Transformada Abel - Abel transform

Em matemática , a transformada de Abel , denominada em homenagem a Niels Henrik Abel , é uma transformada integral freqüentemente usada na análise de funções esfericamente simétricas ou axialmente simétricas. A transformada Abel de uma função f ( r ) é dada por

${\ displaystyle F (y) = 2 \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ frac {f (r) r} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}} \, dr.}$

Assumindo que f ( r ) cai para zero mais rapidamente do que 1 / r , a transformada de Abel inversa é dada por

${\ displaystyle f (r) = - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {r} ^ {\ infty} {\ frac {dF} {dy}} \, {\ frac {dy} { \ sqrt {y ^ {2} -r ^ {2}}}}.}$

Na análise de imagem , a transformada de Abel direta é usada para projetar uma função de emissão opticamente fina e axialmente simétrica em um plano, e a transformada de Abel inversa é usada para calcular a função de emissão dada uma projeção (ou seja, uma varredura ou uma fotografia) dessa emissão função.

Na espectroscopia de absorção de chamas ou plumas cilíndricas, a transformada de Abel direta é a absorvância integrada ao longo de um raio com a distância y mais próxima do centro da chama, enquanto a transformada de Abel inversa fornece o coeficiente de absorção local a uma distância r do centro. A transformação de Abel é limitada a aplicações com geometrias axialmente simétricas. Para casos assimétricos mais gerais, algoritmos de reconstrução mais orientados para geral, como técnica de reconstrução algébrica (ART), maximização da expectativa de máxima verossimilhança (MLEM), algoritmos de retroprojeção filtrada (FBP) devem ser empregados.

Nos últimos anos, a transformada Abel inversa (e suas variantes) se tornou a pedra angular da análise de dados em imagens de íons de fotofragmento e imagens de fotoelétrons . Entre as extensões mais notáveis ​​recentes da transformada de Abel inversa estão os métodos de "casca de cebola" e "expansão do conjunto de base" (BASEX) de análise de fotoelétrons e fotoion.

Interpretação geométrica

Uma interpretação geométrica da transformada de Abel em duas dimensões. Um observador (I) olha ao longo de uma linha paralela ao eixo x a uma distância y acima da origem. O que o observador vê é a projeção (isto é, a integral) da função circularmente simétrica f ( r ) ao longo da linha de visão. A função f ( r ) é representada em cinza nesta figura. Supõe-se que o observador está localizado infinitamente longe da origem, de modo que os limites de integração são ± ∞.

Em duas dimensões, a transformada de Abel F ( y ) pode ser interpretada como a projeção de uma função circularmente simétrica f ( r ) ao longo de um conjunto de linhas paralelas de visão a uma distância y da origem. Referindo-se à figura à direita, o observador (I) verá

${\ displaystyle F (y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right) \, dx,}$

onde f ( r ) é a função circularmente simétrica representada pela cor cinza na figura. Presume-se que o observador está realmente em x  = ∞, de modo que os limites de integração são ± ∞, e todas as linhas de visão são paralelas ao eixo x . Perceber que o raio r está relacionada com X e Y como R ²  =  x ²  +  y ² , segue-se que

${\ displaystyle dx = {\ frac {r \, dr} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}}$

para x > 0. Como f ( r ) é uma função par em x , podemos escrever

${\ displaystyle F (y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right) \, dx = 2 \ int _ {| y |} ^ {\ infty} f (r) \, {\ frac {r \, dr} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}},}$

que produz a transformada Abel de f ( r ).

A transformada de Abel pode ser estendida para dimensões superiores. De particular interesse é a extensão para três dimensões. Se tivermos uma função axialmente simétrica f ( ρ ,  z ), onde ρ ²  =  x ²  +  y ² é o raio cilíndrico, então podemos querer saber a projeção dessa função em um plano paralelo ao eixo z . Sem perda de generalidade , podemos tomar esse plano como o plano yz , de modo que

${\ displaystyle F (y, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ rho, z) \, dx = 2 \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ frac { f (\ rho, z) \ rho \, d \ rho} {\ sqrt {\ rho ^ {2} -y ^ {2}}}},}$

que é apenas a transformada Abel de f ( ρ ,  z ) em ρ e y .

Um tipo particular de simetria axial é a simetria esférica. Nesse caso, temos uma função f ( r ), onde r ²  =  x ²  +  y ²  +  z ² . A projeção, digamos, no plano yz será circularmente simétrica e expressa como F ( s ), onde s ²  =  y ²  +  z ² . Fazendo a integração, temos

${\ displaystyle F (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (r) \, dx = 2 \ int _ {s} ^ {\ infty} {\ frac {f (r) r \, dr} {\ sqrt {r ^ {2} -s ^ {2}}}},}$

que é, novamente, a transformada de Abel de f ( r ) em r e s .

