Mecânica quântica supersimétrica - Supersymmetric quantum mechanics

Na física teórica , a mecânica quântica supersimétrica é uma área de pesquisa em que a supersimetria é aplicada ao cenário mais simples da mecânica quântica simples , em vez da teoria quântica de campo . A mecânica quântica supersimétrica encontrou aplicações fora da física de alta energia , como fornecer novos métodos para resolver problemas de mecânica quântica, fornecer extensões úteis para a aproximação WKB e mecânica estatística .

Introdução

Compreender as consequências da supersimetria (SUSY) tem se mostrado matematicamente assustador, e também tem sido difícil desenvolver teorias que possam explicar a quebra de simetria, ou seja , a falta de partículas parceiras observadas de massa igual. Para progredir nesses problemas, os físicos desenvolveram a mecânica quântica supersimétrica , uma aplicação da superálgebra supersimétrica à mecânica quântica em oposição à teoria quântica de campos. Esperava-se que estudar as consequências de SUSY neste ambiente mais simples levasse a um novo entendimento; notavelmente, o esforço criou novas áreas de pesquisa na própria mecânica quântica.

Por exemplo, os alunos são normalmente ensinados a "resolver" o átomo de hidrogênio por um processo laborioso que começa inserindo o potencial de Coulomb na equação de Schrödinger . Depois de uma quantidade considerável de trabalho usando muitas equações diferenciais, a análise produz uma relação de recursão para os polinômios de Laguerre . O resultado final é o espectro de estados de energia do átomo de hidrogênio (rotulados por números quânticos n e l ). Usando ideias retiradas de SUSY, o resultado final pode ser derivado com facilidade significativamente maior, da mesma forma que os métodos do operador são usados ​​para resolver o oscilador harmônico . Uma abordagem supersimétrica semelhante também pode ser usada para encontrar com mais precisão o espectro de hidrogênio usando a equação de Dirac. Curiosamente, essa abordagem é análoga à maneira como Erwin Schrödinger resolveu pela primeira vez o átomo de hidrogênio. Claro, ele não chamou sua solução de supersimétrica, pois SUSY estava trinta anos no futuro.

A solução SUSY do átomo de hidrogênio é apenas um exemplo da classe muito geral de soluções que SUSY fornece para potenciais invariantes de forma , uma categoria que inclui a maioria dos potenciais ensinados em cursos introdutórios de mecânica quântica.

A mecânica quântica SUSY envolve pares de hamiltonianos que compartilham uma relação matemática particular, que são chamados de hamiltonianos parceiros . (Os termos de energia potencial que ocorrem nos hamiltonianos são então chamados de potenciais parceiros .) Um teorema introdutório mostra que para cada estado próprio de um hamiltoniano, seu hamiltoniano parceiro tem um estado próprio correspondente com a mesma energia (exceto possivelmente para estados próprios de energia zero). Este fato pode ser explorado para deduzir muitas propriedades do espectro de eigenstate. É análogo à descrição original de SUSY, que se referia a bósons e férmions. Podemos imaginar um "hamiltoniano bosônico", cujos autoestados são os vários bósons de nossa teoria. O parceiro SUSY desse hamiltoniano seria "fermiônico", e seus autoestados seriam os férmions da teoria. Cada bóson teria um parceiro fermiônico de energia igual - mas, no mundo relativístico, energia e massa são intercambiáveis, então podemos dizer com a mesma facilidade que as partículas parceiras têm massa igual.

Os conceitos de SUSY forneceram extensões úteis para a aproximação WKB na forma de uma versão modificada da condição de quantização de Bohr-Sommerfeld . Além disso, o SUSY foi aplicado à mecânica estatística não quântica por meio da equação de Fokker-Planck , mostrando que, mesmo que a inspiração original na física de partículas de alta energia seja um beco sem saída, sua investigação trouxe muitos benefícios úteis.

Exemplo: o oscilador harmônico

A equação de Schrödinger para o oscilador harmônico assume a forma

${\ displaystyle H ^ {\ rm {HO}} \ psi _ {n} (x) = {\ bigg (} {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ { 2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac {m \ omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} {\ bigg)} \ psi _ {n} (x) = E_ { n} ^ {\ rm {HO}} \ psi _ {n} (x),}$

onde está o ésimo estado próprio de energia com energia . Queremos encontrar uma expressão para em termos de . Nós definimos os operadores ${\ displaystyle \ psi _ {n} (x)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle H ^ {HO}}$${\ displaystyle E_ {n} ^ {HO}}$${\ displaystyle E_ {n} ^ {\ rm {HO}}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle A = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ frac {d} {dx}} + W (x)}$

e

${\ displaystyle A ^ {\ dagger} = - {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ frac {d} {dx}} + W (x),}$

onde , que precisamos escolher, é chamado de superpotencial de . Também definimos os parceiros hamiltonianos mencionados e como ${\ displaystyle W (x)}$${\ displaystyle H ^ {\ rm {HO}}}$${\ displaystyle H ^ {(1)}}$${\ displaystyle H ^ {(2)}}$

