foundations , e isso é provavelmente a melhor forma de compreender a estratificação das Novas Fundações na prática.

A noção de estratificação pode ser estendida ao cálculo lambda ; isso é encontrado nos papéis de Randall Holmes.

Uma motivação para o uso da estratificação é abordar o paradoxo de Russell , a antinomia considerada como tendo minado a obra central de Frege , Grundgesetze der Arithmetik (1902). Quine, Willard Van Orman (1963) [1961]. De um ponto de vista lógico (2ª ed.). Nova York: Harper & Row . p. 90. LCCN   61-15277 .

Em topologia

Na teoria da singularidade , há um significado diferente, de uma decomposição de um espaço topológico X em subconjuntos disjuntos, cada um dos quais é uma variedade topológica (de modo que, em particular, uma estratificação define uma partição do espaço topológico). Esta não é uma noção útil quando irrestrita; mas quando os vários estratos são definidos por algum conjunto reconhecível de condições (por exemplo, sendo localmente fechado ) e se encaixam de forma gerenciável, essa ideia é freqüentemente aplicada em geometria. Hassler Whitney e René Thom primeiro definiram as condições formais para estratificação. Veja a estratificação de Whitney e o espaço estratificado topologicamente .

Nas estatísticas

Veja amostragem estratificada .

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