Estrutura causal - Causal structure

Na física matemática , a estrutura causal de uma variedade Lorentziana descreve as relações causais entre os pontos da variedade.

Introdução

Na física moderna (especialmente na relatividade geral ), o espaço - tempo é representado por uma variedade Lorentziana . As relações causais entre pontos na variedade são interpretadas como descrevendo quais eventos no espaço-tempo podem influenciar quais outros eventos.

A estrutura causal de uma variedade Lorentziana arbitrária (possivelmente curva) é complicada pela presença de curvatura . As discussões da estrutura causal para tais variedades devem ser formuladas em termos de curvas suaves unindo pares de pontos. As condições nos vetores tangentes das curvas definem as relações causais.

Vetores tangentes

Subdivisão do espaço-tempo de Minkowski em relação a um ponto em quatro conjuntos disjuntos. O cone de luz , o futuro causal , o passado causal e outros lugares . A terminologia é definida neste artigo.

Se for uma variedade Lorentziana (para métrica em variedade ), os vetores tangentes em cada ponto da variedade podem ser classificados em três tipos disjuntos . Um vetor tangente é: ${\ displaystyle \, (M, g)}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$

• como se fosse${\ displaystyle \, g (X, X) <0}$
• nulo ou semelhante a luz se${\ displaystyle \, g (X, X) = 0}$
• semelhante a um espaço se${\ displaystyle \, g (X, X)> 0}$

Aqui usamos a assinatura métrica . Dizemos que um vetor tangente não é semelhante ao espaço se for nulo ou semelhante ao tempo. ${\ displaystyle (-, +, +, +, \ cdots)}$

A variedade canônica de Lorentz é o espaço-tempo de Minkowski , onde e é a métrica plana de Minkowski . Os nomes dos vetores tangentes vêm da física desse modelo. As relações causais entre pontos no espaço-tempo de Minkowski assumem uma forma particularmente simples porque o espaço tangente também o é e, portanto, os vetores tangentes podem ser identificados com pontos no espaço. O vetor quadridimensional é classificado de acordo com o sinal de , onde é uma coordenada cartesiana no espaço tridimensional, é a constante que representa o limite de velocidade universal e é o tempo. A classificação de qualquer vetor no espaço será a mesma em todos os referenciais relacionados por uma transformação de Lorentz (mas não por uma transformação de Poincaré geral porque a origem pode então ser deslocada) por causa da invariância da métrica. ${\ displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle X = (t, r)}$${\ displaystyle g (X, X) = c ^ {2} t ^ {2} - \ | r \ | ^ {2}}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle t}$

Orientabilidade no tempo

Em cada ponto nos vetores tangentes semelhantes ao tempo no espaço tangente do ponto, podem ser divididos em duas classes. Para fazer isso, primeiro definimos uma relação de equivalência em pares de vetores tangentes semelhantes ao tempo. ${\ displaystyle M}$

Se e são dois vetores tangentes semelhantes ao tempo em um ponto, dizemos que e são equivalentes (escritos ) se . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X \ sim Y}$${\ displaystyle \, g (X, Y) <0}$

Existem então duas classes de equivalência que, entre elas, contêm todos os vetores tangentes semelhantes ao tempo no ponto. Podemos (arbitrariamente) chamar uma dessas classes de equivalência de direcionada para o futuro e chamar a outra de direcionada para o passado . Fisicamente, essa designação das duas classes de vetores do tempo direcionados ao futuro e ao passado corresponde à escolha de uma flecha de tempo no ponto. As designações direcionadas ao futuro e ao passado podem ser estendidas a vetores nulos em um ponto por continuidade.

Uma variedade Lorentziana é orientada pelo tempo se uma designação contínua de vetores não espaciais direcionados para o futuro e para o passado puder ser feita em toda a variedade.

