Transformada de Hankel - Hankel transform

Em matemática , a transformada de Hankel expressa qualquer função dada f ( r ) como a soma ponderada de um número infinito de funções de Bessel do primeiro tipo J _ν ( kr ) . As funções de Bessel na soma são todas da mesma ordem ν, mas diferem em um fator de escala k ao longo do eixo r . O coeficiente necessário F _ν de cada função de Bessel na soma, em função do fator de escala k, constitui a função transformada. A transformada de Hankel é uma transformada integral e foi desenvolvida pela primeira vez pelo matemático Hermann Hankel . É também conhecida como transformada de Fourier-Bessel. Assim como a transformada de Fourier para um intervalo infinito está relacionada à série de Fourier em um intervalo finito, a transformada de Hankel em um intervalo infinito está relacionada à série de Fourier-Bessel em um intervalo finito.

Definição

A transformada de Hankel de ordem de uma função f ( r ) é dada por ${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle F _ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) J _ {\ nu} (kr) \, r \, \ mathrm {d} r,}$

onde está a função de Bessel do primeiro tipo de ordem com . A transformada inversa de Hankel de F _ν ( k ) é definida como ${\ displaystyle J _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu \ geq -1/2}$

${\ displaystyle f (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} F _ {\ nu} (k) J _ {\ nu} (kr) \, k \, \ mathrm {d} k,}$

que pode ser prontamente verificado usando a relação de ortogonalidade descrita abaixo.

Domínio de definição

A inversão de uma transformada de Hankel de uma função f ( r ) é válida em todos os pontos em que f ( r ) é contínua, desde que a função seja definida em (0, ∞), é contínua por partes e de variação limitada em cada subintervalo finito em (0, ∞) e

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | \, r ^ {\ frac {1} {2}} \, \ mathrm {d} r <\ infty.}$

No entanto, como a transformada de Fourier, o domínio pode ser estendido por um argumento de densidade para incluir algumas funções cuja integral acima não é finita, por exemplo . ${\ displaystyle f (r) = (1 + r) ^ {- 3/2}}$

Definição alternativa

Uma definição alternativa diz que a transformada de Hankel de g ( r ) é

${\ displaystyle h _ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r) J _ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ mathrm {d } r.}$

As duas definições estão relacionadas:

Se então${\ displaystyle g (r) = f (r) {\ sqrt {r}}}$${\ displaystyle h _ {\ nu} (k) = F _ {\ nu} (k) {\ sqrt {k}}.}$

Isso significa que, como na definição anterior, a transformada de Hankel definida dessa forma também é sua própria inversa:

${\ displaystyle g (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h _ {\ nu} (k) J _ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ mathrm {d } k.}$

O domínio óbvio agora tem a condição

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | g (r) | \, \ mathrm {d} r <\ infty,}$

mas isso pode ser estendido. De acordo com a referência dada acima, podemos tomar a integral como o limite, já que o limite superior vai para o infinito (uma integral imprópria ao invés de uma integral de Lebesgue ), e desta forma a transformada de Hankel e seu inverso funcionam para todas as funções em L ² (0, ∞).

Transformando a equação de Laplace

A transformada de Hankel pode ser usada para transformar e resolver a equação de Laplace expressa em coordenadas cilíndricas. Sob a transformada de Hankel, o operador de Bessel torna-se uma multiplicação por . No caso de simetria axial, a equação diferencial parcial é transformada como ${\ displaystyle -q ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0} \ left \ {{\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r} } {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial z ^ {2}}} \ direita \} = - q ^ {2} U + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} U,}$

que é uma equação diferencial ordinária na variável transformada . ${\ displaystyle U}$

Ortogonalidade

As funções de Bessel formam uma base ortogonal em relação ao fator de ponderação r :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} J _ {\ nu} (kr) J _ {\ nu} (k'r) \, r \, \ mathrm {d} r = {\ frac {\ delta (k-k ')} {k}}, \ quad k, k'> 0.}$

O teorema de Plancherel e o teorema de Parseval

Se f ( r ) e g ( r ) são tais que suas transformadas de Hankel F _ν ( k ) e G _ν ( k ) são bem definidas, então o teorema de Plancherel afirma

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) g (r) \, r \, \ mathrm {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty} F _ {\ nu} (k) G _ {\ nu} (k) \, k \, \ mathrm {d} k.}$

Teorema de Parseval , que afirma

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | ^ {2} \, r \, \ mathrm {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty} | F_ { \ nu} (k) | ^ {2} \, k \, \ mathrm {d} k,}$

é um caso especial do teorema de Plancherel. Esses teoremas podem ser provados usando a propriedade de ortogonalidade.

