Adequalidade - Adequality

Adequality é uma técnica desenvolvida por Pierre de Fermat em seu tratado Methodus ad disquirendam maximam et minimam (um tratado latino que circulou na França por volta de 1636) para calcular máximos e mínimos de funções, tangentes a curvas, área , centro de massa , menor ação , e outros problemas de cálculo . Segundo André Weil , Fermat "introduz o termo técnico adaequalitas, adaequare, etc., que diz ter emprestado de Diophantus . Como mostra Diophantus V.11, significa uma igualdade aproximada, e é exatamente assim que Fermat explica a palavra em um de seus escritos posteriores. " (Weil 1973). Diofanto cunhou a palavra παρισότης ( parisotēs ) para se referir a uma igualdade aproximada. Claude Gaspard Bachet de Méziriac traduziu a palavra grega de Diofanto para o latim como adaequalitas . A tradução francesa de Paul Tannery dos tratados latinos de Fermat sobre máximos e mínimos usou as palavras adéquation e adégaler .

Método de Fermat

Fermat usou a adequação primeiro para encontrar máximos de funções e, em seguida, adaptou-a para encontrar retas tangentes às curvas.

Para encontrar o máximo de um termo , Fermat equacionou (ou mais precisamente adequado) e depois de fazer álgebra ele poderia cancelar um fator de e, em seguida, descartar quaisquer termos restantes envolvendo. Para ilustrar o método pelo próprio exemplo de Fermat, considere o problema de encontrar o máximo de (nas palavras de Fermat, é dividir uma linha de comprimento em um ponto , de modo que o produto das duas partes resultantes seja um máximo.) Fermat adequado com . Ou seja (usando a notação para denotar adequação, introduzida por Paul Tannery ): ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle p (x + e)}$ ${\ displaystyle e,}$ ${\ displaystyle e.}$ ${\ displaystyle p (x) = bx-x ^ {2}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle bx-x ^ {2}}$ ${\ displaystyle b (x + e) - (x + e) ^ {2} = bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ backsim}$

{\ displaystyle bx-x ^ {2} \ backsim bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}.}

Os termos de cancelamento e divisão por Fermat chegaram a ${\ displaystyle e}$

{\ displaystyle b \ backsim 2x + e.}

Retirando os termos que continham Fermat chegamos ao resultado desejado de que o máximo ocorria quando . ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle x = b / 2}$

Fermat também usou seu princípio para fornecer uma derivação matemática das leis de refração de Snell diretamente do princípio de que a luz segue o caminho mais rápido.

Crítica de Descartes

O método de Fermat foi muito criticado por seus contemporâneos, particularmente Descartes . Victor Katz sugere que isso ocorre porque Descartes havia descoberto independentemente a mesma nova matemática, conhecida como seu método dos normais , e Descartes estava muito orgulhoso de sua descoberta. Katz também observa que, embora os métodos de Fermat estivessem mais próximos dos desenvolvimentos futuros do cálculo, os métodos de Descartes tiveram um impacto mais imediato no desenvolvimento.

Controvérsia acadêmica

Tanto Newton quanto Leibniz se referiram ao trabalho de Fermat como um antecedente do cálculo infinitesimal . No entanto, há desacordo entre os estudiosos modernos sobre o significado exato da adequação de Fermat. A adequação de Fermat foi analisada em vários estudos acadêmicos. Em 1896, Paul Tannery publicou uma tradução francesa dos tratados latinos de Fermat sobre máximos e mínimos (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp. 121-156). Tannery traduziu o termo de Fermat como “adégaler” e adotou “adéquation” de Fermat. O curtume também introduziu o símbolo de adequação nas fórmulas matemáticas. ${\ displaystyle \ backsim}$

Heinrich Wieleitner (1929) escreveu:

Fermat substitui um com um + E . Em seguida, ele define a nova expressão aproximadamente igual ( angenähert gleich ) para o antigo, cancela igualdade de condições em ambos os lados, e divide pelo maior poder possível de E . Ele então cancela todos os termos que contêm E e define aqueles que permanecem iguais entre si. Disso [o] A é necessário . Que E deve ser o menor possível não é dito em lugar nenhum e é, na melhor das hipóteses, expresso pela palavra "adaequalitas".