Curvas

Um caminho em é um mapa contínuo em que há um intervalo não degenerado (ou seja, um conjunto conectado contendo mais de um ponto) em . Um caminho suave pode ser diferenciado um número apropriado de vezes (normalmente ), e um caminho regular tem derivada que não se anula. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to M}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$

Uma curva em é a imagem de um caminho ou, mais propriamente, uma classe de equivalência de imagens de caminho relacionadas por rempararametrização, ou seja, homeomorfismos ou difeomorfismos de . Quando é orientável no tempo, a curva é orientada se a alteração do parâmetro precisar ser monotônica . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle M}$

Curvas regulares suaves (ou caminhos) em podem ser classificados dependendo de seus vetores tangentes. Essa curva é ${\ displaystyle M}$

• cronológico (ou semelhante ao tempo ) se o vetor tangente for semelhante ao tempo em todos os pontos da curva. Também chamada de linha mundial .
• nulo se o vetor tangente for nulo em todos os pontos da curva.
• semelhante a um espaço se o vetor tangente for semelhante a um espaço em todos os pontos da curva.
• causal (ou não espacial ) se o vetor tangente for semelhante ao tempo ou nulo em todos os pontos da curva.

Os requisitos de regularidade e não degeneração de garantir que curvas causais fechadas (como aquelas que consistem em um único ponto) não sejam admitidas automaticamente por todos os espaços-tempos. ${\ displaystyle \ Sigma}$

Se o coletor for orientado pelo tempo, então as curvas não espaciais podem ser classificadas dependendo de sua orientação em relação ao tempo.

Uma curva cronológica, nula ou causal em é ${\ displaystyle M}$

• direcionado para o futuro se, para cada ponto na curva, o vetor tangente for direcionado para o futuro.
• direcionado para o passado se, para cada ponto na curva, o vetor tangente for direcionado para o passado.

Essas definições se aplicam apenas a curvas causais (cronológicas ou nulas) porque apenas vetores tangentes semelhantes ao tempo ou nulos podem receber uma orientação em relação ao tempo.

• Uma curva fechada tipo tempo é uma curva fechada que é em todo lugar voltada para o futuro (ou em todo lugar voltada para o passado).
• Uma curva nula fechada é uma curva fechada que é nula em qualquer lugar direcionada para o futuro (ou nula em qualquer lugar direcionada para o passado).
• A holonomia da razão da taxa de mudança do parâmetro afim em torno de uma geodésica nula fechada é o fator de redshift .

Relações causais

Existem dois tipos de relações causais entre pontos e na multiplicidade . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$

• ${\ displaystyle x}$ precede cronologicamente (freqüentemente denotado ) se existe uma curva cronológica direcionada para o futuro (semelhante ao tempo) de a .${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \, x \ ll y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• ${\ displaystyle x}$ precede estritamente causalmente (frequentemente denotado ) se existe uma curva causal direcionada para o futuro (não semelhante ao espaço) de a .${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• ${\ displaystyle x}$ precede causalmente (freqüentemente denotado ou ) se precede estritamente causalmente ou .${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ prec y}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x = y}$
• ${\ displaystyle x}$ horismos (frequentemente denotado por ou ) se ou existe uma curva nula direcionada para o futuro de a (ou equivalentemente, e ).${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ a y}$${\ displaystyle x \ nearrow y}$${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ prec y}$${\ displaystyle x \ not \ ll y}$

e satisfazer

• ${\ displaystyle x \ ll y}$implica (isso segue trivialmente da definição)${\ displaystyle x \ prec y}$
• ${\ displaystyle x \ ll y}$, implica${\ displaystyle y \ prec z}$${\ displaystyle x \ ll z}$
• ${\ displaystyle x \ prec y}$, implica${\ displaystyle y \ ll z}$${\ displaystyle x \ ll z}$
• ${\ displaystyle \ ll}$, , , Estão todos transitivo${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \ prec}$${\ displaystyle \ to}$
• ${\ displaystyle \ prec}$, são reflexivos${\ displaystyle \ to}$

Para um ponto na variedade , definimos ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$

• O futuro cronológico de , denotado , como o conjunto de todos os pontos em que precede cronologicamente :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \, I ^ {+} (x)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \, I ^ {+} (x) = \ {y \ in M ​​| x \ ll y \}}$

• O passado cronológico de , denotado , como o conjunto de todos os pontos em que precede cronologicamente :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \, I ^ {-} (x)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \, I ^ {-} (x) = \ {y \ in M ​​| y \ ll x \}}$

Nós definimos de forma semelhante

• O futuro causal (também chamado de futuro absoluto ) de , denotado , como o conjunto de todos os pontos em que causalmente precede :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \, J ^ {+} (x)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \, J ^ {+} (x) = \ {y \ in M ​​| x \ prec y \}}$

