Forma normal de Jordan - Jordan normal form

Na álgebra linear , uma forma normal de Jordan , também conhecida como forma canônica de Jordan ou JCF , é uma matriz triangular superior de uma forma particular chamada matriz de Jordan que representa um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita com relação a alguma base . Tal matriz tem cada entrada diferente de zero fora da diagonal igual a 1, imediatamente acima da diagonal principal (na superdiagonal ), e com entradas diagonais idênticas à esquerda e abaixo delas.

Vamos V ser um espaço vectorial sobre um campo K . Em seguida, uma base em relação ao qual a matriz tem a forma necessária existe se e só se todos os valores próprios da matriz de mentira em K , ou de modo equivalente se o polinómio característico das divisões operador em factores lineares sobre K . Esta condição é sempre satisfeita se K for algebricamente fechado (por exemplo, se for o campo de números complexos ). As entradas diagonais da forma normal são os autovalores (do operador), e o número de vezes que cada autovalor ocorre é chamado de multiplicidade algébrica do autovalor.

Se o operador é dada originalmente por uma matriz quadrada M , em seguida, a sua forma normal Jordan também é chamado a forma normal de Jordan M . Qualquer matriz quadrada tem uma forma normal de Jordan se o campo de coeficientes for estendido para um contendo todos os autovalores da matriz. Apesar do nome, a forma normal de um determinado M não é inteiramente única, pois é uma matriz diagonal de blocos formada por blocos de Jordan , cuja ordem não é fixa; é convencional agrupar blocos para o mesmo autovalor, mas nenhuma ordem é imposta entre os autovalores, nem entre os blocos para um dado autovalor, embora o último pudesse, por exemplo, ser ordenado por tamanho fracamente decrescente.

A decomposição de Jordan-Chevalley é particularmente simples no que diz respeito a uma base para a qual o operador assume sua forma normal de Jordan. A forma diagonal para matrizes diagonalizáveis , por exemplo matrizes normais , é um caso especial da forma normal de Jordan.

A forma normal de Jordan é nomeada em homenagem a Camille Jordan , que declarou pela primeira vez o teorema de decomposição de Jordan em 1870.

Visão geral

Notação

Alguns livros didáticos têm aqueles na subdiagonal ; ou seja, imediatamente abaixo da diagonal principal em vez de na superdiagonal. Os autovalores ainda estão na diagonal principal.

Motivação

Uma matriz A n × n é diagonalizável se e somente se a soma das dimensões dos espaços próprios for n . Ou, equivalentemente, se e somente se A tiver n autovetores linearmente independentes . Nem todas as matrizes são diagonalizáveis; matrizes que não são diagonalizáveis ​​são chamadas de matrizes defeituosas . Considere a seguinte matriz:

${\ displaystyle A = \ left [{\ begin {array} {* {20} {r}} 5 & 4 & 2 & 1 \\ [2pt] 0 & 1 & -1 & -1 \\ [2pt] -1 & -1 & 3 & 0 \\ [2pt] 1 & 1 & - 1 e 2 \ end {array}} \ right].}$

Incluindo a multiplicidade, os autovalores de A são λ = 1, 2, 4, 4. A dimensão do autovalor correspondente ao autovalor 4 é 1 (e não 2), então A não é diagonalizável. No entanto, existe uma matriz invertível P tal que J = P ⁻¹ AP , onde

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ [2pt] 0 & 2 & 0 & 0 \\ [2pt] 0 & 0 & 4 & 1 \\ [2pt] 0 & 0 & 0 & 4 \ end {bmatrix}}.}$

A matriz J é quase diagonal. Esta é a forma normal de Jordan de Uma . A seção Exemplo abaixo preenche os detalhes do cálculo.

Matrizes complexas

Em geral, uma matriz quadrada complexa A é semelhante a uma matriz diagonal de bloco

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {1} & \; & \; \\\; & \ ddots & \; \\\; & \; & J_ {p} \ end {bmatrix}}}$

onde cada bloco J _i é uma matriz quadrada da forma

${\ displaystyle J_ {i} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} & 1 & \; & \; \\\; & \ lambda _ {i} & \ ddots & \; \\\; & \; & \ ddots & 1 \\\; & \; & \; & \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}}.}$

Portanto, existe uma matriz invertível P tal que P ⁻¹ AP = J é tal que as únicas entradas diferentes de zero de J estão na diagonal e na superdiagonal. J é chamada de forma normal Jordan de Uma . Cada J _i é chamado de bloco de Jordan de Uma . Em um determinado bloco de Jordan, cada entrada na superdiagonal é 1.

