Conexão Levi-Civita - Levi-Civita connection

Na geometria Riemanniana ou pseudo Riemanniana (em particular a geometria Lorentziana da relatividade geral ), a conexão de Levi-Civita é a única conexão no feixe tangente de uma variedade (ou seja, conexão afim ) que preserva a métrica ( pseudo- ) Riemanniana e é a torção -gratuitamente.

O teorema fundamental da geometria Riemanniana afirma que existe uma conexão única que satisfaz essas propriedades.

Na teoria das variedades Riemanniana e pseudo-Riemanniana, o termo derivada covariante é freqüentemente usado para a conexão de Levi-Civita. Os componentes (coeficientes de estrutura) desta conexão com respeito a um sistema de coordenadas locais são chamados de símbolos de Christoffel .

História

A conexão Levi-Civita tem o nome de Tullio Levi-Civita , embora originalmente "descoberta" por Elwin Bruno Christoffel . Levi-Civita, junto com Gregorio Ricci-Curbastro , usou os símbolos de Christoffel para definir a noção de transporte paralelo e explorar a relação do transporte paralelo com a curvatura , desenvolvendo assim a noção moderna de holonomia .

Em 1869, Christoffel descobriu que os componentes da derivada intrínseca de um campo vetorial, ao mudar o sistema de coordenadas, se transformavam em componentes de um vetor contravariante. Essa descoberta foi o verdadeiro começo da análise de tensores.

Em 1906, LEJ Brouwer foi o primeiro matemático a considerar o transporte paralelo de um vetor para o caso de um espaço de curvatura constante .

Em 1917, Levi-Civita apontou sua importância para o caso de uma hipersuperfície imersa em um espaço euclidiano , ou seja, para o caso de uma variedade Riemanniana embutida em um espaço ambiente "maior". Ele interpretou a derivada intrínseca no caso de uma superfície embutida como o componente tangencial da derivada usual no espaço afim do ambiente. As noções de Levi-Civita de derivada intrínseca e deslocamento paralelo de um vetor ao longo de uma curva fazem sentido em uma variedade Riemanniana abstrata, mesmo que a motivação original dependesse de uma incorporação específica${\ displaystyle M ^ {n} \ subset \ mathbf {R} ^ {n (n + 1) / 2}.}$

Em 1918, independentemente de Levi-Civita, Jan Arnoldus Schouten obteve resultados análogos. No mesmo ano, Hermann Weyl generalizou os resultados de Levi-Civita.

Notação

• ( M , g ) denota uma variedade Riemanniana ou pseudo-Riemanniana .
• TM é o feixe de tangente de M .
• g é a Riemannianos ou métrica pseudo-Riemannianos de M .
• X , Y , Z são campos vetoriais suaves em M , ou seja, seções suavesde TM .
• [ X , Y ] é o suporte de Lie de X e Y . É novamente um campo vetorial suave.

A métrica g pode ter até dois vetores ou campos de vetores X , Y como argumentos. No primeiro caso, a saída é um número, o (pseudo) de produto interior de X e Y . Neste último caso, o produto interno de X _p , Y _p é feita em todos os pontos P no colector de modo a que g ( X , Y ) define uma função suave em M . Os campos vetoriais atuam (por definição) como operadores diferenciais em funções suaves. Em coordenadas locais , a ação lê ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

${\ displaystyle X (f) = X ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} f = X ^ {i} \ partial _ {i} f}$

onde a convenção de soma de Einstein é usada.

Definição formal

Uma conexão afim ∇ é chamada de conexão Levi-Civita se

1. preserva a métrica , ou seja, ∇ g = 0 .
2. é torção -livre , isto é, para qualquer vector de campos X e Y temos ∇ _X Y - ∇ _Y X = [ X , Y ] , em que [ X , Y ] é o suporte de Lie do vector de campos X e Y .

A condição 1 acima é às vezes chamada de compatibilidade com a métrica e a condição 2 às vezes é chamada de simetria, cf. Texto de Do Carmo.

Teorema fundamental da geometria (pseudo) Riemanniana

Teorema Cada variedade pseudo Riemanniana tem uma conexão Levi Civita única . ${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle \ nabla}$

prova : se existe uma conexão Levi-Civita, ela deve ser única. Para ver isso, desvende a definição da ação de uma conexão sobre tensores para encontrar

${\ displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} = (\ nabla _ {X} g) (Y, Z) + g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z).}$

Portanto, podemos escrever a condição 1 como

${\ displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z).}$

Pela simetria do tensor métrico , então encontramos: ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} + ​​Y {\ bigl (} g (Z, X) {\ bigr)} - Z {\ bigl (} g (Y, X ) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {X} Y + \ nabla _ {Y} X, Z) + g (\ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {Z} X, Y) + g ( \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Z} Y, X).}$