• O passado causal (também chamado de passado absoluto ) de , denotado , como o conjunto de todos os pontos em que precede causalmente :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \, J ^ {-} (x)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \, J ^ {-} (x) = \ {y \ in M ​​| y \ prec x \}}$

• O futuro cone nulo de como o conjunto de todos os pontos de tal forma .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ a y}$
• O cone nulo passado de como o conjunto de todos os pontos de tal forma .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle y \ a x}$
• O cone de luz como o futuro e os cones nulos do passado juntos.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$
• em outro lugar como pontos fora do cone de luz, futuro causal ou passado causal.

Os pontos contidos em , por exemplo, podem ser alcançados por uma curva do tempo direcionada para o futuro. O ponto pode ser alcançado, por exemplo, a partir de pontos contidos em uma curva não espacial direcionada para o futuro. ${\ displaystyle \, I ^ {+} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \, J ^ {-} (x)}$

No espaço-tempo de Minkowski, o conjunto é o interior do futuro cone de luz em . O conjunto é o futuro cone de luz completo em , incluindo o próprio cone. ${\ displaystyle \, I ^ {+} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \, J ^ {+} (x)}$${\ displaystyle x}$

Esses conjuntos definidos para all in são chamados coletivamente de estrutura causal de . ${\ displaystyle \, I ^ {+} (x), I ^ {-} (x), J ^ {+} (x), J ^ {-} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Para um subconjunto de nós definimos ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle I ^ {\ pm} (S) = \ bigcup _ {x \ in S} I ^ {\ pm} (x)}$

${\ displaystyle J ^ {\ pm} (S) = \ bigcup _ {x \ in S} J ^ {\ pm} (x)}$

Para dois subconjuntos de nós definimos ${\ displaystyle S, T}$${\ displaystyle M}$

• O futuro cronológica da relação${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$ , , é o futuro cronológica de considerado como uma subvariedade de . Observe que este é um conceito bem diferente do qual fornece o conjunto de pontos nos quais podem ser alcançados por curvas de tempo direcionadas para o futuro a partir de . No primeiro caso, as curvas devem estar; no segundo caso, elas não o fazem. Veja Hawking e Ellis.${\ displaystyle I ^ {+} (S; T)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle I ^ {+} (S) \ cap T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$
• O futuro causal de relativo a${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$ , é o futuro causal de considerado como uma subvariedade de . Observe que este é um conceito bastante diferente do qual fornece o conjunto de pontos nos quais podem ser alcançados por curvas causais direcionadas para o futuro a partir de . No primeiro caso, as curvas devem estar; no segundo caso, elas não o fazem. Veja Hawking e Ellis.${\ displaystyle J ^ {+} (S; T)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle J ^ {+} (S) \ cap T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$
• Um conjunto futuro é um conjunto fechado em um futuro cronológico.
• Um conjunto passado é um conjunto encerrado em um passado cronológico.
• Um conjunto anterior indecomponível (IP) é um conjunto anterior que não é a união de dois subconjuntos próprios anteriores abertos diferentes.
• ${\ displaystyle I ^ {-} (x)}$é um conjunto de passado indecomponível apropriado (PIP).
• Um terminal indecomponível passado definido (TIP) é um IP que não é um PIP.
• O futuro desenvolvimento de Cauchy de , é o conjunto de todos os pontos para os quais todo passado dirigido por curva causal inextensível se cruza pelo menos uma vez. Da mesma forma para o desenvolvimento de Cauchy passado. O desenvolvimento de Cauchy é a união dos desenvolvimentos de Cauchy futuros e passados. Os desenvolvimentos de Cauchy são importantes para o estudo do determinismo .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle D ^ {+} (S)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$
• Um subconjunto é acrônico se não existir tal que , ou equivalentemente, se for separado de .${\ displaystyle S \ subset M}$${\ displaystyle q, r \ in S}$${\ displaystyle r \ in I ^ {+} (q)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle I ^ {+} (S)}$
• Uma superfície de Cauchy é um conjunto acrônico fechado cujo desenvolvimento de Cauchy é .${\ displaystyle M}$
• Uma métrica é globalmente hiperbólica se puder ser foliada por superfícies de Cauchy.
• O conjunto de violações da cronologia é o conjunto de pontos através dos quais as curvas fechadas tipo tempo passam.
• O conjunto que viola a causalidade é o conjunto de pontos através dos quais as curvas causais fechadas passam.
• Para uma curva causal , o diamante causal é (aqui estamos usando a definição mais ampla de 'curva' em que é apenas um conjunto de pontos). Em palavras: o diamante causal da linha de mundo de uma partícula é o conjunto de todos os eventos que estão no passado de algum ponto em e no futuro de algum ponto em .${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle J ^ {+} (\ gamma) \ cap J ^ {-} (\ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