Assumindo esse resultado, podemos deduzir as seguintes propriedades:

• Contando multiplicidades, os autovalores de J e, portanto, de A , são as entradas diagonais.
• Dado um autovalor λ _i , sua multiplicidade geométrica é a dimensão de Ker ( A - λ _i I ), onde I é a matriz identidade , e é o número de blocos de Jordan correspondentes a λ _i .
• A soma dos tamanhos de todos os blocos de Jordan correspondentes a um autovalor λ _i é sua multiplicidade algébrica .
• A é diagonalizável se e somente se, para cada autovalor λ de A , suas multiplicidades geométricas e algébricas coincidem. Em particular, os blocos de Jordan, neste caso, são matrizes 1 × 1 ; ou seja, escalares.
• O bloco de Jordan correspondente a λ tem a forma λI + N , onde N é uma matriz nilpotente definida como N _ij = δ _{i , j −1} (onde δ é o delta de Kronecker ). A nilpotência de N pode ser explorada ao calcular f ( A ) onde f é uma função analítica complexa. Por exemplo, em princípio, a forma Jordan poderia fornecer uma expressão de forma fechada para o exp exponencial ( A ).
• O número de blocos Jordan correspondentes a λ de tamanho pelo menos j é dim Ker ( A - λI ) ^j - dim Ker ( A - λI ) ^{j −1} . Assim, o número de blocos Jordan de tamanho j é

  ${\ displaystyle 2 \ dim \ ker (A- \ lambda _ {i} I) ^ {j} - \ dim \ ker (A- \ lambda _ {i} I) ^ {j + 1} - \ dim \ ker (A- \ lambda _ {i} I) ^ {j-1}}$

• Dado um autovalor λ _i , sua multiplicidade no polinômio mínimo é o tamanho de seu maior bloco de Jordan.

Exemplo

Considere a matriz do exemplo da seção anterior. A forma normal de Jordan é obtida por alguma transformação de similaridade: ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle P ^ {- 1} AP = J;}$ isso é, ${\ displaystyle AP = PJ.}$

Vamos ter vetores coluna , e, em seguida ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, 4}$

${\ displaystyle A {\ begin {bmatrix} p_ {1} & p_ {2} & p_ {3} & p_ {4} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} p_ {1} & p_ {2} & p_ {3 } & p_ {4} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} p_ {1} & 2p_ {2} & 4p_ { 3} & p_ {3} + 4p_ {4} \ end {bmatrix}}.}$

Nós vemos que

${\ displaystyle (A-1I) p_ {1} = 0}$

${\ displaystyle (A-2I) p_ {2} = 0}$

${\ displaystyle (A-4I) p_ {3} = 0}$

${\ displaystyle (A-4I) p_ {4} = p_ {3}.}$

Pois temos , isto é, é um autovetor de correspondente ao autovalor . Pois , multiplicar ambos os lados por dá ${\ displaystyle i = 1,2,3}$${\ displaystyle p_ {i} \ in \ operatorname {Ker} (A- \ lambda _ {i} I)}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle i = 4}$${\ displaystyle (A-4I)}$

${\ displaystyle (A-4I) ^ {2} p_ {4} = (A-4I) p_ {3}.}$

Mas então ${\ displaystyle (A-4I) p_ {3} = 0}$

${\ displaystyle (A-4I) ^ {2} p_ {4} = 0.}$

Assim, ${\ displaystyle p_ {4} \ in \ operatorname {Ker} (A-4I) ^ {2}.}$

Vetores, como são chamados autovetores generalizados de Uma . ${\ displaystyle p_ {4}}$

Exemplo: Obtendo a forma normal

Este exemplo mostra como calcular a forma normal de Jordan de uma determinada matriz.

Considere a matriz

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ - 1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \ end {bmatrix}}}$

que é mencionado no início do artigo.

O polinômio característico de A é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ chi (\ lambda) & = \ det (\ lambda IA) \\ & = \ lambda ^ {4} -11 \ lambda ^ {3} +42 \ lambda ^ {2} -64 \ lambda +32 \\ & = (\ lambda -1) (\ lambda -2) (\ lambda -4) ^ {2}. \, \ End {alinhado}}}$

Isso mostra que os autovalores são 1, 2, 4 e 4, de acordo com a multiplicidade algébrica. O espaço próprio correspondente ao valor próprio 1 pode ser encontrado resolvendo a equação Av = λ v . É gerado pelo vector coluna v = (-1, 1, 0, 0) ^t . Do mesmo modo, a auto-espaço correspondente para o valor próprio 2 é atravessado por w = (1, -1, 0, 1) ^T . Finalmente, a auto-espaço correspondente para o valor próprio 4 também é unidimensional (mesmo que este é um valor próprio dupla) e é atravessado por x = (1, 0, -1, 1) ^T . Portanto, a multiplicidade geométrica (ou seja, a dimensão do autoespaço do autovalor dado) de cada um dos três autovalores é um. Portanto, os dois valores próprios iguais a 4 correspondem a um único bloco de Jordan, e a forma normal de Jordan da matriz A é a soma direta

${\ displaystyle J = J_ {1} (1) \ oplus J_ {1} (2) \ oplus J_ {2} (4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \ end { bmatrix}}.}$

Existem três cadeias Jordan . Dois têm comprimento um: { v } e { w }, correspondendo aos autovalores 1 e 2, respectivamente. Há uma cadeia de comprimento dois correspondendo ao autovalor 4. Para encontrar esta cadeia, calcule

${\ displaystyle \ ker {(A-4I)} ^ {2} = \ operatorname {span} \, \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}} , {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$

onde I é a matriz de identidade 4 × 4. Escolha um vetor no intervalo acima que não esteja no kernel de A  - 4 I ; por exemplo, y = (1,0,0,0) ^T . Agora, ( A  - 4 I ) y = x e ( A  - 4 I ) x = 0, então { y , x } é uma cadeia de comprimento dois correspondendo ao autovalor 4.

A matriz de transição P tal que P ⁻¹ AP = J é formada colocando esses vetores próximos uns dos outros como segue

${\ displaystyle P = \ left [{\ begin {array} {c | c | c | c} v & w & x & y \ end {array}} \ right] = {\ begin {bmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Um cálculo mostra que a equação P ⁻¹ AP = J realmente é válida.

${\ displaystyle P ^ {- 1} AP = J = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \ end {bmatrix}}.}$

Se tivéssemos trocado a ordem em que os vetores da cadeia apareceram, ou seja, mudando a ordem de v , w e { x , y } juntos, os blocos de Jordan seriam trocados. No entanto, as formas de Jordão são formas de Jordão equivalentes.

Autovetores generalizados

Dado um valor próprio λ, seu bloco de Jordan correspondente dá origem a uma cadeia de Jordan . O gerador , ou vetor condutor , digamos p _r , da cadeia é um autovetor generalizado tal que ( A - λ I ) ^r p _r = 0, onde r é o tamanho do bloco de Jordan. O vetor p ₁ = ( A - λ I ) ^{r −1} p _r é um autovetor correspondente a λ. Em geral, p _i é um preimage de p _{i -1} sob um - λ eu . Portanto, o vetor líder gera a cadeia por meio da multiplicação por ( A - λ I ).

Portanto, a afirmação de que cada matriz quadrada A pode ser colocada na forma normal Jordan é equivalente à afirmação de que existe uma base consistindo apenas de autovetores e autovetores generalizados de Uma .

Uma prova

Damos uma prova por indução de que qualquer matriz A de valor complexo pode ser colocada na forma normal de Jordan. O caso 1 × 1 é trivial. Deixe Um ser um n × n matriz. Pegue qualquer autovalor λ de um . A gama de um - λ I , denotado por Ran ( A - λ I ), é um subespaço invariante de Uma . Além disso, como λ é um autovalor de A , a dimensão de Ran ( A - λ I ), r , é estritamente menor que n . Deixe A ' denotar a restrição de A a Ran ( A - λ I ), por hipótese indutiva, existe uma base { p ₁ , ..., p _r } tal que A' , expresso em relação a esta base, é normal de Jordan Formato.

Em seguida, considere o kernel , ou seja, o subespaço Ker ( A - λ I ). Se

${\ displaystyle \ mathrm {Ran} (A- \ lambda I) \ cap \ mathrm {Ker} (A- \ lambda I) = \ {0 \},}$

o resultado desejado segue imediatamente do teorema da nulidade da classificação . Esse seria o caso, por exemplo, se A fosse hermitiano .

Caso contrário, se

${\ displaystyle Q = \ mathrm {Ran} (A- \ lambda I) \ cap \ mathrm {Ker} (A- \ lambda I) \ neq \ {0 \},}$

deixe a dimensão de Q ser s ≤ r . Cada vetor em Q é um autovetor de A ' correspondente ao autovalor λ . Portanto, a forma Jordan de A ' deve conter s cadeias Jordan correspondentes a s autovetores linearmente independentes. Portanto, a base { p ₁ , ..., p _r } deve conter s vetores, digamos { p _{r - s +1} , ..., p _r }, que são vetores líderes nessas cadeias de Jordan da forma normal de Jordan de A ' . Podemos "estender as cadeias" tirando as pré-imagens desses vetores principais. (Esta é a etapa principal do argumento; em geral, os autovetores generalizados não precisam estar em Ran ( A - λ I ).) Seja q _i tal que

${\ displaystyle \; (A- \ lambda I) q_ {i} = p_ {i} {\ mbox {para}} i = r-s + 1, \ ldots, r.}$

Claramente, nenhuma combinação linear não trivial do q _i pode estar em Ker ( A - λ I ). Além disso, nenhuma combinação linear não trivial do q _i pode estar em Ran ( A - λ I ), pois isso contradiria a suposição de que cada p _i é um vetor líder em uma cadeia de Jordan. O conjunto { q _i }, sendo pré-imagens do conjunto linearmente independente { p _i } sob A - λ I , também é linearmente independente.