(Wieleitner usa o símbolo .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sim}$

Max Miller (1934) escreveu:

Em seguida, deve-se colocar os dois termos, que expressam o máximo e o mínimo, aproximadamente iguais ( näherungsweise gleich ), como diz Diophantus.

(Miller usa o símbolo .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ aprox}$

Jean Itard (1948) escreveu:

Sabe-se que a expressão "adégaler" é adotada por Fermat de Diophantus, traduzida por Xylander e por Bachet. Trata-se de uma igualdade aproximada ( aproximativa égalité ) ".

(Itard usa o símbolo .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ backsim}$

Joseph Ehrenfried Hofmann (1963) escreveu:

Fermat escolhe uma quantidade h , considerada suficientemente pequena, e coloca f ( x + h ) aproximadamente igual ( ungefähr gleich ) a f ( x ). Seu termo técnico é adaequare .

(Hofmann usa o símbolo .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ aprox}$

Peer Strømholm (1968) escreveu:

A base da abordagem de Fermat foi a comparação de duas expressões que, embora tivessem a mesma forma, não eram exatamente iguais . Essa parte do processo ele chamou de " comparare par adaequalitatem " ou " comparer per adaequalitatem ", e implicava que a identidade estrita entre os dois lados da "equação" foi destruída pela modificação da variável em uma pequena quantidade:

${\ displaystyle \ scriptstyle f (A) {\ sim} f (A + E)}$ .

Esse, acredito, foi o real significado de seu uso do πἀρισον de Diophantos, enfatizando a pequenez da variação. A tradução comum de 'adaequalitas' parece ser " igualdade aproximada ", mas eu prefiro muito mais " pseudo-igualdade " para apresentar o pensamento de Fermat neste ponto.

Ele ainda observa que "nunca houve no M1 (Método 1) qualquer questão de a variação E ser colocada igual a zero. As palavras que Fermat usou para expressar o processo de supressão de termos contendo E foram 'elido', 'deleo' e ' expungo ', e em francês' i'efface 'e' i'ôte '. Mal podemos acreditar que um homem são, desejando expressar seu significado e procurando por palavras, encontraria constantemente maneiras tortuosas de transmitir o simples fato de que o termos desapareceram porque E era zero. (p. 51) Claus Jensen (1969) escreveu:

Além disso, ao aplicar a noção de adégalité - que constitui a base do método geral de Fermat de construção de tangentes, e com a qual se entende uma comparação de duas magnitudes como se fossem iguais, embora de fato não sejam ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint ") - Utilizarei o símbolo mais usual dos dias de hoje . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ aprox}$

A citação em latim vem da edição de Fermat de Tannery de 1891, volume 1, página 140. Michael Sean Mahoney (1971) escreveu:

O método de máximos e mínimos de Fermat, que é claramente aplicável a qualquer polinômio P (x) , originalmente se apoiava em fundamentos algébricos puramente finitísticos . Assumiu, contrafactualmente , a desigualdade de duas raízes iguais para determinar, pela teoria das equações de Viete, uma relação entre essas raízes e um dos coeficientes do polinômio, relação totalmente geral. Essa relação, então, levou a uma solução de valor extremo quando Fermat removeu sua suposição contrafactual e estabeleceu as raízes iguais. Tomando emprestado um termo de Diofanto, Fermat chamou essa igualdade contrafactual de "adequação".

(Mahoney usa o símbolo .) Na p. 164, final da nota de rodapé 46, Mahoney observa que um dos significados de adequação é igualdade aproximada ou igualdade no caso limite . Charles Henry Edwards, Jr. (1979) escreveu: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ aprox}$

Por exemplo, para determinar como subdividir um segmento de comprimento em dois segmentos e cujo produto é máximo, ou seja, encontrar o retângulo com perímetro que tem a área máxima, ele [Fermat] procede da seguinte maneira. Primeiro ele substituiu ${\ displaystyle \ scriptstyle b}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle bx}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle x (bx) = bx-x ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle 2b}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle x + e}$

(ele usou A , E em vez de x , e ) para o x desconhecido e, em seguida, escreveu a seguinte "pseudo-igualdade" para comparar a expressão resultante com a original:

