Grupo afim - Affine group

Em matemática , o grupo afim ou grupo afim geral de qualquer espaço afim sobre um campo K é o grupo de todas as transformações afins invertíveis do espaço em si mesmo.

É um grupo de Lie se K for o campo real ou complexo ou quatérnios .

Relação com o grupo linear geral

Construção do grupo linear geral

Concretamente, dado um espaço vetorial V , ele tem um espaço afim subjacente A obtido por "esquecimento" da origem, com V atuando por traduções, e o grupo afim de A pode ser descrito concretamente como o produto semidireto de V por GL ( V ) , o grupo linear geral de V :

${\ displaystyle \ operatorname {Aff} (V) = V \ rtimes \ operatorname {GL} (V)}$

A ação de GL ( V ) sobre V é natural (transformações lineares são automorfismos), então isso define um produto semidireto .

Em termos de matrizes, escreve-se:

${\ displaystyle \ operatorname {Aff} (n, K) = K ^ {n} \ rtimes \ operatorname {GL} (n, K)}$

onde aqui a ação natural de GL ( n , K ) em K ⁿ é a multiplicação da matriz de um vetor.

Estabilizador de um ponto

Dado o grupo afim de um espaço afim A , o estabilizador de um ponto p é isomorfo ao grupo linear geral da mesma dimensão (então o estabilizador de um ponto em Aff (2, R ) é isomorfo a GL (2, R ) ); formalmente, é o grupo linear geral do espaço vetorial ( A , p ) : lembre-se de que, se alguém fixa um ponto, um espaço afim se torna um espaço vetorial.

Todos esses subgrupos são conjugados, onde a conjugação é dada pela tradução de p para q (que é definida exclusivamente), no entanto, nenhum subgrupo particular é uma escolha natural, uma vez que nenhum ponto é especial - isso corresponde às escolhas múltiplas do subgrupo transversal, ou divisão da seqüência exata curta

${\ displaystyle 1 \ a V \ a V \ rtimes \ operatorname {GL} (V) \ a \ operatorname {GL} (V) \ a 1 \ ,.}$

No caso em que o grupo afim foi construído a partir de um espaço vetorial, o subgrupo que estabiliza a origem (do espaço vetorial) é o GL ( V ) original .

Representação matricial

Representando o grupo afim como um produto semidireto de V por GL ( V ) , então, pela construção do produto semidireto , os elementos são pares ( M , v ) , onde v é um vetor em V e M é uma transformação linear em GL ( V ) , e a multiplicação é dada por:

${\ displaystyle (M, v) \ cdot (N, w) = (MN, v + Mw) \ ,.}$

Isso pode ser representado como a matriz de bloco ( n + 1) × ( n + 1) :

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c | c} M & v \\\ hline 0 & 1 \ end {array}} \ right)}$

onde M é um n × n matriz sobre K , v um n × um vector de coluna, 0 é um 1 × N linha de zeros, e 1 é o 1 × uma matriz de bloqueio de identidade.

Formalmente, Aff ( V ) é naturalmente isomórfico a um subgrupo de GL ( V ⊕ K ) , com V embutido como o plano afim {( v , 1) | v ∈ V } , ou seja, o estabilizador deste plano afim; a formulao de matriz de cima é o (transposta de) a realização deste, com o n x n e 1 x 1 blocos correspondentes à decomposição soma directa) V ⊕ K .

Uma representação semelhante é qualquer matriz ( n + 1) × ( n + 1) em que as entradas em cada coluna somam 1. A semelhança P para passar do tipo acima para este tipo é ( n + 1) × ( n + 1) matriz de identidade com a linha inferior substituída por uma linha de todas as unidades.

Cada uma dessas duas classes de matrizes é fechada sob a multiplicação de matrizes.

