Número perfeito unitário - Unitary perfect number

Um número perfeito unitário é um inteiro que é a soma de seus divisores unitários positivos próprios , não incluindo o próprio número. (Um divisor d de um número n é um divisor unitário se d e n / d não compartilham fatores comuns.) Alguns números perfeitos não são números perfeitos unitários e alguns números perfeitos unitários não são números perfeitos regulares.

Exemplos conhecidos

O número 60 é um número perfeito unitário, porque 1, 3, 4, 5, 12, 15 e 20 são seus divisores unitários adequados, e 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Os primeiros cinco , e só conhecido, números perfeitos são unitários , , , , e (sequência A002827 no OEIS ). As respectivas somas de seus divisores unitários adequados são as seguintes: ${\ displaystyle 6 = 2 \ vezes 3}$${\ displaystyle 60 = 2 ^ {2} \ times 3 \ times 5}$${\ displaystyle 90 = 2 \ vezes 3 ^ {2} \ vezes 5}$${\ displaystyle 87360 = 2 ^ {6} \ times 3 \ times 5 \ times 7 \ times 13}$${\ displaystyle 146361946186458562560000 = 2 ^ {18} \ vezes 3 \ vezes 5 ^ {4} \ vezes 7 \ vezes 11 \ vezes 13 \ vezes 19 \ vezes 37 \ vezes 79 \ vezes 109 \ vezes 157 \ vezes 313}$

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 divisores na soma)

Propriedades

Não existem números perfeitos unitários ímpares. Isso ocorre porque 2 ^{d * ( n )} divide a soma dos divisores unitários de um número ímpar n , onde d * ( n ) é o número de divisores primos distintos de n . Obtemos isso porque a soma de todos os divisores unitários é uma função multiplicativa e temos a soma dos divisores unitários de uma potência de um primo p ^a é p ^a + 1 que é par para todos os primos ímpares p . Portanto, um número perfeito unitário ímpar deve ter apenas um fator primo distinto, e não é difícil mostrar que uma potência de primo não pode ser um número perfeito unitário, uma vez que não há divisores suficientes.

Não se sabe se existem ou não infinitos números perfeitos unitários, ou mesmo se existem outros exemplos além dos cinco já conhecidos. Um sexto desses números teria pelo menos nove fatores primos ímpares.

Referências

• Richard K. Guy (2004). Problemas não resolvidos na teoria dos números . Springer-Verlag . pp. 84–86. ISBN 0-387-20860-7. Seção B3.
• Paulo Ribenboim (2000). Meus números, meus amigos: palestras populares sobre a teoria dos números . Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual da teoria dos números que eu . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300 .
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual da teoria dos números II . Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .