O problema de Wetzel - Wetzel's problem
Em matemática , o problema de Wetzel diz respeito aos limites da cardinalidade de um conjunto de funções analíticas que, para cada um de seus argumentos, assumem poucos valores distintos. Recebeu o nome de John Wetzel, um matemático da Universidade de Illinois em Urbana – Champaign .
Seja F uma família de funções analíticas distintas em um determinado domínio com a propriedade de que, para cada x no domínio, as funções em F mapeiam x para um conjunto contável de valores. Em sua tese de doutorado, Wetzel perguntou se essa suposição implica que F é necessariamente contável em si mesma. Paul Erdős, por sua vez, soube do problema na Universidade de Michigan , provavelmente por meio de Lee Albert Rubel . Em seu artigo sobre o problema, Erdős creditou a um matemático anônimo a observação de que, quando cada x é mapeado para um conjunto finito de valores, F é necessariamente finito.
No entanto, como Erdős mostrou, a situação para conjuntos contáveis é mais complicada: a resposta à pergunta de Wetzel é sim se e somente se a hipótese do contínuo for falsa. Ou seja, a existência de um conjunto incontável de funções que mapeia cada argumento x para um conjunto de valores contáveis é equivalente à inexistência de um conjunto incontável de números reais cuja cardinalidade é menor que a cardinalidade do conjunto de todos os números reais. Uma direção dessa equivalência também foi provada independentemente, mas não publicada, por outro matemático da UIUC, Robert Dan Dixon. Decorre da independência da hipótese do contínuo, provada em 1963 por Paul Cohen , que a resposta ao problema de Wetzel é independente da teoria dos conjuntos de ZFC . A prova de Erdős é tão curta e elegante que é considerada uma das Provas do LIVRO .
No caso de a hipótese do contínuo ser falsa, Erdős perguntou se existe uma família de funções analíticas, com a cardinalidade do contínuo, de forma que cada número complexo tenha um conjunto de imagens menor que o contínuo. Como Ashutosh Kumar e Saharon Shelah provaram mais tarde, as respostas positivas e negativas a esta pergunta são consistentes.