Verificação da transformada de Abel inversa

Supondo que seja continuamente diferenciável e , caia para zero mais rápido do que , podemos definir e . A integração por partes então produz ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle 1 / r}$${\ displaystyle u = f (r)}$${\ displaystyle v = {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}$

${\ displaystyle F (y) = - 2 \ int _ {y} ^ {\ infty} f '(r) {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}} \, dr.}$

Diferenciando formalmente ,

${\ displaystyle F '(y) = 2y \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ frac {f' (r)} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}} \ , dr.}$

Agora substitua isso na fórmula inversa de transformação de Abel:

${\ displaystyle - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {r} ^ {\ infty} {\ frac {F '(y)} {\ sqrt {y ^ {2} -r ^ {2 }}}} \, dy = \ int _ {r} ^ {\ infty} \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ frac {-2y} {\ pi {\ sqrt {(y ^ {2} -r ^ {2}) (s ^ {2} -y ^ {2})}}}} f '(s) \, dsdy.}$

Pelo teorema de Fubini , a última integral é igual a

${\ displaystyle \ int _ {r} ^ {\ infty} \ int _ {r} ^ {s} {\ frac {-2y} {\ pi {\ sqrt {(y ^ {2} -r ^ {2} ) (s ^ {2} -y ^ {2})}}}} \, dyf '(s) \, ds = \ int _ {r} ^ {\ infty} (- 1) f' (s) \ , ds = f (r).}$

Generalização da transformada Abel para F ( y ) descontínuo

Considere o caso em que é descontínuo em , onde muda abruptamente seu valor por um valor finito . Ou seja, e são definidos por . Tal situação é encontrada em polímeros amarrados ( escova de polímero ) exibindo uma separação de fase vertical, onde representa o perfil de densidade do polímero e está relacionada à distribuição espacial de monômeros terminais não amarrados dos polímeros. ${\ displaystyle F (y)}$${\ displaystyle y = y _ {\ Delta}}$${\ displaystyle \ Delta F}$${\ displaystyle y _ {\ Delta}}$${\ displaystyle \ Delta F}$${\ displaystyle \ Delta F \ equiv \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} [F (y _ {\ Delta} - \ epsilon) -F (y _ {\ Delta} + \ epsilon)]}$${\ displaystyle F (y)}$${\ displaystyle f (r)}$

A transformada Abel de uma função f ( r ) é, nessas circunstâncias, novamente dada por:

${\ displaystyle F (y) = 2 \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ frac {f (r) r \, dr} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}} }.}$

Assumindo que f ( r ) cai para zero mais rapidamente do que 1 / r , a transformada de Abel inversa é, no entanto, dada por

${\ displaystyle f (r) = \ left [{\ frac {1} {2}} \ delta (r-y _ {\ Delta}) {\ sqrt {1- (y _ {\ Delta} / r) ^ {2 }}} - {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {H (y _ {\ Delta} -r)} {\ sqrt {y _ {\ Delta} ^ {2} -r ^ {2}} }} \ right] \ Delta F - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {r} ^ {\ infty} {\ frac {dF} {dy}} {\ frac {dy} {\ sqrt {y ^ {2} -r ^ {2}}}}.}$

onde está a função delta de Dirac e a função de etapa de Heaviside . A versão estendida da transformada Abel para F descontínuo é comprovada ao aplicar a transformada Abel para deslocada, contínua , e se reduz à transformada Abel clássica quando . Se houver mais de uma descontinuidade, deve-se introduzir deslocamentos para qualquer um deles para chegar a uma versão generalizada da transformada Abel inversa que contém n termos adicionais, cada um deles correspondendo a uma das n descontinuidades. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle H (x)}$${\ displaystyle F (y)}$${\ displaystyle \ Delta F = 0}$${\ displaystyle F (y)}$

Relacionamento com outras transformações integrais

Relacionamento com as transformações de Fourier e Hankel

A transformada de Abel é um membro do ciclo FHA de operadores integrais. Por exemplo, em duas dimensões, se definirmos A como o operador de transformação Abel, F como o operador de transformação de Fourier e H como o operador de transformação de Hankel de ordem zero , então o caso especial do teorema da fatia de projeção para funções circularmente simétricas afirma que

${\ displaystyle FA = H.}$

Em outras palavras, aplicar a transformada de Abel a uma função unidimensional e, em seguida, aplicar a transformada de Fourier a esse resultado é o mesmo que aplicar a transformada de Hankel a essa função. Este conceito pode ser estendido para dimensões superiores.

Relação com a transformação Radon

A transformada de Abel pode ser vista como a transformada de Radon de uma função 2D isotrópica f ( r ). Como f ( r ) é isotrópica, sua transformada Radon é a mesma em diferentes ângulos do eixo de visão. Portanto, a transformada de Abel é uma função da distância ao longo do eixo de visualização apenas.

Veja também

• Ocultação de rádio GPS

Referências

• Bracewell, R. (1965). A transformada de Fourier e suas aplicações . Nova York: McGraw-Hill. ISBN   0-07-007016-4 .

links externos