${\ displaystyle H ^ {(1)} = A ^ {\ dagger} A = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2 }}} - {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} W ^ {\ prime} (x) + W ^ {2} (x)}$

${\ displaystyle H ^ {(2)} = AA ^ {\ dagger} = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2} }} + {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} W ^ {\ prime} (x) + W ^ {2} (x).}$

Um estado fundamental de energia zero de satisfaria a equação ${\ displaystyle \ psi _ {0} ^ {(1)} (x)}$${\ displaystyle H ^ {(1)}}$

${\ displaystyle H ^ {(1)} \ psi _ {0} ^ {(1)} (x) = A ^ {\ dagger} A \ psi _ {0} ^ {(1)} (x) = A ^ {\ dagger} {\ bigg (} {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ frac {d} {dx}} + W (x) {\ bigg)} \ psi _ {0 } ^ {(1)} (x) = 0.}$

Supondo que saibamos o estado fundamental do oscilador harmônico , podemos resolver como ${\ displaystyle \ psi _ {0} (x)}$${\ displaystyle W (x)}$

${\ displaystyle W (x) = {\ frac {- \ hbar} {\ sqrt {2m}}} {\ bigg (} {\ frac {\ psi _ {0} ^ {\ prime} (x)} {\ psi _ {0} (x)}} {\ bigg)} = x {\ sqrt {m \ omega ^ {2} / 2}}}$

Então, descobrimos que

${\ displaystyle H ^ {(1)} = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac { m \ omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} - {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}$

${\ displaystyle H ^ {(2)} = {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac { m \ omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} + {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}.}$

Agora podemos ver que

${\ displaystyle H ^ {(1)} = H ^ {(2)} - \ hbar \ omega = H ^ {\ rm {HO}} - {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}.}$

Este é um caso especial de invariância de forma, discutido abaixo. Tomando sem prova o teorema introdutório mencionado acima, é aparente que o espectro de começará com e continuará para cima em etapas de Os espectros de e terá o mesmo espaçamento uniforme, mas será deslocado para cima em valores e , respectivamente. Conclui-se que o espectro de é, portanto, o familiar . ${\ displaystyle H ^ {(1)}}$${\ displaystyle E_ {0} = 0}$${\ displaystyle \ hbar \ omega.}$${\ displaystyle H ^ {(2)}}$${\ displaystyle H ^ {\ rm {HO}}}$${\ displaystyle \ hbar \ omega}$${\ displaystyle \ hbar \ omega / 2}$${\ displaystyle H ^ {\ rm {HO}}}$${\ displaystyle E_ {n} ^ {\ rm {HO}} = \ hbar \ omega (n + 1/2)}$

Superálgebra SUSY QM

Na mecânica quântica fundamental, aprendemos que uma álgebra de operadores é definida por relações de comutação entre esses operadores. Por exemplo, os operadores canônicos de posição e momento têm o comutador . (Aqui, usamos " unidades naturais " em que a constante de Planck é igual a 1.) Um caso mais intrincado é a álgebra dos operadores de momento angular ; essas quantidades estão intimamente ligadas às simetrias rotacionais do espaço tridimensional. Para generalizar esse conceito, definimos um anticommutador , que relaciona os operadores da mesma forma que um comutador comum , mas com o sinal oposto: ${\ displaystyle [x, p] = i}$

${\ displaystyle \ {A, B \} = AB + BA.}$

Se os operadores são relacionados tanto por anticomutadores quanto por comutadores, dizemos que eles são parte de uma superálgebra de Lie . Digamos que temos um sistema quântico descrito por um hamiltoniano e um conjunto de operadores . Chamaremos esse sistema de supersimétrico se a seguinte relação anticomutação for válida para todos : ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle Q_ {i}}$${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$

${\ displaystyle \ {Q_ {i}, Q_ {j} ^ {\ dagger} \} = {\ mathcal {H}} \ delta _ {ij}.}$

Se for esse o caso, então chamamos as sobrecargas do sistema .${\ displaystyle Q_ {i}}$

