Pacote tangente unitário - Unit tangent bundle

Na geometria Riemanniana , o feixe tangente unitário de uma variedade Riemanniana ( M , g ), denotado por T ¹ M , UT ( M ) ou simplesmente UT M , é o feixe esférico unitário para o feixe tangente T ( M ). É um feixe de fibras sobre M cuja fibra em cada ponto é a esfera unitária no feixe tangente:

${\ displaystyle \ mathrm {UT} (M): = \ coprod _ {x \ in M} \ left \ {v \ in \ mathrm {T} _ {x} (M) \ left | g_ {x} (v , v) = 1 \ right. \ right \},}$

onde T _x ( M ) denota o espaço tangente a M em x . Assim, os elementos de UT ( M ) são pares ( x , v ), onde x é algum ponto da variedade ev é alguma direção tangente (de comprimento unitário) à variedade em x . O feixe tangente unitário é equipado com uma projeção natural

${\ displaystyle \ pi: \ mathrm {UT} (M) \ para M,}$

${\ displaystyle \ pi: (x, v) \ mapsto x,}$

que leva cada ponto do pacote ao seu ponto de base. A fibra π ^-1 ( x ) ao longo de cada ponto x ∈ M é um ( n -1) - esfera S ^{n -1} , onde N é a dimensão de M . O feixe tangente unitário é, portanto, um feixe de esferas sobre M com fibra S ^{n −1} .

A definição de feixe de esferas unitárias pode acomodar facilmente também os manifolds Finsler . Especificamente, se M é uma variedade equipada com uma métrica Finsler F  : T M  →  R , então o feixe de esferas unitárias é o subconjunto do feixe tangente cuja fibra em x é a indicatriz de F :

${\ displaystyle \ mathrm {UT} _ {x} (M) = \ left \ {v \ in \ mathrm {T} _ {x} (M) \ left | F (v) = 1 \ right. \ right \ }.}$

Se M é uma variedade infinita-dimensional (por exemplo, uma variedade de Banach , Fréchet ou Hilbert ), então UT ( M ) ainda pode ser pensado como o feixe de esferas unitárias para o feixe tangente T ( M ), mas a fibra π ^{- 1} ( x ) sobre x é então a esfera unitária de dimensão infinita no espaço tangente.

Estruturas

O feixe tangente unitário carrega uma variedade de estruturas geométricas diferenciais. A métrica em H induz uma estrutura de contacto no UT M . Isso é dado em termos de uma forma tautológica , definida em um ponto u de UT M (um vetor tangente unitário de M ) por

${\ displaystyle \ theta _ {u} (v) = g (u, \ pi _ {*} v) \,}$

onde representa a pushforward juntamente π do vector v  ∈ t _u UT M . ${\ displaystyle \ pi _ {*}}$

Geometricamente, esta estrutura de contacto pode ser considerada como a distribuição de (2 N -2) -planes que, no vector de unidade u , é a retirada do complemento ortogonal de L no espaço tangente de M . Esta é uma estrutura de contacto, para a fibra de UT M é, obviamente, um colector integral (o feixe vertical é em todo o grão de θ), e os restantes direcções tangentes são preenchidos, movendo-se a fibra de UT M . Assim, a variedade integral máxima de θ é (um conjunto aberto de) o próprio M.

Em um manifold Finsler, o formulário de contato é definido pela fórmula análoga

${\ displaystyle \ theta _ {u} (v) = g_ {u} (u, \ pi _ {*} v) \,}$

onde g _u é o tensor fundamental (o hessiano da métrica Finsler). Geometricamente, a distribuição associada de hiperplanos no ponto u  ∈ UT _x M é a imagem inversa sob π _* do hiperplano tangente à esfera unitária em T _x M em u .

A forma de volume θ∧ d θ ^{n -1} define uma medida em H , conhecido como a medida cinemática , ou medida Liouville , que é invariante sob o fluxo geodésica de M . Como uma medida de Radon , a medida cinemática μ é definida em funções contínuas compactamente suportadas ƒ em UT M por

${\ displaystyle \ int _ {UTM} f \, d \ mu = \ int _ {M} dV (p) \ int _ {UT_ {p} M} \ left.f \ right | _ {UT_ {p} M } \, d \ mu _ {p}}$

onde d V é o volume do elemento em M , e μ _p é o padrão rotacional invariante medida Borel na euclidiana esfera UT _p M .

A conexão Levi-Civita de M dá origem a uma divisão do feixe tangente

${\ displaystyle T (UTM) = H \ oplus V}$

em um espaço vertical V  = kerπ _* e horizontal espaço H em que π _* é um isomorfismo linear em cada ponto de UT M . Essa divisão induz uma métrica em UT M , declarando que essa divisão é uma soma direta ortogonal e definindo a métrica em H pelo retrocesso:

${\ displaystyle g_ {H} (v, w) = g (v, w), \ quad v, w \ in H}$

e definir a métrica em V como a métrica induzida a partir da incorporação da fibra UT _x M para o espaço euclidiano T _x M . Equipado com esta métrica e formulário de contato, o UT M se torna um coletor Sasakiano .

Bibliografia

• Jeffrey M. Lee: Manifolds and Differential Geometry . Estudos de Pós-Graduação em Matemática Vol. 107, American Mathematical Society, Providence (2009). ISBN  978-0-8218-4815-9
• Jürgen Jost : Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN  3-540-42627-2
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden : Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN  0-8053-0102-X