Finalmente, podemos escolher qualquer conjunto linearmente independente { z ₁ , ..., z _t } que abrange

${\ displaystyle \; \ mathrm {Ker} (A- \ lambda I) / Q.}$

Por construção, a união dos três conjuntos { p ₁ , ..., p _r }, { q _{r - s +1} , ..., q _r } e { z ₁ , ..., z _t } é Linearmente independente. Cada vector na união ou é um vector próprio ou um vector próprio generalizada de Uma . Finalmente, pelo teorema da nulidade da categoria, a cardinalidade da união é n . Em outras palavras, encontramos uma base que consiste em autovetores e autovetores generalizados de A , e isso mostra que A pode ser colocado na forma normal de Jordan.

Singularidade

Pode-se mostrar que a forma normal de Jordan de uma dada matriz A é única até a ordem dos blocos de Jordan.

Sabendo as multiplicidades algébricos e geométricos dos valores próprios não é suficiente para determinar a forma normal de Jordan Uma . Assumindo que a multiplicidade algébrica m (λ) de um autovalor λ é conhecida, a estrutura da forma Jordan pode ser verificada analisando as classificações das potências ( A - λ I ) ^{m (λ)} . Para ver isso, suponha que um n × n matriz A tem apenas um valor próprio λ. Portanto, m (λ) = n . O menor inteiro k ₁ tal que

${\ displaystyle (A- \ lambda I) ^ {k_ {1}} = 0}$

é o tamanho do maior bloco de Jordan na forma de Jordan de Uma . (Este número k ₁ também é chamado de índice de λ. Consulte a discussão na seção seguinte.) A classificação de

${\ displaystyle (A- \ lambda I) ^ {k_ {1} -1}}$

é o número de blocos Jordan de tamanho k ₁ . Da mesma forma, a classificação de

${\ displaystyle (A- \ lambda I) ^ {k_ {1} -2}}$

é duas vezes o número de blocos Jordan de tamanho k ₁ mais o número de blocos Jordan de tamanho k ₁ -1. O caso geral é semelhante.

Isso pode ser usado para mostrar a singularidade da forma Jordan. Let J ₁ e J ₂ ser duas formas normais de Jordan Uma . Então J ₁ e J ₂ são semelhantes e têm o mesmo espectro, incluindo multiplicidades algébricas dos autovalores. O procedimento descrito no parágrafo anterior pode ser usado para determinar a estrutura dessas matrizes. Uma vez que a classificação de uma matriz é preservada pela transformação de similaridade, há uma bijeção entre os blocos de Jordan de J ₁ e J ₂ . Isso prova a parte singular da declaração.

Matrizes reais

Se A for uma matriz real, sua forma Jordan ainda pode ser não real. Em vez de representá-lo com autovalores complexos e 1's no superdiagonal, como discutido acima, existe uma matriz real invertível P tal que P ⁻¹ AP = J é uma matriz diagonal de bloco real com cada bloco sendo um bloco de Jordan real. Um bloco de Jordan real é idêntico a um bloco de Jordan complexo (se o autovalor correspondente for real) ou é uma matriz de bloco em si, consistindo em 2 × 2 blocos (para autovalor não real com dada multiplicidade algébrica) da forma ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} = a_ {i} + ib_ {i}}$

${\ displaystyle C_ {i} = {\ begin {bmatrix} a_ {i} & - b_ {i} \\ b_ {i} & a_ {i} \\\ end {bmatrix}}}$

e descrever a multiplicação por no plano complexo. Os blocos superdiagonais são matrizes de identidade 2 × 2 e, portanto, nesta representação as dimensões da matriz são maiores do que a forma complexa de Jordan. O bloco Jordan real completo é dado por ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ displaystyle J_ {i} = {\ begin {bmatrix} C_ {i} & I && \\ & C_ {i} & \ ddots & \\ && \ ddots & I \\ &&& C_ {i} \\\ end {bmatrix}}. }$

Esta forma Jordan real é uma consequência da forma Jordan complexa. Para uma matriz real, os autovetores não reais e os autovetores generalizados podem sempre ser escolhidos para formar pares conjugados complexos . Tomando a parte real e a imaginária (combinação linear do vetor e seu conjugado), a matriz tem esta forma em relação à nova base.