Pela condição 2, o lado direito é, portanto, igual a

${\ displaystyle 2g (\ nabla _ {X} Y, Z) -g ([X, Y], Z) + g ([X, Z], Y) + g ([Y, Z], X),}$

e encontramos a fórmula Koszul

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) = {\ tfrac {1} {2}} {\ Big \ {} X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)} + Y {\ bigl (} g (Z, X) {\ bigr)} - Z {\ bigl (} g (X, Y) {\ bigr)} + ​​g ([X, Y], Z) -g ([ Y, Z], X) -g ([X, Z], Y) {\ Big \}}.}$

Portanto, se existe uma conexão Levi-Civita, ela deve ser única, porque é arbitrária, não é degenerada e o lado direito não depende . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ nabla}$

Para provar a existência, observe que, para determinado campo vetorial e , o lado direito da expressão de Koszul é linear por função no campo vetorial , não apenas linear real. Conseqüentemente, pela não degeneração de , o lado direito define exclusivamente algum novo campo vetorial que denotamos sugestivamente como no lado esquerdo. Ao substituir a fórmula Koszul, agora verifica-se que para todos os campos de vetor e todas as funções${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}$${\ displaystyle X, Y, Z}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} (Y_ {1} + Y_ {2}), Z) = g (\ nabla _ {X} Y_ {1}, Z) + g (\ nabla _ {X} Y_ {2}, Z)}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} (fY), Z) = X (f) g (Y, Z) + fg (\ nabla _ {X} Y, Z)}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (\ nabla _ {X} Z, Y) = X {\ bigl (} g (Y, Z) {\ bigr)}}$

${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z) -g (\ nabla _ {Y} X, Z) = g ([X, Y], Z).}$

Portanto, a expressão Koszul define, de fato, uma conexão, e essa conexão é compatível com a métrica e é livre de torção, ou seja, é uma (daí a) conexão Levi-Civita.

Observe que, com pequenas variações, a mesma prova mostra que há uma conexão única que é compatível com a métrica e tem torção prescrita.

Símbolos de Christoffel

Deixe ser uma conexão afim no feixe tangente. Escolha as coordenadas locais com campos vetoriais de base de coordenadas e escreva para . Os símbolos de Christoffel em relação a essas coordenadas são definidos como ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle x ^ {1}, \ ldots, x ^ {n}}$${\ displaystyle \ partial _ {1}, \ ldots, \ partial _ {n}}$${\ displaystyle \ nabla _ {j}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {j}}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l}}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla _ {j} \ partial _ {k} = \ Gamma _ {jk} ^ {l} \ partial _ {l}}$

Os símbolos de Christoffel, inversamente, definem a conexão na vizinhança de coordenadas porque ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ nabla _ {X ^ {j} \ parcial _ {j}} Y = X ^ {j} \ nabla _ {j} Y = X ^ {j} \ nabla _ {j} (Y ^ {k} \ parcial _ {k}) = X ^ {j} {\ bigl (} \ parcial _ {j} (Y ^ {k}) \ parcial _ {k} + Y ^ { k} \ nabla _ {j} \ parcial _ {k} {\ bigr)} = X ^ {j} {\ bigl (} \ parcial _ {j} (Y ^ {k}) \ parcial _ {k} + Y ^ {k} \ Gamma _ {jk} ^ {l} \ parcial _ {l} {\ bigr)} = X ^ {j} {\ bigl (} \ parcial _ {j} (Y ^ {l}) + Y ^ {k} \ Gamma _ {jk} ^ {l} {\ bigr)} \ parcial _ {l}}$

isso é,

${\ displaystyle (\ nabla _ {j} Y) ^ {l} = \ partial _ {j} Y ^ {l} + \ Gamma _ {jk} ^ {l} Y ^ {k}}$

Uma conexão afim é compatível com um iff métrico ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ partial _ {i} {\ bigl (} g (\ partial _ {j}, \ partial _ {k}) {\ bigr)} = g (\ nabla _ {i} \ partial _ {j} , \ parcial _ {k}) + g (\ parcial _ {j}, \ nabla _ {i} \ parcial _ {k}) = g (\ Gamma _ {ij} ^ {l} \ parcial _ {l} , \ parcial _ {k}) + g (\ parcial _ {j}, \ Gamma _ {ik} ^ {l} \ parcial _ {l})}$

ou seja, se e somente se

${\ displaystyle \ partial _ {i} g_ {jk} = \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {lk} + \ Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {jl}.}$

Uma conexão afim ∇ é livre de torção iff

${\ displaystyle \ nabla _ {i} \ partial _ {j} - \ nabla _ {j} \ partial _ {i} = (\ Gamma _ {jk} ^ {l} - \ Gamma _ {kj} ^ {l }) \ parcial _ {l} = [\ parcial _ {i}, \ parcial _ {j}] = 0.}$

ou seja, se e somente se

${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l} = \ Gamma _ {kj} ^ {l}}$

é simétrico em seus dois índices inferiores.