{\ displaystyle \ scriptstyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx + be-x ^ {2} -2xe-e ^ {2} \; \ sim \; bx-x ^ { 2}.}

Após cancelar os termos, ele dividiu por e para obter Finalmente ele descartou o termo restante contendo e , transformando a pseudo-igualdade na verdadeira igualdade que dá o valor de x que torna máximo. Infelizmente, Fermat nunca explicou a base lógica para este método com clareza ou completude suficiente para evitar divergências entre estudiosos históricos quanto ao que exatamente ele quis dizer ou pretendia. " ${\ displaystyle \ scriptstyle b-2 \, xe \; \ sim \; 0.}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle x = {\ frac {b} {2}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle bx-x ^ {2}}$

Kirsti Andersen (1980) escreveu:

As duas expressões de máximo ou mínimo são feitas "adequadas" , o que significa algo como o mais próximo possível .

(Andersen usa o símbolo .) Herbert Breger (1994) escreveu: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ aprox}$

Quero apresentar minha hipótese: Fermat usou a palavra "adaequare" no sentido de "colocar igual" ... Em um contexto matemático, a única diferença entre "aequare" e "adaequare" parece ser que o último dá mais ênfase no fato de que a igualdade é alcançada.

(Página 197f.) John Stillwell (Stillwell 2006 p. 91) escreveu:

Fermat introduziu a ideia de adequação na década de 1630, mas estava à frente de seu tempo. Seus sucessores não estavam dispostos a desistir da conveniência das equações comuns, preferindo usar a igualdade vagamente em vez de usar a adequação com precisão. A ideia de adequação foi revivida apenas no século XX, na chamada análise não padronizada .

Enrico Giusti (2009) cita a carta de Fermat a Marin Mersenne, onde Fermat escreveu:

Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question "(" Esta comparação por adequação produz dois termos desiguais que finalmente produzem a igualdade (seguindo meu método) que dá nós a solução do problema ") ..

Giusti nota em uma nota de rodapé que essa carta parece ter escapado da atenção de Breger.

Klaus Barner (2011) afirma que Fermat usa duas palavras latinas diferentes (aequabitur e adaequabitur) para substituir o sinal de igual usual hoje em dia, aequabitur quando a equação diz respeito a uma identidade válida entre duas constantes, uma fórmula universalmente válida (comprovada) ou uma equação condicional , adaequabitur , entretanto, quando a equação descreve uma relação entre duas variáveis, que não são independentes (e a equação não é uma fórmula válida). Na página 36, Barner escreve: "Por que Fermat repetia continuamente seu procedimento inconsistente para todos os seus exemplos para o método das tangentes? Por que ele nunca mencionou a secante, com a qual de fato operou? Não sei."

Katz, Schaps, Shnider (2013) argumentam que a aplicação de Fermat da técnica a curvas transcendentais como a ciclóide mostra que a técnica de adequação de Fermat vai além de um algoritmo puramente algébrico e que, ao contrário da interpretação de Breger, os termos técnicos parisotes usados por Diophantus e adaequalitas, como usados por Fermat, significam "igualdade aproximada". Eles desenvolvem uma formalização da técnica de Fermat de adequação na matemática moderna como a função de parte padrão que arredonda um número hiperreal finito para seu número real mais próximo .

Veja também

Referências

Bibliografia

Breger, H. (1994) "The mysteries of adaequare: a vindication of Fermat", Archive for History of Exact Sciences 46 (3): 193–219.
Edwards, CH Jr. (1994), The Historical Development of the Calculus , Springer
Giusti, E. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 18, Fascicule Special, 59-85.
Grabiner, Judith V. (setembro de 1983), "The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass" , Mathematics Magazine , 56 (4): 195–206, doi : 10.2307 / 2689807 , JSTOR 2689807
Katz, V. (2008), A History of Mathematics: An Introduction , Addison Wesley
Stillwell, J. (2006) Ansiando pelo impossível. As surpreendentes verdades da matemática , página 91, AK Peters, Ltd. , Wellesley, MA.
Weil, A. , Book Review: A carreira matemática de Pierre de Fermat. Touro. Amer. Matemática. Soc. 79 (1973), no. 6, 1138–1149.

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