Manifold Fréchet - Fréchet manifold

Em matemática , em particular na análise não linear , uma variedade de Fréchet é um espaço topológico modelado em um espaço de Fréchet da mesma forma que uma variedade é modelada em um espaço euclidiano .

Mais precisamente, uma variedade de Fréchet consiste em um espaço de Hausdorff com um atlas de gráficos de coordenadas sobre espaços de Fréchet cujas transições são mapeamentos suaves . Assim tem uma capa aberta e um conjunto de homeomorfismos nas suas imagens, onde estão os espaços Fréchet , tais que ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ left \ {U _ {\ alpha} \ right \} _ {\ alpha \ in I},}$ ${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha}: U _ {\ alpha} \ a F _ {\ alpha}}$${\ displaystyle F _ {\ alpha}}$

é suave para todos os pares de índices ${\ displaystyle \ alpha, \ beta.}$

Classificação até homeomorfismo

Não é de forma alguma verdade que uma variedade de dimensão finita é globalmente homeomórfica ou mesmo um subconjunto aberto de. No entanto, em um ambiente de dimensão infinita, é possível classificar variedades Fréchet " bem comportadas " até homeomorfismo muito bem . Uma 1969 teorema de David Henderson afirma que cada infinito-dimensional, separável , métrica colector Fréchet pode ser incorporado como um subconjunto aberto do, separável infinito-dimensional espaço de Hilbert , (até isomorfismo linear, existe apenas um tal espaço). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H}$

O homeomorfismo de incorporação pode ser usado como um gráfico global para Assim, no caso de dimensão infinita, separável e métrica, até o homeomorfismo, as "únicas" variedades de Fréchet topológicas são os subconjuntos abertos do espaço de Hilbert de dimensão infinita separável. Mas no caso de variedades de Fréchet diferenciáveis ou suaves (até a noção apropriada de difeomorfismo) isso falha. ${\ displaystyle X.}$

Veja também

• Variedade de Banach , da qual uma variedade de Fréchet é uma generalização
• Manifolds de mapeamentos

Referências

• Hamilton, Richard S. (1982). "Teorema da função inversa de Nash e Moser" . Touro. Amer. Matemática. Soc. (NS) . 7 (1): 65–222. doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2 . ISSN  0273-0979 . MR 656198
• Henderson, David W. (1969). "Variedades de dimensão infinita são subconjuntos abertos do espaço de Hilbert" . Touro. Amer. Matemática. Soc . 75 (4): 759–762. doi : 10.1090 / S0002-9904-1969-12276-7 . MR 0247634