Propriedades

Veja Penrose (1972), pág. 13.

• Um ponto está em se e somente se estiver em .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \, I ^ {-} (y)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \, I ^ {+} (x)}$
• ${\ displaystyle x \ prec y \ implica I ^ {-} (x) \ subconjunto I ^ {-} (y)}$
• ${\ displaystyle x \ prec y \ implica I ^ {+} (y) \ subconjunto I ^ {+} (x)}$
• ${\ displaystyle I ^ {+} [S] = I ^ {+} [I ^ {+} [S]] \ subconjunto J ^ {+} [S] = J ^ {+} [J ^ {+} [ S]]}$
• ${\ displaystyle I ^ {-} [S] = I ^ {-} [I ^ {-} [S]] \ subconjunto J ^ {-} [S] = J ^ {-} [J ^ {-} [ S]]}$
• Os horismos são gerados por congruências geodésicas nulas.

Propriedades topológicas :

• ${\ displaystyle I ^ {\ pm} (x)}$está aberto para todos os pontos em .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$
• ${\ displaystyle I ^ {\ pm} [S]}$está aberto para todos os subconjuntos .${\ displaystyle S \ subset M}$
• ${\ displaystyle I ^ {\ pm} [S] = I ^ {\ pm} [{\ overline {S}}]}$para todos os subconjuntos . Aqui está o encerramento de um subconjunto .${\ displaystyle S \ subset M}$${\ displaystyle {\ overline {S}}}$${\ displaystyle S}$
• ${\ displaystyle I ^ {\ pm} [S] \ subset {\ overline {J ^ {\ pm} [S]}}}$

Geometria conforme

Duas métricas e estão relacionadas conforme se for para alguma função real chamada de fator conforme . (Ver mapa conformal ). ${\ displaystyle \, g}$${\ displaystyle {\ hat {g}}}$${\ displaystyle {\ hat {g}} = \ Omega ^ {2} g}$${\ displaystyle \ Omega}$

Olhando para as definições de quais vetores tangentes são semelhantes ao tempo, nulos e ao espaço, vemos que eles permanecem inalterados se usarmos ou. Como um exemplo, suponhamos que seja um vetor tangente semelhante ao tempo em relação à métrica. Isso significa isso . Temos então que so é um vetor tangente semelhante ao tempo em relação ao também. ${\ displaystyle \, g}$${\ displaystyle {\ hat {g}}.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \, g}$${\ displaystyle \, g (X, X) <0}$${\ displaystyle {\ hat {g}} (X, X) = \ Omega ^ {2} g (X, X) <0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ hat {g}}}$

Segue-se disso que a estrutura causal de uma variedade Lorentziana não é afetada por uma transformação conforme .

Veja também

• Triangulação dinâmica causal (CDT)
• Condições de causalidade
• Conjuntos causais
• Superfície Cauchy
• Curva semelhante ao tempo fechada
• Variedade globalmente hiperbólica
• Diagrama de Penrose
• Espaço-tempo

Notas

Referências

• Hawking, SW ; Ellis, GFR (1973), The Large Scale Structure of Space-Time , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20016-4
• Hawking, SW ; Israel, W. (1979), General Relativity, an Einstein Centenary Survey , Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
• Penrose, R. (1972), Techniques of Differential Topology in Relativity , SIAM, ISBN 0898710057
• Sard, RD (1970). Mecânica Relativística - Relatividade Especial e Dinâmica de Partículas Clássica . Nova York: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.

Leitura adicional

links externos

• Redes Causais da Máquina de Turing, de Enrique Zeleny, o Projeto de Demonstrações do Wolfram
• Weisstein, Eric W. "Causal Network" . MathWorld .