Matrizes com entradas em um campo

Redução de Jordan pode ser estendida a qualquer matriz quadrada M cujas entradas encontram-se em um campo K . O resultado afirma que qualquer M pode ser escrito como uma soma D + N, onde D é semi - simples , N é nilpotente e DN = ND . Isso é chamado de decomposição de Jordan-Chevalley . Sempre que K contém os autovalores de M , em particular quando K é algebricamente fechado , a forma normal pode ser expressa explicitamente como a soma direta dos blocos de Jordan.

Semelhante ao caso em que K são os números complexos, conhecer as dimensões dos núcleos de ( M - λ I ) ^k para 1 ≤ k ≤ m , onde m é a multiplicidade algébrica do autovalor λ, permite determinar a forma de Jordan de M . Podemos ver o espaço vetorial subjacente V como um módulo K [ x ] , considerando a ação de x sobre V como uma aplicação de M e estendendo por K- linearidade. Então os polinômios ( x  - λ) ^k são os divisores elementares de M , e a forma normal de Jordan está preocupada em representar M em termos de blocos associados aos divisores elementares.

A prova da forma normal de Jordan é geralmente realizada como uma aplicação ao anel K [ x ] do teorema da estrutura para módulos gerados finitamente sobre um domínio ideal principal , do qual é um corolário.

Consequências

Pode-se ver que a forma normal de Jordan é essencialmente um resultado de classificação para matrizes quadradas e, como tal, vários resultados importantes da álgebra linear podem ser vistos como suas consequências.

Teorema do mapeamento espectral

Usando a forma normal Jordan, cálculo directa dá um teorema de mapeamento espectral para o cálculo funcional polinomial : Let Um ser um n × n matriz com valores próprios X ₁ , ..., λ _n , em seguida, para qualquer polinio p , p ( A ) tenha autovalores p (λ ₁ ), ..., p (λ _n ).

Polinômio característico

O polinômio característico de A é . Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico. Portanto, , onde é o i th raiz e é a sua multiplicidade, porque este é claramente o polinomial característica da forma de Jordan de Uma . ${\ displaystyle p_ {A} (\ lambda) = \ det (\ lambda IA)}$${\ textstyle p_ {A} (\ lambda) = p_ {J} (\ lambda) = \ prod _ {i} (\ lambda - \ lambda _ {i}) ^ {m_ {i}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ textstyle p_ {J}}$${\ displaystyle m_ {i}}$

Teorema de Cayley-Hamilton

O teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz A satisfaz sua equação característica: se p é o polinômio característico de A , então . Isso pode ser mostrado por meio de cálculo direto na forma de Jordan, uma vez que se for um autovalor de multiplicidade , então seu bloco de Jordan claramente o satisfaz . Como os blocos diagonais não se afetam, o i ésimo bloco diagonal de é ; daí . ${\ displaystyle p_ {A} (A) = 0}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle J_ {i}}$${\ displaystyle (J_ {i} - \ lambda _ {i} I) ^ {m_ {i}} = 0}$${\ displaystyle (A- \ lambda _ {i} I) ^ {m_ {i}}}$${\ displaystyle (J_ {i} - \ lambda _ {i} I) ^ {m_ {i}} = 0}$${\ textstyle p_ {A} (A) = \ prod _ {i} (A- \ lambda _ {i} I) ^ {m_ {i}} = 0}$

Pode-se presumir que a forma Jordan existe sobre um campo que estende o campo base da matriz, por exemplo, sobre o campo divisor de p ; esta extensão de campo não muda a matriz p ( A ) de forma alguma.

Polinômio mínimo

O polinômio mínimo P de uma matriz quadrada A é o único polinômio mônico de menor grau, m , tal que P ( A ) = 0. Alternativamente, o conjunto de polinômios que aniquilam um dado A forma um I ideal em C [ x ], o principal domínio ideal de polinômios com coeficientes complexos. O elemento mónico que gera I é precisamente P .

Sejam λ ₁ , ..., λ _q os autovalores distintos de A e s _i o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente a λ _i . É claro pela forma normal de Jordan que o polinômio mínimo de A tem grau Σ s _i .

Enquanto a forma normal de Jordan determina o polinômio mínimo, o inverso não é verdadeiro. Isso leva à noção de divisores elementares . Os divisores elementares de uma matriz quadrada A são os polinômios característicos de seus blocos de Jordan. Os fatores do polinômio mínimo m são os divisores elementares do maior grau correspondendo a autovalores distintos.

O grau de um divisor elementar é o tamanho do bloco de Jordan correspondente, portanto, a dimensão do subespaço invariante correspondente. Se todos os divisores elementares são lineares, A é diagonalizável.