O paradigma mais simples pode muito bem ser o caso n = 1 , ou seja, as matrizes triangulares 2 × 2 superiores que representam o grupo afim em uma dimensão. É um grupo de Lie não abeliano de dois parâmetros , portanto, com apenas dois geradores (elementos da álgebra de Lie), A e B , de modo que [ A , B ] = B , onde

${\ displaystyle A = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ qquad B = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & 1 \\ 0 e 0 \ end {array}} \ right) \ ,,}$

de modo a

${\ displaystyle e ^ {aA + bB} = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {a} & {\ tfrac {b} {a}} (e ^ {a} -1) \\ 0 e 1 \ end {array}} \ right) \ ,.}$

Tabela de caracteres de Aff ( F _p )

Aff ( F _p ) tem ordem p ( p - 1) . Desde a

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} } ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} a & (1-a) d + bc \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ ,,}$

sabemos que Aff ( F _p ) tem p classes de conjugação, a saber

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} C_ {id} & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ right \} \ ,, \\ [6pt] C_ {1 } & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ Bigg |} b \ in \ mathbf {F} _ {p} ^ {*} \ right \} \, , \\ [6pt] {\ Bigg \ {} C_ {a} & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ Bigg |} b \ in \ mathbf {F } _ {p} \ right \} {\ Bigg |} a \ in \ mathbf {F} _ {p} \ setminus \ {0,1 \} {\ Bigg \}} \,. \ end {alinhado}} }$

Então sabemos que Aff ( F _p ) tem representações p irredutíveis. Pelo parágrafo acima ( § Representação matricial ), existem p - 1 representações unidimensionais, decididas pelo homomorfismo

${\ displaystyle \ rho _ {k}: \ operatorname {Aff} (\ mathbf {F} _ {p}) \ to \ mathbb {C} ^ {*}}$

para k = 1, 2, ... p - 1 , onde

${\ displaystyle \ rho _ {k} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = \ exp \ left ({\ frac {2ikj \ pi} {p-1}} \ right)}$

e i ² = −1 , a = g ^j , g é um gerador do grupo F ^∗
_p . Em seguida, compare com a ordem de F _p , temos

${\ displaystyle p (p-1) = p-1 + \ chi _ {p} ^ {2} \ ,,}$

logo, χ _p = p - 1 é a dimensão da última representação irredutível. Finalmente, usando a ortogonalidade das representações irredutíveis, podemos completar a tabela de caracteres de Aff ( F _p ) :

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccccc} & {\ color {Blue} C_ {id}} & {\ color {Blue} C_ {1}} & {\ color {Blue} C_ {g}} & {\ color {Blue} C_ {g ^ {2}}} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Blue} C_ {g ^ {p-2}}} \\\ hline {\ color {Blue} \ chi _ {1}} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {2 \ pi i} {p- 1}}} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {4 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {2 \ pi (p-2) i} {p-1}}} \\ {\ color {Blue} \ chi _ {2}} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {4 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {8 \ pi i} {p-1} }} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {4 \ pi (p-2) i} {p-1}}} \\ {\ color {Blue} \ chi _ {3}} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {6 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {12 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {6 \ pi (p-2) i} {p-1}}} \\ {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} \\ {\ color {Blue} \ chi _ {p- 1}} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} 1} \\ {\ color {Blue } \ chi _ {p}} & {\ color {Gray} p-1} & {\ color {Gray} -1} & {\ color {Gray} 0} & {\ color {Gray} 0} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} 0} \ end {array}}}$