Exemplo

Vejamos o exemplo de uma partícula não relativística unidimensional com um grau de liberdade interno 2D ( ou seja, dois estados) chamado "spin" (não é realmente spin porque o spin "real" é uma propriedade das partículas 3D). Seja um operador que transforma uma partícula "spin up" em uma partícula "spin down". Seu adjunto então transforma uma partícula de spin down em uma partícula de spin up; os operadores são normalizados de forma que o anticommutador . E, claro ,. Deixe ser o momento da partícula e sua posição com . Seja (o " superpotencial ") uma função analítica complexa arbitrária de e defina os operadores supersimétricos ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ {b, b ^ {\ dagger} \} = 1}$${\ displaystyle b ^ {2} = 0}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [x, p] = i}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle Q_ {1} = {\ frac {1} {2}} \ left [(p-iW) b + (p + iW ^ {\ dagger}) b ^ {\ dagger} \ right]}$

${\ displaystyle Q_ {2} = {\ frac {i} {2}} \ left [(p-iW) b- (p + iW ^ {\ dagger}) b ^ {\ dagger} \ right]}$

Observe que e são auto-adjuntos. Deixe o hamiltoniano${\ displaystyle Q_ {1}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$

${\ displaystyle H = \ {Q_ {1}, Q_ {1} \} = \ {Q_ {2}, Q_ {2} \} = {\ frac {(p + \ Im \ {W \}) ^ {2 }} {2}} + {\ frac {{\ Re \ {W \}} ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ Re \ {W \} '} {2}} (bb ^ {\ dagger} -b ^ {\ dagger} b)}$

onde W' é a derivada de W . Observe também que { Q ₁ , Q ₂ } = 0. Isso nada mais é do que supersimetria N = 2 . Observe que atua como um potencial vetorial eletromagnético . ${\ displaystyle \ Im \ {W \}}$

Vamos também chamar o estado de spin down de "bosônico" e o estado de spin up de "fermiônico". Isso é apenas uma analogia com a teoria quântica de campos e não deve ser interpretado literalmente. Então, Q ₁ e Q ₂ mapeiam estados "bosônicos" em estados "fermiônicos" e vice-versa.

Vamos reformular um pouco:

Definir

${\ displaystyle Q = (p-iW) b}$

e claro,

${\ displaystyle Q ^ {\ dagger} = (p + iW ^ {\ dagger}) b ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle \ {Q, Q \} = \ {Q ^ {\ dagger}, Q ^ {\ dagger} \} = 0}$

e

${\ displaystyle \ {Q ^ {\ dagger}, Q \} = 2H}$

Um operador é "bosônico" se mapeia estados "bosônicos" para estados "bosônicos" e estados "fermiônicos" para estados "fermiônicos". Um operador é "fermiônico" se mapeia estados "bosônicos" para estados "fermiônicos" e vice-versa. Qualquer operador pode ser expresso exclusivamente como a soma de um operador bosônico e um operador fermiônico. Defina o supercommutador [,} da seguinte maneira: entre dois operadores bosônicos ou um bosônico e um operador fermiônico, ele não é outro senão o comutador, mas entre dois operadores fermiônicos, é um anticommutador .

Então, x e p são operadores bosônicos eb ,, Q e são operadores fermiônicos. ${\ displaystyle b ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle Q ^ {\ dagger}}$

Vamos trabalhar na imagem de Heisenberg onde x, be são funções do tempo. ${\ displaystyle b ^ {\ dagger}}$

Então,

${\ displaystyle [Q, x \} = - ib}$

${\ displaystyle [Q, b \} = 0}$

${\ displaystyle [Q, b ^ {\ dagger} \} = {\ frac {dx} {dt}} - i \ Re \ {W \}}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, x \} = ib ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, b \} = {\ frac {dx} {dt}} + i \ Re \ {W \}}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, b ^ {\ dagger} \} = 0}$

Isso é não linear em geral: isto é, x (t), b (t) e não formam uma representação linear SUSY porque não é necessariamente linear em x. Para evitar esse problema, defina o operador auto-adjunto . Então, ${\ displaystyle b ^ {\ dagger} (t)}$${\ displaystyle \ Re \ {W \}}$${\ displaystyle F = \ Re \ {W \}}$

${\ displaystyle [Q, x \} = - ib}$

${\ displaystyle [Q, b \} = 0}$

${\ displaystyle [Q, b ^ {\ dagger} \} = {\ frac {dx} {dt}} - iF}$

${\ displaystyle [Q, F \} = - {\ frac {db} {dt}}}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, x \} = ib ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, b \} = {\ frac {dx} {dt}} + iF}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, b ^ {\ dagger} \} = 0}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, F \} = {\ frac {db ^ {\ dagger}} {dt}}}$

e vemos que temos uma representação linear SUSY.