Relação com a transformada de Fourier multidimensional

A transformada de Hankel aparece quando se escreve a transformada de Fourier multidimensional em coordenadas hiperesféricas , razão pela qual a transformada de Hankel freqüentemente aparece em problemas físicos com simetria cilíndrica ou esférica.

Considere uma função de um vetor dimensional r . Sua transformada de Fourier dimensional é definida como${\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$${\ textstyle d}$${\ textstyle d}$

Para reescrevê-lo em coordenadas hiperesféricas, podemos usar a decomposição de uma onda plana em harmônicos hiperesféricos -dimensionais :${\ textstyle d}$${\ displaystyle Y_ {l, m}}$onde e são os conjuntos de todos os ângulos hiperesféricos no -space e -space. Isso fornece a seguinte expressão para a transformada de Fourier dimensional em coordenadas hiperesféricas:${\ textstyle \ Omega _ {\ mathbf {r}}}$${\ textstyle \ Omega _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ textstyle d}$Se nos expandirmos e em harmônicos hiperesféricos:${\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle F (\ mathbf {k})}$a transformada de Fourier em coordenadas hiperesféricas simplifica paraIsso significa que funções com dependência angular na forma de um harmônico hiperesférico retêm-no na transformada de Fourier multidimensional, enquanto a parte radial sofre a transformada de Hankel (até alguns fatores extras como ). ${\ textstyle r ^ {d / 2-1}}$

Casos especiais

Transformada de Fourier em duas dimensões

Se uma função bidimensional f ( r ) é expandida em uma série multipolar ,

${\ displaystyle f (r, \ theta) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {m} (r) e ^ {im \ theta _ {\ mathbf {r}}},}$

então sua transformada de Fourier bidimensional é dada por

Ondeé a transformada de Hankel de ordem -ésima (neste caso, desempenha o papel do momento angular, que foi denotado por na seção anterior). ${\ textstyle m}$${\ displaystyle f_ {m} (r)}$${\ textstyle m}$${\ textstyle l}$

Transformada de Fourier em três dimensões

Se uma função tridimensional f ( r ) é expandida em uma série multipolar sobre harmônicos esféricos ,

${\ displaystyle f (r, \ theta _ {\ mathbf {r}}, \ varphi _ {\ mathbf {r}}) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} f_ {l, m} (r) Y_ {l, m} (\ theta _ {\ mathbf {r}}, \ varphi _ {\ mathbf {r}}),}$

então sua transformada de Fourier tridimensional é dada por

Ondeé a transformada de Hankel de ordem . ${\ displaystyle {\ sqrt {r}} f_ {l, m} (r)}$${\ textstyle (l + 1/2)}$

Este tipo de transformada de Hankel de ordem meio-inteira também é conhecida como transformada esférica de Bessel.

Transformada de Fourier em dimensões d (caso radialmente simétrico)

Se uma função d- dimensional f ( r ) não depende de coordenadas angulares, então sua transformada de Fourier d- dimensional F ( k ) também não depende de coordenadas angulares e é dada por

que é a transformada de Hankel de de ordem até um fator de . ${\ displaystyle r ^ {d / 2-1} f (r)}$${\ textstyle (d / 2-1)}$${\ displaystyle (2 \ pi) ^ {d / 2}}$

Funções 2D dentro de um raio limitado

Se uma função bidimensional f ( r ) é expandida em uma série multipolar e os coeficientes de expansão f _m são suficientemente suaves perto da origem e zero fora de um raio R , a parte radial f ( r ) / r ^m pode ser expandida em um série de potências de 1- (r / R) ^ 2 :

${\ displaystyle f_ {m} (r) = r ^ {m} \ sum _ {t \ geq 0} f_ {m, t} \ left (1- \ left ({\ tfrac {r} {R}} \ direita) ^ {2} \ right) ^ {t}, \ quad 0 \ leq r \ leq R,}$

de modo que a transformada de Fourier bidimensional de f ( r ) torna-se

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} F (\ mathbf {k}) & = 2 \ pi \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ sum _ {t } f_ {m, t} \ int _ {0} ^ {R} r ^ {m} \ left (1- \ left ({\ tfrac {r} {R}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {t} J_ {m} (kr) r \, \ mathrm {d} r && \\ & = 2 \ pi \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} R ^ {m + 2} \ sum _ {t} f_ {m, t} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {m + 1} (1-x ^ {2}) ^ {t} J_ {m} (kxR) \, \ mathrm {d} x && (x = {\ tfrac {r} {R}}) \\ & = 2 \ pi \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ { im \ theta _ {k}} R ^ {m + 2} \ sum _ {t} f_ {m, t} {\ frac {t! 2 ^ {t}} {(kR) ^ {1 + t}} } J_ {m + t + 1} (kR), \ end {alinhado}}}$

onde a última igualdade segue de §6.567.1 de. Os coeficientes de expansão f _{m, t} são acessíveis com técnicas discretas de transformada de Fourier : se a distância radial for escalada com

${\ displaystyle r / R \ equiv \ sin \ theta, \ quad 1- (r / R) ^ {2} = \ cos ^ {2} \ theta,}$

os coeficientes da série Fourier-Chebyshev g emergem como

${\ displaystyle f (r) \ equiv r ^ {m} \ sum _ {j} g_ {m, j} \ cos (j \ theta) = r ^ {m} \ sum _ {j} g_ {m, j } T_ {j} (\ cos \ theta).}$

Usando a reexpansão

${\ displaystyle \ cos (j \ theta) = 2 ^ {j-1} \ cos ^ {j} \ theta - {\ frac {j} {1}} 2 ^ {j-3} \ cos ^ {j- 2} \ theta + {\ frac {j} {2}} {\ binom {j-3} {1}} 2 ^ {j-5} \ cos ^ {j-4} \ theta - {\ frac {j } {3}} {\ binom {j-4} {2}} 2 ^ {j-7} \ cos ^ {j-6} \ theta + \ cdots}$

produz f _{m, t} expresso como somas de g _{m, j} .

Este é um sabor das técnicas de transformação rápida de Hankel.

Relação com as transformações de Fourier e Abel

A transformada de Hankel é um membro do ciclo FHA de operadores integrais. Em duas dimensões, se definirmos A como o operador de transformação de Abel , F como o operador de transformação de Fourier e H como o operador de transformação de Hankel de ordem zero, então o caso especial do teorema da fatia de projeção para funções circularmente simétricas afirma que

${\ displaystyle FA = H.}$

Em outras palavras, aplicar a transformada de Abel a uma função unidimensional e, em seguida, aplicar a transformada de Fourier a esse resultado é o mesmo que aplicar a transformada de Hankel a essa função. Este conceito pode ser estendido para dimensões superiores.

Avaliação numérica

Uma abordagem simples e eficiente para a avaliação numérica da transformada de Hankel é baseada na observação de que ela pode ser lançada na forma de uma convolução por uma mudança logarítmica de variáveis

Nessas novas variáveis, a transformação de Hankel lêOndeAgora a integral pode ser calculada numericamente com complexidade usando a transformada rápida de Fourier . O algoritmo pode ser ainda mais simplificado usando uma expressão analítica conhecida para a transformada de Fourier de :${\ textstyle O (N \ log N)}$ ${\ textstyle {\ tilde {J}} _ {\ nu}}$

$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ tilde {J}} _ {\ nu} (x) e ^ {- iqx} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {\ nu + 1 + n-iq} {2}} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {\ nu + 1-n + iq} {2}} \ right )}} 2 ^ {n-iq} e ^ {iq \ ln (k_ {0} r_ {0})}.}$$

A escolha ideal dos parâmetros depende das propriedades de , em particular seu comportamento assintótico em e . ${\ textstyle r_ {0}, k_ {0}, n}$${\ textstyle f (r)}$${\ textstyle r \ rightarrow 0}$${\ textstyle r \ rightarrow \ infty}$

Este algoritmo é conhecido como "transformada de Hankel quase rápida" ou simplesmente "transformada de Hankel rápida".

Uma vez que é baseado na transformação rápida de Fourier em variáveis ​​logarítmicas, deve ser definido em uma grade logarítmica. Para funções definidas em uma grade uniforme, uma série de outros algoritmos existem, incluindo

quadratura direta , métodos baseados no teorema de fatia de projeção e métodos que usam a expansão assintótica de funções de Bessel. ${\ textstyle f (r)}$

Alguns pares de transformação de Hankel

${\ displaystyle f (r)}$	${\ displaystyle F_ {0} (k)}$
${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle {\ frac {\ delta (k)} {k}}}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {k}}}$
${\ displaystyle r}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {k ^ {3}}}}$
${\ displaystyle r ^ {3}}$	${\ displaystyle {\ frac {9} {k ^ {5}}}}$
${\ displaystyle r ^ {m}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {m + 1} \ Gamma \ left ({\ tfrac {m} {2}} + 1 \ right)} {k ^ {m + 2} \ Gamma \ left (- { \ tfrac {m} {2}} \ right)}}, \ quad -2 <\ Re (m) <- {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- k | z |}} {k}}}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {z ^ {2} + r ^ {2}}}}$	${\ displaystyle K_ {0} (kz), \ quad z \ in \ mathbf {C}}$
${\ displaystyle {\ frac {e ^ {iar}} {r}}}$	${\ displaystyle {\ frac {i} {\ sqrt {a ^ {2} -k ^ {2}}}}, \ quad a> 0, k <a}$
	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {k ^ {2} -a ^ {2}}}}, \ quad a> 0, k> a}$
${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {2}} a ^ {2} r ^ {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2}}} e ^ {- {\ tfrac {k ^ {2}} {2a ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} J_ {0} (lr) e ^ {- sr}}$	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi {\ sqrt {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}}} K {\ bigg (} {\ sqrt {\ frac {4kl} {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}} {\ bigg)}}$
${\ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F_ {0}} {\ mathrm {d} k}}}$

${\ displaystyle f (r)}$	${\ displaystyle F _ {\ nu} (k)}$
${\ displaystyle r ^ {s}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {s + 1}} {k ^ {s + 2}}} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} (2+ \ nu + s) \ right)} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} (\ nu -s))}}}$
${\ displaystyle r ^ {\ nu -2s} \ Gamma (s, r ^ {2} h)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ tfrac {k} {2}} \ right) ^ {2s- \ nu -2} \ gamma \ left (1-s + \ nu, { \ tfrac {k ^ {2}} {4h}} \ right)}$
${\ displaystyle e ^ {- r ^ {2}} r ^ {\ nu} U (a, b, r ^ {2})}$	${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (2+ \ nu -b)} {2 \ Gamma (2+ \ nu -b + a)}} \ left ({\ tfrac {k} {2}} \ right) ^ {\ nu} e ^ {- {\ frac {k ^ {2}} {4}}} \, _ {1} F_ {1} \ left (a, 2 + a-b + \ nu, {\ tfrac {k ^ {2}} {4}} \ direita)}$
${\ displaystyle r ^ {n} J _ {\ mu} (lr) e ^ {- sr}}$	Expressável em termos de integrais elípticos .
${\ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F _ {\ nu}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac { \ mathrm {d} F _ {\ nu}} {\ mathrm {d} k}} - {\ frac {\ nu ^ {2}} {k ^ {2}}} F _ {\ nu}}$

K _n ( z ) é uma função de Bessel modificada de segundo tipo . K ( z ) é a integral elíptica completa de primeiro tipo .

A expressão

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F_ {0}} {\ mathrm {d} k}}}$

coincide com a expressão para o operador de Laplace em coordenadas polares ( k , θ ) aplicada a uma função esfericamente simétrica F ₀ ( k ) .

A transformada de Hankel de polinômios de

Zernike são essencialmente funções de Bessel (Noll 1976):

${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (r) = (- 1) ^ {\ frac {nm} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} J_ {n + 1} (k) J_ {m} (kr) \, \ mathrm {d} k}$

para mesmo n - m ≥ 0 .

Veja também

• transformada de Fourier
• Transformada integral
• Transformada de Abel
• Série Fourier – Bessel
• Polinômio de Neumann
• Transformações Y e H

Referências

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