Grupo afim planar sobre os reais

Os elementos de podem assumir uma forma simples em um sistema de coordenadas afins bem escolhido . Mais precisamente, dada uma transformação afim de um plano afim sobre os reais , existe um sistema de coordenadas afim no qual ele tem uma das seguintes formas, onde a , b e t são números reais (as condições dadas garantem que as transformações são invertíveis, mas não para tornar as classes distintas; por exemplo, a identidade pertence a todas as classes). ${\ displaystyle \ operatorname {Aff} (2, \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {1.}} && (x, y) & \ mapsto (x + a, y + b), \\ [3pt] {\ text {2.}} && (x, y) & \ mapsto (ax, by), & \ qquad {\ text {onde}} ab \ neq 0, \\ [3pt] {\ text {3.}} && (x, y) & \ mapsto (ax, y + b), & \ qquad {\ text {onde}} a \ neq 0, \\ [3pt] {\ text {4.}} && (x, y) & \ mapsto (ax + y , ay), & \ qquad {\ text {onde}} a \ neq 0, \\ [3pt] {\ text {5.}} && (x, y) & \ mapsto (x + y, y + a) \\ [3pt] {\ text {6.}} && (x, y) & \ mapsto (a (x \ cos t + y \ sin t), a (-x \ sin t + y \ cos t)) , & \ qquad {\ text {onde}} a \ neq 0. \ end {alinhado}}}$

O caso 1 corresponde a traduções .

O caso 2 corresponde a escalas que podem ser diferentes em duas direções diferentes. Ao trabalhar com um plano euclidiano, essas direções não precisam ser perpendiculares , uma vez que os eixos das coordenadas não precisam ser perpendiculares.

O caso 3 corresponde a um dimensionamento em uma direção e uma translação em outra.

O caso 4 corresponde a um mapeamento de cisalhamento combinado com uma dilatação.

O caso 5 corresponde a um mapeamento de cisalhamento combinado com uma dilatação.

O caso 6 corresponde a semelhanças , quando os eixos coordenados são perpendiculares.

As transformações afins sem nenhum ponto fixo pertencem aos casos 1, 3 e 5. As transformações que não preservam a orientação do plano pertencem aos casos 2 (com ab <0 ) ou 3 (com a <0 ).

A prova pode ser feita observando primeiro que se uma transformação afim não tem ponto fixo, então a matriz do mapa linear associado tem um autovalor igual a um, e então usando o teorema da forma normal de Jordan para matrizes reais .

Outros grupos afins

Caso Geral

Dado qualquer subgrupo L <GL ( V ) do grupo linear geral , pode-se produzir um grupo afim, por vezes designado Aff ( L ) de modo análogo ao Aff ( G ): = V ⋊ L .

De forma mais geral e abstrata, dado qualquer grupo G e uma representação de G em um espaço vetorial V ,

${\ displaystyle \ rho: G \ to \ operatorname {GL} (V)}$

obtém-se um grupo afim associado V ⋊ _ρ G : pode-se dizer que o grupo afim obtido é "uma extensão de grupo por uma representação vetorial", e como acima, tem-se a sequência exata curta:

${\ displaystyle 1 \ a V \ a V \ rtimes _ {\ rho} G \ a G \ a 1 \ ,.}$

Grupo afim especial

O subconjunto de todas as transformações afins invertíveis preservando uma forma de volume fixo, ou em termos do produto semidireto, o conjunto de todos os elementos ( M , v ) com M do determinante 1, é um subgrupo conhecido como grupo afim especial .

Subgrupo projetivo

Presumindo o conhecimento da projetividade e do grupo projetivo da geometria projetiva , o grupo afim pode ser facilmente especificado. Por exemplo, Günter Ewald escreveu:

O conjunto de todas as colineações projetivas de P ⁿ é um grupo que podemos chamar de grupo projetivo de P ⁿ . Se proceder de P ⁿ para o espaço afim Um ⁿ , declarando um hiperplana ω ser um hiperplana no infinito , obtêm-se o grupo afim de um ⁿ como o subgrupo de que consiste em todos os elementos de que licença ω fixo. ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {P}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {P}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} \ subset {\ mathfrak {P}}}$

Grupo Poincaré

O grupo Poincaré é o grupo afim do grupo Lorentz O (1,3) :

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {1,3} \ rtimes \ operatorname {O} (1,3)}$

Este exemplo é muito importante na relatividade .

Veja também

• Grupo afim de Coxeter - certos subgrupos discretos do grupo afim em um espaço euclidiano que preserva uma rede
• Holomorfo

Notas

Referências