Decomposições de subespaço invariantes

A forma de Jordan de um n × n matriz Uma é o bloco diagonal, e, por conseguinte, dá uma decomposição do n espaço Euclideano tridimensional em subespaços invariantes de Uma . Cada bloco de Jordan J _i corresponde a um subespaço invariante X _i . Simbolicamente, colocamos

${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {k} X_ {i}}$

onde cada X _i é o intervalo da cadeia Jordan correspondente, ek é o número de cadeias Jordan.

Também se pode obter uma decomposição ligeiramente diferente por meio da forma de Jordan. Dado um autovalor λ _i , o tamanho de seu maior bloco de Jordan correspondente s _i é chamado de índice de λ _i e denotado por ν (λ _i ). (Portanto, o grau do polinômio mínimo é a soma de todos os índices.) Defina um subespaço Y _i por

${\ displaystyle Y_ {i} = \ operatorname {Ker} (\ lambda _ {i} IA) ^ {\ nu (\ lambda _ {i})}.}$

Isso dá a decomposição

${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {l} Y_ {i}}$

onde L é o número de valores próprios distintos de A . Intuitivamente, reunimos os subespaços invariantes do bloco de Jordan correspondentes ao mesmo autovalor. No caso extremo em que A é um múltiplo da matriz identidade, temos k = n e l = 1.

A projeção em Y _i e ao longo de todos os outros Y _j ( j ≠ i ) é chamada de projeção espectral de A em λ _i e geralmente é denotada por P (λ _i  ; A ) . As projeções espectrais são mutuamente ortogonais no sentido de que P (λ _i  ; A ) P (λ _j  ; A ) = 0 se i ≠ j . Também comutam com A e sua soma é a matriz de identidade. Substituindo cada λ _i na matriz de Jordan J por um e zerando todas as outras entradas dá P (λ _i  ; J ), além disso, se UJU ⁻¹ é a transformação de similaridade tal que A = UJU ⁻¹ então P (λ _i  ; A ) = UP (λ _i  ; J ) U ⁻¹ . Eles não estão confinados a dimensões finitas. Veja abaixo sua aplicação para compactar operadores e em cálculo funcional holomórfico para uma discussão mais geral.

Comparando as duas decomposições, observe que, em geral, l ≤ k . Quando A é normal, os subespaços X _i na primeira decomposição são unidimensionais e mutuamente ortogonais. Este é o teorema espectral para operadores normais. A segunda decomposição generaliza mais facilmente para operadores compactos gerais em espaços de Banach.

Pode ser de interesse aqui observar algumas propriedades do índice, ν ( λ ). Mais geralmente, para um número complexo λ, seu índice pode ser definido como o menor inteiro não negativo ν (λ) de modo que

${\ displaystyle \ mathrm {Ker} (\ lambda -A) ^ {\ nu (\ lambda)} = \ operatorname {Ker} (\ lambda -A) ^ {m}, \; \ forall m \ geq \ nu ( \ lambda).}$

Então ν (λ)> 0 se e somente se λ é um autovalor de A . No caso de dimensão finita, ν (λ) ≤ a multiplicidade algébrica de λ.

Forma normal plana (plana)

A forma Jordan é usada para encontrar uma forma normal de matrizes até a conjugação, de forma que as matrizes normais constituam uma variedade algébrica de baixo grau fixo no espaço da matriz ambiente.

Conjuntos de representantes de classes de conjugação de matriz para a forma normal de Jordan ou formas canônicas racionais em geral não constituem subespaços lineares ou afins nos espaços de matriz ambiente.

Vladimir Arnold apresentou um problema: Encontre uma forma canônica de matrizes sobre um campo para o qual o conjunto de representantes das classes de conjugação de matrizes é uma união de subespaços lineares afins (bemóis). Em outras palavras, mapeie o conjunto de classes de conjugação de matriz injetivamente de volta ao conjunto inicial de matrizes de modo que a imagem dessa incorporação - o conjunto de todas as matrizes normais, tenha o menor grau possível - é uma união de subespaços lineares deslocados.

Foi resolvido para campos fechados algébricamente por Peteris Daugulis. A construção de uma forma normal plana definida de forma única de uma matriz começa considerando sua forma normal de Jordan.

Funções de matriz

A iteração da cadeia Jordan motiva várias extensões para configurações mais abstratas. Para matrizes finitas, obtém-se funções de matriz; isso pode ser estendido para operadores compactos e cálculo funcional holomórfico, conforme descrito mais adiante.

A forma normal de Jordan é a mais conveniente para o cálculo das funções de matriz (embora possa não ser a melhor escolha para cálculos de computador). Seja f ( z ) uma função analítica de um argumento complexo. Aplicando a função de um n x n Jordan bloco J com valores próprios λ resulta em uma matriz triangular superior:

${\ displaystyle f (J) = {\ begin {bmatrix} f (\ lambda) & f '(\ lambda) & {\ tfrac {f' '(\ lambda)} {2}} & \ cdots & {\ tfrac { f ^ {(n-1)} (\ lambda)} {(n-1)!}} \\ 0 & f (\ lambda) & f '(\ lambda) & \ cdots & {\ tfrac {f ^ {(n- 2)} (\ lambda)} {(n-2)!}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & f (\ lambda) & f '(\ lambda) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & f ( \ lambda) \ end {bmatrix}},}$

de modo que os elementos do k- ésimo superdiagonal da matriz resultante são . Para uma matriz da forma normal de Jordan geral, a expressão acima deve ser aplicada a cada bloco de Jordan. ${\ displaystyle {\ tfrac {f ^ {(k)} (\ lambda)} {k!}}}$

O exemplo a seguir mostra a aplicação para a função de potência f ( z ) = z ⁿ :

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda _ {1} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ lambda _ {2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ lambda _ {2} \ end {bmatrix}} ^ {n} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} ^ {n} & {\ tbinom {n} {1}} \ lambda _ {1} ^ {n-1} & {\ tbinom {n} {2}} \ lambda _ {1} ^ {n-2} & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda _ {1} ^ {n} & {\ tbinom {n} { 1}} \ lambda _ {1} ^ {n-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda _ {1} ^ {n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ lambda _ {2} ^ {n} & {\ tbinom {n} {1}} \ lambda _ {2} ^ {n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ lambda _ {2} ^ {n} \ end {bmatrix}},}$

onde os coeficientes binomiais são definidos como . Para n inteiro positivo, ele se reduz à definição padrão dos coeficientes. Para n negativo, a identidade pode ser útil. ${\ textstyle {\ binom {n} {k}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {n + 1-i} {i}}}$${\ textstyle {\ binom {-n} {k}} = \ left (-1 \ right) ^ {k} {\ binom {n + k-1} {k}}}$

Operadores compactos

Um resultado análogo à forma normal de Jordan é válido para operadores compactos em um espaço de Banach . Um se restringe a operadores compactos porque cada ponto x no espectro de um operador compacto T é um autovalor; A única exceção é quando x é o ponto limite do espectro. Isso não é verdade para operadores limitados em geral. Para dar uma ideia dessa generalização, primeiro reformulamos a decomposição de Jordan na linguagem da análise funcional.

Cálculo funcional holomórfico

Seja X um espaço de Banach, L ( X ) os operadores limitados em X e σ ( T ) denotam o espectro de T ∈ L ( X ). O cálculo funcional holomórfico é definido da seguinte forma:

Corrigir um operador limitado T . Considere a família Hol ( T ) de funções complexas que é holomórfica em algum conjunto aberto G contendo σ ( T ). Seja Γ = { γ _i } uma coleção finita de curvas de Jordan tais que σ ( T ) está no interior de Γ, definimos f ( T ) por

${\ displaystyle f (T) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma} f (z) (zT) ^ {- 1} dz.}$

O conjunto aberto G pode variar com f e não precisa ser conectado. A integral é definida como o limite das somas de Riemann, como no caso escalar. Embora a integral faça sentido para f contínua , nos restringimos às funções holomórficas para aplicar a maquinaria da teoria clássica das funções (por exemplo, a fórmula da integral de Cauchy). A suposição de que σ ( T ) está dentro de Γ garante que f ( T ) seja bem definido; não depende da escolha de Γ. O cálculo funcional é o mapeamento Φ de Hol ( T ) para L ( X ) dado por

${\ displaystyle \; \ Phi (f) = f (T).}$

Exigiremos as seguintes propriedades deste cálculo funcional:

1. Φ estende o cálculo funcional polinomial.
2. O teorema do mapeamento espectral é válido: σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ é um homomorfismo de álgebra.

O caso de dimensão finita

No caso de dimensão finita, σ ( T ) = {λ _i } é um conjunto discreto finito no plano complexo. Seja e _i a função 1 em alguma vizinhança aberta de λ _i e 0 em outro lugar. Pela propriedade 3 do cálculo funcional, o operador

${\ displaystyle e_ {i} (T)}$

é uma projeção. Além disso, seja ν _i o índice de λ _i e

${\ displaystyle f (z) = (z- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

O teorema do mapeamento espectral nos diz

${\ displaystyle f (T) e_ {i} (T) = (T- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}} e_ {i} (T)}$

tem espectro {0}. Pela propriedade 1, f ( T ) pode ser calculado diretamente na forma Jordan, e por inspeção, vemos que o operador f ( T ) e _i ( T ) é a matriz zero.

