Forma bilinear simétrica - Symmetric bilinear form

Em matemática , uma forma bilinear simétrica em um espaço vetorial é um mapa bilinear de duas cópias do espaço vetorial para o campo de escalares de forma que a ordem dos dois vetores não afete o valor do mapa. Em outras palavras, é uma função bilinear que mapeia cada par de elementos do espaço vetorial para o campo subjacente de forma que para cada e em . Eles também são referidos mais brevemente apenas como formas simétricas quando "bilinear" é entendido. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (u, v)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle B (u, v) = B (v, u)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V}$

Bilineares formas simétricas em espaços vetoriais de dimensão finita correspondam exactamente à matrizes simétricas dadas uma base para V . Entre as formas bilineares, as simétricas são importantes porque são aquelas para as quais o espaço vetorial admite um tipo de base particularmente simples conhecido como base ortogonal (pelo menos quando a característica do campo não é 2).

Dada uma forma bilinear simétrica B , a função q ( x ) = B ( x , x ) é a forma quadrática associada no espaço vetorial. Além disso, se a característica do campo não for 2, B é a única forma bilinear simétrica associada a q .

Definição formal

Vamos V ser um espaço vector de dimensão N ao longo de um campo K . Um mapa é uma forma bilinear simétrica no espaço se: ${\ displaystyle B: V \ times V \ rightarrow K}$

• ${\ displaystyle B (u, v) = B (v, u) \ \ quad \ forall u, v \ in V}$
• ${\ displaystyle B (u + v, w) = B (u, w) + B (v, w) \ \ quad \ forall u, v, w \ in V}$
• ${\ displaystyle B (\ lambda v, w) = \ lambda B (v, w) \ \ quad \ forall \ lambda \ in K, \ forall v, w \ in V}$

Os dois últimos axiomas apenas estabelecem linearidade no primeiro argumento, mas o primeiro axioma (simetria) implica imediatamente linearidade também no segundo argumento.

Exemplos

Seja V = R ⁿ , o espaço vetorial real n dimensional. Então, o produto escalar padrão é uma forma bilinear simétrica, B ( x , y ) = x ⋅ y . A matriz correspondente a esta forma bilinear (veja abaixo) em uma base padrão é a matriz de identidade.

Seja V qualquer espaço vetorial (incluindo possivelmente dimensão infinita) e suponha que T seja uma função linear de V para o campo. Então, a função definida por B ( x , y ) = T ( x ) T ( y ) é uma forma bilinear simétrica.

Seja V o espaço vetorial de funções reais contínuas de variável única. Pois se pode definir . Pelas propriedades de integrais definidas , isto define uma forma bilinear simétrica em V . Este é um exemplo de uma forma bilinear simétrica que não está associada a nenhuma matriz simétrica (uma vez que o espaço vetorial é infinito). ${\ displaystyle f, g \ in V}$${\ displaystyle \ textstyle B (f, g) = \ int _ {0} ^ {1} f (t) g (t) dt}$

Representação matricial

Vamos ser uma base para V . Definir o n x n matriz Uma por . A matriz A é uma matriz simétrica exatamente devido à simetria da forma bilinear. Se a matriz n × 1 x representa um vetor v em relação a esta base, e analogamente, y representa w , então é dado por: ${\ displaystyle C = \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$${\ displaystyle A_ {ij} = B (e_ {i}, e_ {j})}$${\ displaystyle B (v, w)}$

${\ displaystyle x ^ {\ mathsf {T}} Ay = y ^ {\ mathsf {T}} Ax.}$

Suponha que C ' seja outra base para V , com: com S uma matriz invertível n × n . Agora, a nova representação da matriz para a forma bilinear simétrica é dada por ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} e '_ {1} & \ cdots & e' _ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e_ {1} & \ cdots & e_ {n} \ end {bmatrix}} S}$

${\ displaystyle A '= S ^ {\ mathsf {T}} AS.}$

Ortogonalidade e singularidade

Uma forma bilinear simétrica é sempre reflexiva . Dois vetores v e w são definidos como ortogonais em relação à forma bilinear B se B ( v , w ) = 0 , que é, devido à reflexividade, equivalente a B ( w , v ) = 0 .