Como se verifica tomando campos de vetores coordenados (ou computando diretamente), a expressão Koszul da conexão Levi-Civita derivada acima é equivalente a uma definição dos símbolos de Christoffel em termos de métrica como ${\ displaystyle X, Y, Z}$${\ displaystyle \ partial _ {j}, \ partial _ {k}, \ partial _ {l}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l} = {\ tfrac {1} {2}} g ^ {lr} \ left (\ partial _ {k} g_ {rj} + \ partial _ {j} g_ {rk} - \ parcial _ {r} g_ {jk} \ right)}$

onde, como de costume, estão os coeficientes do tensor métrico dual, ou seja, as entradas do inverso da matriz . ${\ displaystyle g ^ {ij}}$${\ displaystyle g_ {kl}}$

Derivada ao longo da curva

A ligação de Levi-Civita (como qualquer ligação afim) também define um derivado ao longo de curvas , por vezes designado por D .

Dada uma curva suave γ em ( M , g ) e um campo vetorial V ao longo de γ, sua derivada é definida por

${\ displaystyle D_ {t} V = \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} V.}$

Formalmente, D é a conexão de retração γ * ∇ no feixe de retração γ * TM .

Em particular, é um campo vetorial ao longo da própria curva γ . Se desaparecer, a curva é chamada de geodésica da derivada covariante. Formalmente, a condição pode ser reafirmada como o desaparecimento da conexão de recuo aplicada a : ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {*} \ nabla \ right) {\ dot {\ gamma}} \ equiv 0.}$

Se a derivada covariante é a conexão de Levi-Civita de uma certa métrica, então as geodésicas para a conexão são precisamente aquelas geodésicas da métrica que são parametrizadas proporcionalmente ao comprimento do arco.

Transporte paralelo

Em geral, o transporte paralelo ao longo de uma curva em relação a uma conexão define isomorfismos entre os espaços tangentes nos pontos da curva. Se a conexão for uma conexão de Levi-Civita, então esses isomorfismos são ortogonais - isto é, eles preservam os produtos internos nos vários espaços tangentes.

As imagens abaixo mostram o transporte paralelo da conexão Levi-Civita associada a duas diferentes métricas Riemannianas no plano, expressas em coordenadas polares . A métrica da imagem à esquerda corresponde à métrica euclidiana padrão , enquanto a métrica da direita tem forma padrão em coordenadas polares e, portanto, preserva a tangente do vetor ao círculo. Esta segunda métrica possui uma singularidade na origem, como pode ser visto ao expressá-la em coordenadas cartesianas: ${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2}}$${\ displaystyle {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta}}$

${\ displaystyle dr = {\ frac {xdx + ydy} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}$

${\ displaystyle d \ theta = {\ frac {xdy-ydx} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

${\ displaystyle dr ^ {2} + d \ theta ^ {2} = {\ frac {(xdx + ydy) ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} + {\ frac { (xdy-ydx) ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}}$

Exemplo: a esfera unitária em R ³

Seja ⟨,⟩ o produto escalar usual em R ³ . Seja S ² a esfera unitária em R ³ . O espaço tangente a S ² em um ponto m é naturalmente identificado com o subespaço vetorial de R ^{3 que} consiste em todos os vetores ortogonais a m . Segue-se que um campo vetorial Y em S ² pode ser visto como um mapa Y  : S ² → R ³ , que satisfaz

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} Y (m), m {\ bigr \ rangle} = 0, \ qquad \ forall m \ in \ mathbf {S} ^ {2}.}$

Designam como d _m Y ( X ) o derivado covariante do mapa Y na direcção do vector X . Então nós temos:

Lema: a fórmula

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {X} Y \ right) (m) = d_ {m} Y (X) + \ langle X (m), Y (m) \ rangle m}$

define uma conexão afim em S ² com torção desaparecida.

Prova: É simples provar que ∇ satisfaz a identidade de Leibniz e é C ^∞ ( S ² ) linear na primeira variável. Também é um cálculo simples mostrar que essa conexão não tem torção. Portanto, tudo o que precisa ser provado aqui é que a fórmula acima realmente define um campo vetorial. Ou seja, precisamos provar que para todo m em S ²

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} \ left (\ nabla _ {X} Y \ right) (m), m {\ bigr \ rangle} = 0 \ qquad (1).}$

Considere o mapa f que envia cada m em S ² para ⟨ Y ( m ), m ⟩ , que é sempre 0. O mapa f é constante, por isso as suas desaparece diferenciais. Em particular

${\ displaystyle d_ {m} f (X) = {\ bigl \ langle} d_ {m} Y (X), m {\ bigr \ rangle} + {\ bigl \ langle} Y (m), X (m) {\ bigr \ rangle} = 0.}$

A equação (1) acima segue. QED

Na verdade, essa conexão é a conexão de Levi-Civita para a métrica em S ² herdada de R ³ . Na verdade, pode-se verificar que esta conexão preserva a métrica.

Veja também

• Conexão Weitzenböck

Notas

Referências

• Boothby, William M. (1986). Uma introdução às variedades diferenciáveis ​​e à geometria Riemanniana . Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos da geometria diferencial . John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.Veja Volume I pág. 158

links externos

• "Levi-Civita connection" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: Conexão Levi-Civita
• PlanetMath: Conexão Levi-Civita
• Conexão Levi-Civita no Manifold Atlas