Pela propriedade 3, f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T ). Então e _i ( T ) é precisamente a projeção no subespaço

${\ displaystyle \ operatorname {Ran} e_ {i} (T) = \ mathrm {Ker} (T- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

A relação

${\ displaystyle \ sum _ {i} e_ {i} = 1}$

implica

${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ bigoplus _ {i} \; \ operatorname {Ran} e_ {i} (T) = \ bigoplus _ {i} \; \ mathrm {Ker} (T- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}$

onde o índice i é executado através dos distintos valores próprios de T . Esta é a decomposição do subespaço invariante

${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ bigoplus _ {i} Y_ {i}}$

dada em uma seção anterior. Cada e _i ( T ) é a projeção no subespaço estendido pelas cadeias de Jordan correspondentes a λ _i e ao longo dos subespaços abrangidos pelas cadeias de Jordan correspondentes a λ _j para j ≠ i . Em outras palavras, e _i ( T ) = P (λ _i ; T ). Esta identificação explícita dos operadores e _i ( T ), por sua vez, fornece uma forma explícita de cálculo funcional holomórfico para matrizes:

Para todo f ∈ Hol ( T ),

${\ displaystyle f (T) = \ sum _ {\ lambda _ {i} \ in \ sigma (T)} \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i} -1} {\ frac {f ^ {(k)}} {k!}} (T- \ lambda _ {i}) ^ {k} e_ {i} (T).}$

Observe que a expressão de f ( T ) é uma soma finita porque, em cada vizinhança de λ _i , escolhemos a expansão da série de Taylor de f centrada em λ _i .

Pólos de um operador

Seja T um operador limitado λ um ponto isolado de σ ( T ). (Como afirmado acima, quando T é compacto, cada ponto em seu espectro é um ponto isolado, exceto possivelmente o ponto limite 0.)

O ponto λ é chamado de pólo do operador T com ordem ν se a função resolvente R _T definida por

${\ displaystyle R_ {T} (\ lambda) = (\ lambda -T) ^ {- 1}}$

tem um pólo de ordem ν em λ.

Mostraremos que, no caso de dimensão finita, a ordem de um autovalor coincide com seu índice. O resultado também é válido para operadores compactos.

Considere a região anular A centrada no autovalor λ com raio suficientemente pequeno ε de modo que a interseção do disco aberto B _ε (λ) e σ ( T ) seja {λ}. A função resolvente R _T é holomórfica em um . Estendendo um resultado da teoria clássica da função, R _T tem uma representação da série de Laurent em A :

${\ displaystyle R_ {T} (z) = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} (\ lambda -z) ^ {m}}$

Onde

${\ displaystyle a _ {- m} = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} (\ lambda -z) ^ {m-1} (zT) ^ {- 1} dz }$e C é um pequeno círculo centrado em λ.

Pela discussão anterior sobre o cálculo funcional,

${\ displaystyle a _ {- m} = - (\ lambda -T) ^ {m-1} e _ {\ lambda} (T)}$onde é 1 ativado e 0 em outro lugar.${\ displaystyle e _ {\ lambda}}$${\ displaystyle B _ {\ epsilon} (\ lambda)}$

Mas nós mostramos que o menor inteiro positivo m tal que

${\ displaystyle a _ {- m} \ neq 0}$ e ${\ displaystyle a _ {- l} = 0 \; \; \ forall \; l \ geq m}$

é precisamente o índice de λ, ν (λ). Em outras palavras, a função R _T tem um pólo de ordem ν (λ) em λ.

Análise numérica

Se a matriz A tem vários autovalores ou está próxima de uma matriz com vários autovalores, então sua forma normal de Jordan é muito sensível a perturbações. Considere, por exemplo, a matriz

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 e 1 \\\ varejpsilon & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Se ε = 0, então a forma normal de Jordan é simplesmente

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 e 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

No entanto, para ε ≠ 0, a forma normal de Jordan é

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 + {\ sqrt {\ varepsilon}} & 0 \\ 0 & 1 - {\ sqrt {\ varepsilon}} \ end {bmatrix}}.}$

Esse mau condicionamento torna muito difícil desenvolver um algoritmo numérico robusto para a forma normal de Jordan, pois o resultado depende criticamente de dois autovalores serem considerados iguais. Por esta razão, a forma normal de Jordan é geralmente evitada na análise numérica ; a decomposição de Schur estável ou pseudospectra são alternativas melhores.

Veja também

• Base canônica
• Forma canônica
• Forma normal de Frobenius
• Matriz de Jordan
• Decomposição de Jordan-Chevalley
• Decomposição de matriz
• Matriz modal
• Weyr forma canônica

Notas

Referências