O radical de uma forma bilinear B é o conjunto de vectores ortogonais com cada vector em V . Que este é um subespaço de V decorre da linearidade de B em cada um de seus argumentos. Ao trabalhar com uma representação matricial A em relação a uma certa base, v , representado por x , está no radical se e somente se

${\ displaystyle Ax = 0 \ Longleftrightarrow x ^ {\ mathsf {T}} A = 0.}$

A matriz A é singular se e somente se o radical não é trivial.

Se W é um subconjunto de V , então seu complemento ortogonal W ^⊥ é o conjunto de todos os vetores em V que são ortogonais a todos os vetores em W ; é um subespaço de V . Quando B é não degenerado, o radical de B é trivial e a dimensão de W ^⊥ é dim ( W ^⊥ ) = dim ( V ) - dim ( W ) .

Base ortogonal

Uma base é ortogonal em relação a B se e somente se: ${\ displaystyle C = \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$

${\ displaystyle B (e_ {i}, e_ {j}) = 0 \ \ forall i \ neq j.}$

Quando a característica do campo não é dois, V sempre tem uma base ortogonal. Isso pode ser comprovado por indução .

Uma base C é ortogonal se e somente se a representação da matriz A for uma matriz diagonal .

Assinatura e lei da inércia de Silvestre

De uma forma mais geral, a lei da inércia de Sylvester diz que, ao trabalhar sobre um campo ordenado , os números de elementos diagonais na forma diagonalizada de uma matriz que são positivos, negativos e zero respectivamente são independentes da base ortogonal escolhida. Esses três números formam a assinatura da forma bilinear.

Caso real

Ao trabalhar em um espaço acima dos reais, pode-se ir um pouco mais longe. Deixe ser uma base ortogonal. ${\ displaystyle C = \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$

Nós definimos uma nova base ${\ displaystyle C '= \ {e' _ {1}, \ ldots, e '_ {n} \}}$

${\ displaystyle e '_ {i} = {\ begin {cases} e_ {i} & {\ text {if}} B (e_ {i}, e_ {i}) = 0 \\ {\ frac {e_ { i}} {\ sqrt {B (e_ {i}, e_ {i})}}} & {\ text {if}} B (e_ {i}, e_ {i})> 0 \\ {\ frac { e_ {i}} {\ sqrt {-B (e_ {i}, e_ {i})}}} & {\ text {if}} B (e_ {i}, e_ {i}) <0 \ end { casos}}}$

Agora, a nova representação de matriz A será uma matriz diagonal com apenas 0, 1 e −1 na diagonal. Zeros aparecerão se e somente se o radical não for trivial.

Caso complexo

Ao trabalhar em um espaço sobre os números complexos, também se pode ir mais longe e é ainda mais fácil. Let Ser uma base ortogonal. ${\ displaystyle C = \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$

Definimos uma nova base  : ${\ displaystyle C '= \ {e' _ {1}, \ ldots, e '_ {n} \}}$

${\ displaystyle e '_ {i} = {\ begin {cases} e_ {i} & {\ text {if}} \; B (e_ {i}, e_ {i}) = 0 \\ e_ {i} / {\ sqrt {B (e_ {i}, e_ {i})}} & {\ text {if}} \; B (e_ {i}, e_ {i}) \ neq 0 \\\ end {cases }}}$

Agora, a nova representação de matriz A será uma matriz diagonal com apenas 0 e 1 na diagonal. Zeros aparecerão se e somente se o radical não for trivial.

Polaridades ortogonais

Seja B uma forma bilinear simétrica com um radical trivial no espaço V sobre o campo K com a característica não 2. Pode-se agora definir um mapa de D ( V ), o conjunto de todos os subespaços de V , para si mesmo:

${\ displaystyle \ alpha: D (V) \ rightarrow D (V): W \ mapsto W ^ {\ perp}.}$

Este mapa é uma polaridade ortogonal no espaço projetivo PG ( W ). Por outro lado, pode-se provar que todas as polaridades ortogonais são induzidas dessa maneira, e que duas formas bilineares simétricas com radical trivial induzem a mesma polaridade se e somente se forem iguais até a multiplicação escalar.

Referências

• Adkins, William A .; Weintraub, Steven H. (1992). Álgebra: uma abordagem por meio da teoria dos módulos . Textos de Pós-Graduação em Matemática . 136 . Springer-Verlag . ISBN   3-540-97839-9 . Zbl   0768.00003 .
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineares simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . ISBN   3-540-06009-X . Zbl   0292.10016 .
• Weisstein, Eric W. "Symmetric Bilinear Form" . MathWorld .