Agora vamos introduzir duas quantidades "formais" ,; e com o último sendo o adjunto do anterior de tal forma que ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ bar {\ theta}}}$

${\ displaystyle \ {\ theta, \ theta \} = \ {{\ bar {\ theta}}, {\ bar {\ theta}} \} = \ {{\ bar {\ theta}}, \ theta \} = 0}$

e ambos comutam com operadores bosônicos, mas anticommutos com operadores fermiônicos.

A seguir, definimos uma construção chamada supercampo :

${\ displaystyle f (t, {\ bar {\ theta}}, \ theta) = x (t) -i \ theta b (t) -i {\ bar {\ theta}} b ^ {\ dagger} (t ) + {\ bar {\ theta}} \ theta F (t)}$

f é auto-adjunta, é claro. Então,

${\ displaystyle [Q, f \} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} fi {\ bar {\ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} f,}$

${\ displaystyle [Q ^ {\ dagger}, f \} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {\ theta}}}} fi \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial t} } f.}$

A propósito, há também uma simetria U (1) _R , com p e x e W tendo zero cargas R e tendo uma carga R de 1 e b tendo uma carga R de -1. ${\ displaystyle b ^ {\ dagger}}$

Invariância de forma

Suponha que seja real para tudo real . Então, podemos simplificar a expressão do hamiltoniano para ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle H = {\ frac {(p) ^ {2}} {2}} + {\ frac {{W} ^ {2}} {2}} + {\ frac {W '} {2}} (bb ^ {\ dagger} -b ^ {\ dagger} b)}$

Existem certas classes de superpotenciais, de modo que os hamiltonianos bosônicos e fermiônicos têm formas semelhantes. Especificamente

${\ displaystyle V _ {+} (x, a_ {1}) = V _ {-} (x, a_ {2}) + R (a_ {1})}$

onde os são parâmetros. Por exemplo, o potencial do átomo de hidrogênio com momento angular pode ser escrito desta forma. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle l}$

${\ displaystyle {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r}} + {\ frac {h ^ {2} l (l + 1)} {2m}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} - E_ {0}}$

Isso corresponde a para o superpotencial ${\ displaystyle V _ {-}}$

${\ displaystyle W = {\ frac {\ sqrt {2m}} {h}} {\ frac {e ^ {2}} {24 \ pi \ epsilon _ {0} (l + 1)}} - {\ frac {h (l + 1)} {r {\ sqrt {2m}}}}}$

${\ displaystyle V _ {+} = {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r}} + {\ frac {h ^ {2 } (l + 1) (l + 2)} {2m}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} + {\ frac {e ^ {4} m} {32 \ pi ^ {2} h ^ {2} \ epsilon _ {0} ^ {2} (l + 1) ^ {2}}}}$

Este é o potencial de momento angular alterado por uma constante. Depois de resolver o estado fundamental, os operadores supersimétricos podem ser usados ​​para construir o resto do espectro de estado vinculado. ${\ displaystyle l + 1}$${\ displaystyle l = 0}$

Em geral, uma vez que e são potenciais parceiros, eles compartilham o mesmo espectro de energia, exceto uma energia extra do solo. Podemos continuar este processo de encontrar potenciais parceiros com a condição de invariância de forma, dando a seguinte fórmula para os níveis de energia em termos dos parâmetros do potencial ${\ displaystyle V _ {-}}$${\ displaystyle V _ {+}}$

${\ displaystyle E_ {n} = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} R (a_ {i})}$

onde estão os parâmetros para os múltiplos potenciais parceiros. ${\ displaystyle a_ {i}}$

Formulários

Em 2021, a mecânica quântica supersimétrica foi aplicada à precificação de opções e à análise de mercados em finanças quânticas e a redes financeiras .

Veja também

• Álgebra de supersimetria
• Superálgebra
• Teoria de calibre supersimétrico

Referências

Origens

• F. Cooper, A. Khare e U. Sukhatme, "Supersymmetry and Quantum Mechanics", Phys.Rept.251: 267-385, 1995.
• DS Kulshreshtha, JQ Liang e HJW Muller-Kirsten, "Equações de flutuação sobre configurações clássicas de campo e mecânica quântica supersimétrica", Annals Phys. 225: 191-211, 1993.
• G. Junker, "Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics", Springer-Verlag, Berlin, 1996
• B. Mielnik e O. Rosas-Ortiz, "Factorization: Little or great algorithm?", J. Phys. R: Matemática. Gen. 37: 10007-10035, 2004

links externos

• Referências do INSPIRE-HEP